北京市通州区潞河中学2025-2026学年高三下学期开学定位测试数学试题

潞河中学2025-2026-02开学定位测试 高三数学 命题人：刘进 审题人：陈丽红 做题人：周昊 一、选择题（共10题，每题4分，共40分.） 1. 已知全集，集合，，则=（    ）. A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在平面直角坐标系中，已知两圆相交于两点，，且圆心都在直线上，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 6. 已知等差数列，正项等比数列，则“”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于、两点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 5 茶水温度/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择： ①，②． 选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（ ） （参考数据：，） A. 6min B. 6.5min C. 7min D. 7.5min 10. 如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①存在唯一的点，使得四点共面； ②的最小值为； ③存在点，使得； ④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为. 其中正确结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 二、填空题（共5题，每题5分，共25分.） 11. 函数的定义域为_____________________. 12. 已知，，且，则的最小值为______． 13. 已知双曲线的离心率为，则双曲线两条渐近线的夹角的大小为________． 14. 如图1，取边长为6的正方形纸板，分别为三边的中点，先将等腰直角三角形沿虚线段裁去，再将剩下的五边形沿线段折起，连接，就得到了一个《九章算术》中所载的“刍甍”五面体（如图2）．若棱的长为5，则该五面体的体积为___________. 15. 设函数（且）．给出下列四个结论： ①当时，存在，方程有唯一解； ②当时，存在，方程有三个解； ③对任意实数（且），的值域为； ④存在实数，使得在区间上单调递增； 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共6题，共85分.） 16. 在中，. （1）求的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上中线的长. 条件①：的面积为； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 已知底面是平行四边形，平面，，，，且. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 （1）估计软件能正确解答数学问题的概率； （2）小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，几何1道；使用软件解答2道函数试题，使用软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用表示3道类似试题被正确解答的个数，求的分布列与数学期望； （3）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为．假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，下顶点为C，若椭圆的，三角形ABC的面积为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点D（0，2），直线AD交椭圆于点E，过点D的直线交椭圆于M，N两点，若直线CM与x轴交于P点，过E且平行于x轴的直线与BN交于Q点，求的值. 20. 已知函数f（x）x+alnx． （1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程（用含a的式子表示） （2）讨论f（x）的单调性； （3）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：． 21. 已知无穷数列满足，其中n＝1，2，3，….对于数列中的一项，若包含的连续项，，…，满足或，则称，，…，为包含的长度为j的“单调片段”. （1）若，写出所有包含的长度为3的“单调片段”； （2）若，包含的“单调片段”长度的最大值都等于2，并且，求的通项公式； （3）若，k≥2，都存在包含的长度为k的“单调片段”，求证：存在，使得时，都有. 潞河中学2025-2026-02开学定位测试 高三数学 命题人：刘进 审题人：陈丽红 做题人：周昊 一、选择题（共10题，每题4分，共40分.） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（共5题，每题5分，共25分.） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题（共6题，共85分.） 【16题答案】 【答案】（1） （2）选①时三角形不存在；选②时边上的中线的长为；选③时边上的中线的长为. 【17题答案】 【答案】（1）证明如下： 在中，，，， 则，可得， 所以，所以. 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）存在，或. 【18题答案】 【答案】（1） （2）分布列为： 0 1 2 3 期望为 （3） 小明应该使用软件来解决这道试题,证明如下： 记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件． 则，，， ，，， 由全概率公式可得 ． ． 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小明应该使用软件来解决这道试题． 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）y＝（﹣2+a）x+2﹣a．（2）见解析（3）见解析 【21题答案】 【答案】（1）和 （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $