精品解析：黑龙江大庆实验中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

大庆实验中学2025—2026学年度下学期高二年级开学考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 1. “”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先将命题“曲线表示椭圆”化简求得的范围判断即可. 【详解】若曲线表示椭圆，则，得 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 2. 已知数列满足，且对任意的，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由递推关系可得： 当时，，代入得， 用换得：，与两式相除得： ，即，所以对所有成立， 因此数列隔项成等比，公比为， 当时，，则， 所以. 3. 已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求函数的导数，再由题意转化为与函数在区间恰有2个交点，再利用函数的导数分析函数的图像和性质，即可求解. 【详解】，令，得或， 即或，设函数，则， 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增， 故，因为，所以，则，即，因为有 3 个不同的极值点， 所以不是关于的方程的解，所以 故选：A 4. 已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义和性质，以及三角形面积公式的应用，解题的关键在于利用椭圆的定义求出的周长，再结合三角形面积公式建立等式求解点的纵坐标. 【详解】由题知，， 所以. 设的内切圆半径为，因为（根据面积相等列出方程）， 所以，得. 故选：B 5. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值. 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. 6. 已知F为抛物线的焦点，C的准线和轴交于点P，点M在抛物线C上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用，结合圆与抛物线的交点得出M点的横坐标，再由抛物线的定义得，又因为，求得即得. 【详解】因为C的准线和轴交于点，且． 根据题意可得图形， 由已知，可知满足， 又因为M在抛物线C上，所以， 所以，所以，因此，M点的横坐标是， 由抛物线的定义知， 且， 所以，所以． 故选：B. 7. 已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，，，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形可得的对称性，从而可确定的位置，故可求的坐标，代入椭圆方程后可求离心率. 【详解】设，因为四边形为正方形，故， 故，而， 故，故，或， 因不重合且不共线，故或， 故关于轴对称或关于轴对称， 若关于轴对称，不妨设为上顶点，则， 因为四边形为正方形，故，则或， 故，故，而，故不成立，舍； 若关于轴对称，不妨设为右顶点，则， 因为四边形为正方形，故，则或， 故，故，故即， 故选：D. 8. 已知满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式变形为结构相同的形式，从而可构造函数，根据所构函数的单调性得到之间的一个等式，代入后根据基本不等式可求最值. 【详解】因为， 所以， 即. 令，则. 因为均为上的增函数， 所以为上的增函数（或由知为上的增函数）， 所以，所以，， 所以，当且仅当，即时等号成立. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分 9. 在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点满足，记点的运动轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于轴、轴和坐标原点对称 B. 周长的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 点到坐标原点距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先判定轨迹方程的类型，求出轨迹方程，后用卡西尼卵形线中的焦点三角形的方法求解即可. 【详解】对于A，设，由得， 即，故轨迹为卡西尼卵形线， 以替换方程不变，替换方程不变， ，同时分别替换，方程不变，所以曲线关于轴、轴和坐标原点对称，故选项A正确； 对于B，的周长， 当且仅当时等号成立，故选项B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，所以当， 即时，取得最大值，最大值为1， 所以的最大面积，故选项C错误； 对于D，， 即，即，即， 当且仅当，即，时等号成立，故选项D正确， 故选：ABD． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 若，则方程有两个不等的实根 C. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由及函数连续性可判断；对B、D，将问题转化为两个函数图象交点的个数问题，画出函数的大致图象，结合图象可判断；对C，当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，求出点坐标，用点到直线距离公式求最值. 【详解】对于A：，由得，又函数在连续， 所以的单调递减区间是，A正确； 对于B：当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，取得最大值，又时，； 时，，所以的图象大致如图： 当时，函数与函数图象有两个交点， 即方程有两个不等的实根，B错误； 对于C：当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 设点，则，解得，此时， 点到直线的距离，C正确； 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 故选：ACD. 11. 已知数列的通项公式是.设为数列的前项和，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若存在，使得，则 D. 不存在，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据题意直接计算判断即可；对于B，分、两种情况讨论求解即可判断；对于C，利用周期性，故的正负，只需考查即可，分奇偶项求和即可；对于D，由，设，再利用错位相减法求和判断符号即可求解． 【详解】对于A，， ， ，，故A错误； 对于B，当，即时，，不符题意； 当，即时，又为偶数， 所以， 即，，，解得； 综上，当时，，故B正确； 对于C，时，，则数列是周期数列，周期为， 所以的正负，只需考查即可， 时，奇数项是首项，公差为的等差数列， 偶数项是首项为，公比为的等比数列， 当时， ， 时，，时，， 所以若存在，使得，则，故C正确； 对于D，， 设，其前项和为， ， ， 相减得 ， ， 当时，， 时，，又为周期数列， 所以不存在，使得，故D正确． 故选：BCD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 在递增的等比数列中，，，则______. 【答案】2026 【解析】 【分析】由及等比数列的性质可求得，根据等比数列的增减性可判断公比的范围，根据列方程可求得公比，进而求解. 【详解】因为是等比数列，设其公比为， 所以，又，所以，解得. 所以等比数列的通项公式为， 又是递增的等比数列，由指数函数的性质可知. 由知，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以. 所以. 13. 已知是椭圆上关于原点对称的两点，是的右焦点，的延长线交于点，则的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，证明四边形为平行四边形，设，结合椭圆定义和余弦定理可得，在中，由余弦定理可得的关系，由此可求离心率. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接、、， 由题意可知，关于原点对称，且为的中点，所以四边形为平行四边形， 因为，所以， 由，设，则， 所以，，， 在中，由余弦定理得， ， ，解得，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得，故椭圆的离心率. 故答案为：. 14. 圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度.设函数的定义域为D，其导数为，的导数为，，将称为曲线在处的曲率，曲率越大弯曲程度越大.则余弦曲线曲率K的最大值为______ 【答案】1 【解析】 【分析】先求出的一阶导数和二阶导数，将其代入曲率公式，通过换元法将三角函数形式的函数转化为普通代数函数，再利用函数求最值的方法求解最大值. 【详解】对于，求一阶、二阶导数：， 因此， 代入曲率公式得：， 设，由得，且，因此：， 由于，求的最大值等价于求的最大值， 设，对求导：， 因此在上单调递减，最大值在处取得：，即，得， 故曲率的最大值为. 四、解答题：本大题共5小题，其中15题满分13分，16、17题满分15分，18、19题满分17分，共77分.把答案填在答题卡的相应位置. 15. 在平面内，已知点，圆：，点是圆上的一个动点，记线段的中点为． （1）求点的轨迹方程； （2）若直线：与的轨迹交于，两点，是否存在直线，使得（为坐标原点），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在直线l，使得，此时. 【解析】 【分析】设出点Q，根据Q是PA中点的坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，根据P在圆上，得到Q轨迹方程； 设，，将代入圆的方程，可得，由，得k的取值范围，利用根与系数的关系可得的k值． 【详解】设，点P的坐标为， 点，且Q是线段PA的中点， ，， 在圆C：上运动， ，即； 点Q的轨迹方程为； 设，， 将代入方程圆的方程，即，． 由，得， ，， ， ， 即， 解得舍，或． 存在直线l，使得，此时． 【点睛】本题考查了直线与圆相交关系、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、中垂线的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16. 已知函数，. （1）求的单调区间； （2）设是函数的两个极值点，证明：. 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出定义域，求导，分与两种情况，解不等式得到单调区间； （2）转化为是方程的两不等正根，结合根的判别式得到，令，得到，计算出，构造函数，求导，得到函数单调性和最值，得到证明. 【小问1详解】 的定义域为， ， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 综合得：当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为； 【小问2详解】 ， 则， 因为是函数的两个极值点， 即是方程的两不等正根， 所以，得， 令，则， 得， 则， 所以 ， 则， 令，则， 所以在上单调递增， 所以， 所以，即. 【点睛】方法点睛：极值点个数的判断问题，一般转化为方程根的个数，求导后若可以化为二次函数，可以利用根的判别式及韦达定理求解，若不是二次函数，则研究函数的单调性，借助函数图象研究，在完成此类题目时，往往会将多元问题转化为一元问题进行解决. 17. 已知数列为等比数列，为等差数列，且，，. （1）求，的通项公式； （2）数列的前项和为，集合共有5个元素，求实数的取值范围； （3）若数列中，，，求证：. 【答案】（1） ， （2） . （3） 由， 则当时， ， 当时，也满足上式， 所以， ， 所以原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为，数列的公差为，由已知易得，，可求，； （2）设数列，可求得，，进而可得，可得，可求的取值范围为. （3），进而计算可得不等式成立. 【小问1详解】 设数列的公比为，数列的公差为， 则由，，所以，所以， ，即，所以， 所以； 【小问2详解】 设数列， 则， 所以 ， ， 令， ， 可得， 故当时，最大， 且， 所以，即的取值范围为. 【小问3详解】 略. 18. 已知抛物线的焦点为，为其准线上一点，过引抛物线的两条切线，切点分别为. （1）求抛物线的标准方程； （2）求的外接圆面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的焦点坐标，可得答案； （2）利用抛物线的性质，先证明，得到为直角三角形，其外接圆直径为，建立起的函数关系式，利用导数求最值即可. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点为， 所以，即抛物线的方程为：； 【小问2详解】 设，，， 由得，得，所以，， 因此直线的方程为，直线的方程为， 所以，， 故、是方程，即的两根，故， 由，则，，， 则，故， 则的外接圆直径为，， ， 令，， 则， 则当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故， 故，则的外接圆半径， 故的外接圆面积的最小值为. 19. 已知函数 （1）若 ，求 在点 的切线方程； （2）若 ，求 的取值范围； （3）若 ，设 ，且 ，证明: . 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数切线方程的求法求解即可； （2）将不等式转化为，令，所以，利用导函数求出即可； （3）利用导数及零点存在定理，结合基本不等式的性质即可求解. 【小问1详解】 当时，，， ，则， 所以 在点 的切线方程为，即. 【小问2详解】 由可得，即， 令，所以. ， 显然，令， 则， 所以在上单调递减，因为，所以时，；时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以， 所以 的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，当且仅当时等号成立， 因为，所以，则，即， 同理可得，所以，即， 当时，，， 当时，，单调递增. 令，则， 当时，，当时，， 所以当时，，即在单调递增，所以在单调递增， 又，，所以存在唯一，使得， 当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增. 又，， 则存在唯一，使得，因此当时，当时，，且，所以，即， 又，则，即，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学2025—2026学年度下学期高二年级开学考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 1. “”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知数列满足，且对任意的，都有，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 已知F为抛物线的焦点，C的准线和轴交于点P，点M在抛物线C上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，，，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分 9. 在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点满足，记点的运动轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于轴、轴和坐标原点对称 B. 周长的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 点到坐标原点距离的最小值为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 若，则方程有两个不等的实根 C. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 11. 已知数列的通项公式是.设为数列的前项和，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若存在，使得，则 D. 不存在，使得 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 在递增的等比数列中，，，则______. 13. 已知是椭圆上关于原点对称的两点，是的右焦点，的延长线交于点，则的离心率为__________. 14. 圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度.设函数的定义域为D，其导数为，的导数为，，将称为曲线在处的曲率，曲率越大弯曲程度越大.则余弦曲线曲率K的最大值为______ 四、解答题：本大题共5小题，其中15题满分13分，16、17题满分15分，18、19题满分17分，共77分.把答案填在答题卡的相应位置. 15. 在平面内，已知点，圆：，点是圆上的一个动点，记线段的中点为． （1）求点的轨迹方程； （2）若直线：与的轨迹交于，两点，是否存在直线，使得（为坐标原点），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 16. 已知函数，. （1）求的单调区间； （2）设是函数的两个极值点，证明：. 17. 已知数列为等比数列，为等差数列，且，，. （1）求，的通项公式； （2）数列的前项和为，集合共有5个元素，求实数的取值范围； （3）若数列中，，，求证：. 18. 已知抛物线的焦点为，为其准线上一点，过引抛物线的两条切线，切点分别为. （1）求抛物线的标准方程； （2）求的外接圆面积的最小值. 19. 已知函数 （1）若 ，求 在点 的切线方程； （2）若 ，求 的取值范围； （3）若 ，设 ，且 ，证明: . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $