2.2 一元二次方程的解法（第3课时）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

2.2一元二次方程的解法 第三课时 配方法 第2章《一元二次方程》 学 习 目 标 1 2 3 体会转化思想：通过将二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的方程，体会化归与转化的数学思想，感受数学知识之间的内在联系。 掌握配方法步骤：熟练掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤，能准确、规范地完成配方、开方、求解等操作。 理解配方本质：理解配方法的本质是通过构造完全平方式，将一元二次方程转化为可直接开方的形式，能运用配方法对代数式进行变形，并判断其符号。 知识回顾 练一练 请用合适的方法解下列一元二次方程 （1） 解：（1）， ， ， ，或， ，； 解：整理方程 ， ， ， 则， 所以 直接开平方法 看成整体 用因式分解法，提公因式 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意: 配方时, 当二次项系数为1时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方. 知识回顾 配方法 方法： 根据完全平方公式将原方程变为(x+n)2＝p的形式(其中n、p是常数）。当p≥0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程。 基本思路： 二次方程 一次方程 开平方降次 →移项 → 配方（加上一次项系数一半的平方） → 写成完全平方形式 → 开方求解。 二次项系数为1时的配方法步骤： 知识回顾 练一练 请用配方法解下列一元二次方程 解：（1）移项，得 x2－8x = －1, 配方，得 x2－8x+42 = －1+42 , ( x－4)2=15 两边同时开平方 即 如果方程改为，还能用配方法解吗? 新知探究 知识点1 二次项系数不为1的一元二次方程的配方法 议一议 用配方法解方程 要经历哪些步骤？ 二次项系数化1 方程两边同时除以 二次项系数2 x² -4x - = 0 移项 x2-4x = 使左边配成 x2+2bx+b2的形式 两边加2² x2-4x+ 2² = + 2² 左边写成完全平方形式 (x-2)2= 降次 (开方) x-2=± x-2=，或 x-2= - 解一次方程 x1= 2＋，x2= 2 新知探究 知识点1 二次项系数不为1的一元二次方程的配方法 议一议 （1）用配方法解方程 步骤与解 的步骤主要区别是什么 需要先将二次项系数化为1，然后配方 （2）你能总结用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤吗？ 1.化1: 把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项: 把常数项移到方程的右边; 3.配方: 方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形: 方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方: 根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解: 解一元一次方程; 7.定解: 写出原方程的解. 典例分析 例1 用配方法解下列一元二次方程： (1) 2x2 + 4x - 3 = 0 (2) 3x2 - 8x - 3 = 0 解：(1) 方程两边同除以2，得 。 移项，得 。 方程两边同加上1，得 ， 即 。 则 ，或 。 解得： ，。 知识点1 二次项系数不为1的一元二次方程的配方法 1.化1:把二次项系数化为1; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 6.求解:解一元一次方程并写出原方程的解. 2.移项:把常数项移到方程的右边; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 典例分析 例1 用配方法解下列一元二次方程： (1) 2x2 + 4x - 3 = 0 (2) 3x2 - 8x - 3 = 0 解：(2) 方程两边同除以3，得 。 移项，得 。 方程两边同加上 ，得 ， 即 。 ∴ ，或 。 解得 ，。 知识点1 二次项系数不为1的一元二次方程的配方法 新知探究 知识点2 用配方法对代数式进行变形 议一议 1.试说明代数式 4x² - 6x + 3 的值恒为正数。 分析： 若4x² - 6x + 3 的值恒为正数 转化 a(x-h)² + k 的形式 配方 恒为正数的条件： a＞0，k＞0 找条件 利用平方的非负性来判断其符号 解： 。 ∴代数式 4x² - 6x + 3 的值恒为正数。 方法： 求多项式（a,b,c为常数，且a≠0）的值的情况，要先把多项式配方成a(x+m)²+n的形式 *若a＞0，则代数式有最小值n. *若a ＜ 0，则代数式有最大值n. 新知探究 知识点2 用配方法对代数式进行变形 议一议 利用配方法判断代数式值的情况 核心思路： 提取二次项系数，对括号内的二次三项式进行配方，从而将代数式转化为“完全平方式 + 常数”的形式，便于判断其取值范围。 典例分析 例2.已知关于 x 的代数式 ax² + bx + c（a ≠ 0），请用配方法将其化为 a(x-h)² + k 的形式，并说明何时，代数式有最小值；何时，代数式有最大值。 解： 当 a > 0 时，，所以代数式有最小值，最小值为 。 当 a < 0 时，，所以代数式有最大值，最大值为 。 新知巩固 解：(1) 方程两边同除以2，得： 。 移项，得： 。 方程两边同加上 ，得 ， 即 。 ∴ ，或 。 解得：，。 1. 用配方法解下列方程： (1) 2x² + 6x + 3 = 0 (2) 2x² - 7x + 5 = 0 教材p40页 新知巩固 1. 用配方法解下列方程： (1) 2x² + 6x + 3 = 0 (2) 2x² - 7x + 5 = 0 教材p40页 解：(2)方程两边同除以2，得 。 移项，得： 。 方程两边同加上 ，得 ， 即 。 ∴，或 。 解得： ，。 新知巩固 2. 用配方法解下列方程： (1) (2) 解：(1) 方程两边同乘以2，得: 。 整理，得: 。 移项，得: 。 方程两边同加上 ，得: ， 即 。 ∴ ，或 。 解得 ，。 教材p40页 新知巩固 2. 用配方法解下列方程： (1) (2) 教材p40页 解：(2)方程两边同乘以8，得： 。 方程两边同除以6，得： 。 移项，得： 。 方程两边同加上 ，得： ， 即 。 ∴，或 。 解得： ，。 1.探究问题 （1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 拓展提升 解： （1）①当时，，， 则， ②当时，，， 则， ③当时，，， 则． 1.探究问题 （1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 拓展提升 2）无论取什么值，判断与有：， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； 1.探究问题 （1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 拓展提升 （3）拓展： = ， 故． 2.已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 C 解： ， ∵， ∴， ∴大于0， 拓展提升 真题感知 1（2024·浙江中考）：用配方法解一元二次方程 2x² - 4x - 1 = 0，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 解： 方程 2x² - 4x - 1 = 0 两边同除以2，得 。 移项，得 。 方程两边同加上1，得 ， 即 。 B 真题感知 2（2023·杭州模拟）：试说明代数式 -2x² + 4x - 3 的值恒为负数，并求出它的最大值。 分析： 通过配方将代数式转化为完全平方式的形式，利用平方的非负性来判断符号和最值。 解： 。 ∴代数式-2x² + 4x - 3的值恒为负数， 当 x = 1 时，代数式取得最大值，最大值为 -1。 课堂小结 1.配方法： 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 3. 用配方法解一元二次方程的一般步骤: ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程. 4. 配方法的应用： 不仅可以解方程，还可以对代数式进行变形，判断其符号和最值。 2.配方法的本质： 通过构造完全平方式，将复杂问题转化为简单问题 课后练习 A. B. C. D. 解：先把二次项系数化为1： 移项： 两边同时加 ： 1. 用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　　　）。 D 教材p40 A组 课后练习 2. 用配方法解下列方程 (1) (2) ⑴解：移项： 配方： 解得：， 。 教材p40 A组 ⑵解：移项： 配方： 解得：， 。 课后练习 3. 用配方法解下列方程 (1) (2) ⑴解： 二次项系数化为1： 移项： 配方，两边加 解得： = ， 。 教材p40 A组 课后练习 3. 用配方法解下列方程 (1) (2) （2）解： 教材p40 A组 整理方程得：， 两边乘 ： 移项： 配方，两边加 ： 解得： = 1， 。 课后练习 4. 用配方法解下列方程 (1) (2) ⑴解： 两边乘10消去小数： 移项： 配方，两边加25： 解得：， 。 教材p40 B组 课后练习 4. 用配方法解下列方程 (1) (2) （2）解： 教材p40 B组 二次项系数化为1： 移项： 配方，两边加 ： 解得：，。  课后练习 5. 试说明代数式 的值恒为负数. 教材p40 B组 解： ∵ ， ∴ ， ∴ ∴该代数式的值恒为负数。 提取二次项系数 对括号内配方 课后练习 6. 已知 是一个关于 的完全平方式，求常数 . 解：先把二次项系数化为1： 括号内是完全平方式，即： ∵对应系数相等： 即 ∴ 教材p40 C组 解一元二次方程 配方得： 解得： 或 感谢聆听! $