2.2 一元二次方程的解法（第4课时）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

2.2一元二次方程的解法 第四课时 公式法 第2章《一元二次方程》 学 习 目 标 1 2 3 体会推导过程：通过配方法推导一元二次方程的求根公式，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想，理解公式法是配方法的程序化结果。 掌握公式解法：掌握一元二次方程求根公式的结构和使用条件，能准确运用公式法求解一元二次方程，并规范书写解题步骤。 理解判别式意义：理解根的判别式 b^2-4ac 的作用，能根据判别式的值判断方程根的情况，建立“代数运算结果与方程性质”之间的联系。 知识回顾 2.开平方法 解一元二次方程已学过哪些方法？ 将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 3.配方法 配方法的关键是： 1.因式分解法 把方程通过因式分解转化的A•B=0的形式，则A=0或B=0,得到方程的解 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 知识回顾 用配方法解一元二次方程: 练一练 解： ① 化二次项系数为1：； ② 移项：； ③ 配方：，即 ； ④ 开方：； ⑤ 求解：。 相信你能行 导入新课 你能试着用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解吗？ 配方法的核心思想是什么？它有什么局限性？ 通过上节课的学习你认为配方法可以解任意一元二次方程吗？ 可以 局限性是步骤繁琐，对系数复杂的方程计算量大。 核心思想是“降次”，将二次方程转化为一次方程求解； 解： （1）方程两边同除以a，得　　　　　　　　　　　. （2）将常数项移到方程的左边，得　　　　　　 　. （3）方程两边同时加上_______， （4）左边写成完全平方式，右边通分， 新知探究 知识点1 一元二次方程求根公式的推导 议一议 配方法解一元二次方程 ： 一次项系数一半的平方 能直接开方吗？ 得　　　　　　 　. 得　　　　　　 　. 新知探究 知识点1 一元二次方程求根公式的推导 议一议 配方法解一元二次方程 ： ax2+bx+c=0 (a≠0) 大于等于0能直接开方 ∵ ∴当式子≥0时 开平方 （5）当≥0时，左右两边同时开平方， 得　　　　　　 　. （6）解得　　　　　　 　. 一元二次方程的求根公式 简单记为 . 一元二次方程的根由方程的系数a，b，c确定 新知探究 知识点1 一元二次方程求根公式的推导 归一归 一元二次方程 ，当≥0时 2.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 1.一元二次方程 求根公式 称为一元二次方程的求根公式 当一元二次方程为一般式时，把各系数直接带入求根公式，直接得出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫公式法 典例分析 例8 用公式法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) ⑴由题得： ∵ ∴ 解得： 知识点2 一元二次方程求根公式的应用 解： 典例分析 例1.用公式法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 知识点2 一元二次方程求根公式的应用 解： ⑵ 整理方程得： ∴ ∵ ∴ 解得： 一元二次方程的两个根相等 典例分析 例1.用公式法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 知识点2 一元二次方程求根公式的应用 解： ⑶整理方程得 ： ∴ ∴ 解得： 知识点2 一元二次方程求根公式的应用 归一归 新知探究 1、把方程化成一元二次方程一般形式： ，求并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 5、写出方程的解： x1= , x2= (a≠0, b2-4ac≥0) 4、计算 典例分析 例9 解方程： 解：去括号，得： 整理方程得： 两边同乘2，得: ∴ 解得： 知识点2 一元二次方程求根公式的应用 想一想 你能用因式分解的方法解这个方程吗 典例分析 例9 解方程： 知识点2 一元二次方程求根公式的应用 想一想 你能用因式分解的方法解这个方程吗 解：方程两边同乘以2 0 0 0 0 或 0 解得： 原方程化为： 两边同乘2，得: 0 或 0 解得： 方法一 方法二 新知探究 知识点3 一元二次方程根的判别式 议一议 （1）一元二次方程 的根的个数由什么决定？ ax2+bx+c=0 (a≠0) 分类讨论 式子的值的正负觉得方程解的情况 ①当b2－4ac>0时， >0，方程有两个不等的实数根 =, = . ②当b2－4ac=0时， =0，方程有两个相等的实数根 即：= = ③当b2－4ac＜0时，＜0， 而x取任何实数都不能使 ＜0 ，因此方程无实数根. 1.一元二次方程根的判别式： 我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 即；。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。 即。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2.一元二次方程 ， 新知探究 知识点3 一元二次方程根的判别式 归一归 典例分析 知识点3 一元二次方程根的判别式 例3. 已知关于x的一元二次方程． 求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根． 证明： ，，， ， 无论m为何值，原方程都有两个不相等的实数根． 新知巩固 1. 用根的判别式判别下列方程根的情况： (1) (2) (3) ⑴由题意得： ∵， ∴方程有两个不相等的实数根。 教材p42页 解： ⑵由题意得: ∵， ∴方程有两个相等的实数根。 ⑶整理方程得： ∴ ， ∴方程没有实数根。 新知巩固 2. 用公式法解下列方程： (1) (2) (3) (1) ∵ ∴ 解得 教材p43页 解： (2) ∵ ∴ 解得 新知巩固 2. 用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 教材p43页 解： (3) 整理方程得： ∴ ∵ ∴ 解得： 新知巩固 3. 选择适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 直接开平方法： 由题意得：， ∴， 即。 解： 教材p43页 (2) 因式分解法： ， ， 。 新知巩固 3. 选择适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 解： 教材p43页 (3) 公式法： 整理方程为 ：， ， ∵， ∴， 解得：。 (4) 因式分解法： ， ， ， 。 拓展提升 1.已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围。 分析：方程有两个不相等的实数根 ⇒ 且 。 解：由题意得： ∵两个不相等的实数根 ，即 解得： 。 又 ， ∴ 的取值范围是 且 。 拓展提升 2.已知 是 △ 的三边，且方程 有两个相等的实数根，判断△ 的形状。 解：整理方程：。 ∵方程有两个相等的实数根 ∴： ∴ 由勾股定理得 △是直角三角形。 3.（24-25九年级上·河南周口·期末） （1）解方程：； （2）若，求的值． 解：（1）， ， ， ，或， ，； （2）设， 则有， ， 即或， ，， 的值为1或． 拓展提升 真题感知 1（2024·浙江杭州）：解方程 。 解： ∵ ∴ 解得 2（2023·浙江宁波）：已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的最大整数值。 解： ， 因为方程有两个不相等的实数根 ∴ ，解得 。 ∴ 的最大整数值是 。 2.（25-26九年级上·全国·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 解：根据规定得， 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 真题感知 C 课堂小结 求根公式 。 公式法步骤 ① 化一般式：ax² + bx + c = 0 ② 定系数：确定 a, b, c 的值 ③ 算判别式：Δ = b² - 4ac ④ 代公式：代入公式求解 方法选择： 优先考虑因式分解法或直接开平方法，复杂方程用公式法。 判别式作用 判别式定义： 把 叫做一元二次方程 的，用符号 表示。 Δ的符号 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况 Δ＞0 有两个不等的实数根 Δ＝0 有两个相等的实数根 Δ＜0 无实数根 课堂小结 课后练习 1.用根的判别式判别下列方程根的情况： (1) (2) (3) (4) （1）， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根。 教材p43 A组 解： (2) ， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根。 课后练习 1.用根的判别式判别下列方程根的情况： (1) (2) (3) (4) 教材p43 A组 解： (3) 整理为 ， ， ∵， ∴方程有两个相等的实数根。 (4) ， ∵， ∴方程没有实数根。 课后练习 2.用公式法解下列方程： (1) (2) (3) (4) （1）， ∵， ∴， 解得。 教材p43 A组 解： (2) 整理得： ， ∴， ∵， ∴， 解得：。 课后练习 2.用公式法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 教材p43 A组 解： (3) ， ∵， ∴， 解得。 (4) 整理得：， ∴， ∵， ∴， 解得。 课后练习 3.选择适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 因式分解法： ， ， 。 解： (2) ：直接开平方法 整理为 ， ， ， 解得：。 教材p43 A组 课后练习 3.选择适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 解： 教材p43 A组 (3) 因式分解法： ，， 解得。 (3)直接开平方法 ， ∴ 或 ， 解得。 课后练习 3.选择适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 解： 教材p43 A组 (4) 公式法： 整理为 ， ， ∵，∴， 解得：。 课后练习 4.已知一元二次方程 的系数满足 ，判别方程根的情况。 解：， 因为 ， 所以 ， 又 ，故 ， ∴方程有两个不相等的实数根。 教材p43 B组 课后练习 5.某小区规划在一个长40 m，宽26 m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。要使每一块种植区域的面积都为144 m²。问：通道的宽应设计成多少米？ 解：设通道的宽为 米。 种植区域可合成长为 米，宽为 米的长方形，总面积为 m²。 列方程： 整理： 解得：（ 超过场地宽度，舍去） 答：通道的宽应设计成 2米。 教材p43 B组 感谢聆听! $