2.2 一元二次方程的解法（第1课时）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

2.2 一元二次方程的解法 第一课时 因式分解法 第2章 《一元二次方程》 学 习 目 标 1 2 3 体会“降次”思想：通过因式分解法解一元二次方程，体会将一元二次方程转化为两个一元一次方程的“降次”思想，理解转化与化归的数学思想。 掌握因式分解法：掌握用因式分解法（提公因式法、平方差公式、完全平方公式）解一元二次方程的步骤，能根据方程特点选择合适的因式分解方法。 理解“AB=0”原理：理解并运用“若 A×B=0，则 A=0 或 B=0”的原理，明确因式分解法解一元二次方程的理论依据，能规范书写解题过程。 一元二次方程 特征 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)， 其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件 根 使方程左右两边相等的未知数的值 知识回顾 (2)因式分解有哪些方法？ (1)什么是因式分解？ ①提公因式法 ②公式法 ③十字相乘法 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. 知识回顾 am+bm+cm=m(a+b+c). 平方差公式： 完全平方公式： x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 练一练 分解因式 (2x－1)²－x²= 解:(2x－1)²－x² =（2x－1＋x）（ 2x－1－x ） =（ 3x－1 ）（ x－1 ） (3x－1)(x－1) 导入新课 如图，工人师傅为了修屋顶，把一架梯子靠在墙上。已知AB＝5米，墙高AC是梯子底端点B离墙的距离BC的2倍，求墙高AC。 解：设 米，根据勾股定理可得方程： 我们知道，解二元一次方程组的基本思路是通过“消元”转化为一元一次方程求解。 一元二次方程可转化为一元一次方程求解吗？其基本思路是什么？ 解一元二次方程的基本思路： 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 学习任务单 若 ，判断结论： (1) 和 都为0（ ）； (2) 和 中至少有一个为0（ ） 新知探究 错误 正确 知识点1 认识因式分解法 如果 ： 那么： 或 通过因式分解如果将一元二次方程可化为 的形式，那么方程可转化为两个一次方程 或 ，进而求出一元二次方程的解 （3）几个数 相乘，只要有 乘数为0，积为 . 一个 0 猜想 新知探究 知识点1 认识因式分解法 学习任务单 （3）你能用这个方法解方程吗 通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 因式分解法的概念 转化 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 ， 或 =0 =0 新知探究 知识点2 探究因式分解法解一元二次方程 解（1）将方程左边因式分解，得 ∴ ，或 。 解得 ，。 做一做 有公因式x，用提公因式法分解 例1 尝试用因式分解法解下列方程 （1） （2） A•B=0 A=0 或 B=0 解一元一次方程得原方程的解 通过因式分解得到降次的目的 新知探究 知识点2 探究因式分解法解一元二次方程 做一做 先要转化为方程右边等于0的形式 例1 尝试用因式分解法解下列方程 （1） （2） A•B=0 A=0 或 B=0 解一元一次方程得原方程的解 解：移项，得： 。 因式分解，得 。 ∴ 或 。 解得： ，。 方程右边等于0的形式 步骤 新知探究 知识点2 探究因式分解法解一元二次方程 议一议 （1）因式分解法解一元二次方程的主要步骤由哪些？ ③ 转化:令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程. ④求解:分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根. ① 移项：将方程变形，使方程的右边为零； ②分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积形式 A=0或Ｂ＝０ （2）用分解因式法解一元二次方程的条件是什么？ 方程左边易于分解,而右边等于零; AB=0 典例分析 例2 解下列一元二次方程： (1) ； (2) 。 解：(1) 整理方程，得：。 将方程的左边分解因式，得： ， ∴ 或 ， 解得： ，。 (2) 移项，得： 。 将方程的左边分解因式，得： ， 即 。 ∴ 或 ， 解得： ，。 典例分析 例3 解方程 。 即 。 把2转化为 任何一个非负数a都可以转化为它的算术平方根的平方，即 a= ∴ ， 即： 解得 完全平方公式 因为0的平方根只有一种情况，所以原方程的两个解相等 解：移项，得： ， 新知巩固 （1）7 （2） （1）移项，得 。 提取公因式，得： 。 ∴ ，或 。 解得 ：，。 （2）方程两边同乘4，得： 。 。 ∴ ，或 。 解得： ，。 教材p35页 （3） （4） 用因式分解法解下列一元二次方程： （5） （6） 解： 新知巩固 （1）7 （2） 教材p35页 （3） （4） 用因式分解法解下列一元二次方程： （5） （6） 解： （3）移项，得： 。 化简方程得 ：。 ∴。 解得： 。 （4）移项，得： 。 提取公因式，得： ， 即： 。 ∴ ，或 。 解得 ：，。 新知巩固 （1）7 （2） 教材p35页 （3） （4） 用因式分解法解下列一元二次方程： （5） （6） 解： （6） ∴ （5）提取公因式，得： ， 即： 。 ∴，或 。 解得 ：，。 1．若等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则这个三角形的周长为（ ） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 解： （） =0 得， ∵三角形为等腰三角形 ∴腰为5，底为2,（腰为2，底为5不合题意，舍去） ∴周长为=5+5+2=12。 拓展提升 B 拓展提升 2.已知关于 的方程 的一个根为2，求方程的另一个根及 的值。 解：设方程的另一个根为 ， ∵关于 的方程 的一个根为2 ∴原方程可化为： ∴ （-2）（ -） ∴ 解得 ： 答：方程的另一个根为4， 的值为8 真题感知 1。（2024·浙江中考）：解方程 。 分析：观察方程，可尝试用十字相乘法因式分解。 解：将方程左边因式分解，得 。 则 ，或 。 解得 ，。 2（2023·杭州模拟）：解方程 。 分析：将 看作一个整体，用提公因式法分解。 解：提取公因式 ，得 ， 即 。 ∴ ，或 。 解得： ，。 课堂小结 1.核心思想：因式分解法的核心是“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程。 2.理论依据：若 ，则 或 。 3.常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 4解题步骤： ① 移项，将方程右边化为0； ② 对左边进行因式分解； ③ 根据“”原理，得到两个一元一次方程； ④ 解一元一次方程，得到原方程的根。 右化零，左分解， 两因式，各求解 课后练习 教材p36 A组 1. 填空： (1) 方程 的根是 ； (2) 方程 的根是 。 ， ， （1） ， 解： （2） ， 2.用因式分解法解下列方程： (1) （1）提取公因式 ，得 。 则 ，或 。 解得： ，。 (2) （2）移项，得： 。 提取公因式 ，得： 。 ∴，或 解得 ：，。 (3) (4) 课后练习 教材p36页 A组 解： 2.用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) （3）移项，得： 因式分解，得 ： 解得： (4) （4）移项，得： 。 ∴， 即： 。 ∴ ，或 。 解得 ，。 课后练习 教材p36页 A组 解： 课后练习 3.用因式分解法解下列方程： (1) 解: (1)整理方程，得 ： ∴，或 解得 :， (2) (2) 整理方程，得 。 ∴。 解得： 。 教材p36页 A组 课后练习 4.已知一个数的平方等于这个数本身，求这个数。 解：设这个数为 ，根据题意，得 。 移项，得： 。 因式分解，得： 。 ∴ ，或 。 解得： ，。 答：这个数是0或1。 教材p36页 A组 课后练习 5.用因式分解法解下列方程： (1) （1）整理，得 ： ∴ 解得： (2) （2）移项，得： ∴ 即 ∴，或 解得： ， (3) （3）移项，得： ∴ 解得： 教材p36页 B组 解： 课后练习 B组 6.构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为零；②有一个根为-3。 解：根据因式分解法，若方程有一个根为-3，则方程可表示为 （）。 展开得 ：。 ∵常数项不为零， ∴ ，∴ 。 取 ，，则方程为 ， 即 。 教材p36页 B组 （答案不唯一，如 等均可） 感谢聆听 $