10.4 三元一次方程组的解法-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

·10.4三元一次方程组的解法 新知解读 前面我们通过列二元一次方程组解决了一些问题.实际上，有不少问题含有 更多的未知数，类比二元一次方程组的研究方法，我们来解决这样的问题： 看下面的问题， 问题在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的 场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场 得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？ 解决这个问题的一个自然的想法是，设这个球队胜、平、负的场数分别为x, y,z,根据题意，可以得到下面三个方程： x+y+z=22, 3江+=47，…心三个知麦。瓶我到 三个等量关系 x=4z+2. 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一 起，写成 x+y+z=22, 三元一次方程组须满( 3x+y=47, 足下面三个条件 x=4z+2. ① ② ③ 这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的 项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组. 怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或 加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解.那么，能不能按照同样的思 路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次 方程组呢？ *本节内容为选学内容， 第十章二元一次方程组 107 也可由②-① 让我们看前面列出的三元一次方程组 得到2x-2=25,④ x+y+z=22, 再将③代入④ ① 得到2（4z+2）-z=25 3x+y=47, 解得z=3,⑤ ② 将⑤水入③求出x后，再 x=4z+2. 代入②求出y 仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②并化简，得到两个只含y,z 的方程y+5z=20和y+12z=41,它们组成方程组 1y+5z=20, 你还能用其他方 y+12z=41. 法解这个三元一次方 解这个二元一次方程组，可以求出y和z,进而可以 程组吗？ 求出x. 从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或 “加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使獬三元一次方程组转化为解二元 一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是二 样的 基本思路仍是消元，消元 的方法是代入法或加减法 消元 消元 三元一次方程组 二元一次方程组 元一次方程 例1解三元一次方程组 消元消去的是同一个未知戴 3x+4z=7, ① 2x+3y+z=9, ② 5x-9y+7z=8. ③ 分析：方程①只含x,z,因此，可以由②③消去y,得到一个只含x,z的方 程，与方程①组成一个二元一次方程组. 解：②×3+③，得>先消去系悬成整裁倍的未知数 11x+10z=35 ④ ①与④组成方程组 3x+4z=7, 11x+10z=35. 解这个方程组，得 x=5, 2-2 108 教材笔记数学七年级下册RJ 把x=5,z=-2代人②，得 2×5+3y-2=9, 你还有其他解法 因此，这个三元一次方程组的解为 吗？试一试，并与这种 解法进行比较. x=5, 1 y=3’ 2=-2. 练习 解下列三元一次方程组： |x-2y=-9, 1x=22 4x-9z=17, 31 x=5 (1){y-2=3, (1) (2) 3x+y+15z=18,(2) y=-2 2z+x=47; 25 Z= 2 x+2y+3z=2; 炉3 1x+y=3, 3x-y+z=4, (3) 1x=2 1x=2 y+z=4, (3 y=1 (4) 2x+3y-z=12,(4) 1=3 z+x=5; 1z=3. x+y+z=6. z=1 在解决一些含有三个未知数的问题时，可以考虑列三元一次方程组，通过解 方程组获得问题的答案. 例2在等式y=a2+bx+c中，当x=-1时，y=0;当x=2时，y=3;当 x=5时，y=60.求a,b,c的值. 分析：把a,b,c看作三个未知数，分别把已知的x,y值代入原等式，就 可以得到一个三元一次方程组之关于a,b,c的三元一次方程组 解：根据题意，列得三元一次方程组 a-b+c=0, ① 4a+2b+c=3, ② 25a+5b+c=60. ③ 第十章二元一次方程组 109 ②-①，得以消去系最相同的未知最 7 a+b=1. ④ ③-①，得 4a+b=10. ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 1a+b=1, 4a+b=10. 解这个方程组，得 a=3, b=-2 把a=3,b=-2代入①，得 c=-5. 因此a,b,c的值分别为3，-2，-5. 例3一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上 的数的差是个位上的数的}.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位 置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数. 分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等 关系，可以列三元一次方程组· 解：设这个三位数百位上的数为x,十位上的数为y,个位上的数为z.根据 )三位数的表示方法为100x+10y+z 题意，列得三元一次方程组 x+y+z=14, ① 2x-少号2， ② 100z+10y+x+99=100x+10y+z. ③ 解这个方程组，得 1x=4, y=7, z=3. 因此这个三位数是473. 110教材笔记数学七年级下册RJ 练习 1.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的兮等于丙 数的7.求这三个数.1.甲最为10，乙最为15，丙数为10， 2.在等式z=ax+y+c中，当x=1,y=2时，z=8;当x=2,y=1时，z=5; 当x=-1,y=-1时，z=4.求a,b,c的值.2.a,b,c的值分别为-1,2,5. 习题10.44 复习巩固 1.解下列三元一次方程组： y=2x-7, x=2 4x+9y=12, (1) 5x+3y+2z=2,(1 V=-3 (2) 3y-2z=1, (2) y= 3x-4z=4; 2 7x+5z= 19 4 z=2 2.解下列三元一次方程组： 2x+4y+3z=9, X=-1 1X=6 (1) 4 (1) =9 (2) 3x-2y+5z=11, (2) y-2 2x-y+2z=27; z=12 5x-6y+7z=13. z=3 综合运用 3.在等式y=a+bx+e中，当x=1时，y=-2:当x=-1时，y=20:当x=多 与x=号时，y的值相等.求a,b,c的值.3.a-6,611,c-3 4.一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位 上的数等于十位上的数的4，且各数位上的数的和为1.求这个三位数.245 拓广探索 5.甲地到乙地全程是3.3km,由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成.如果 保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,下坡每小时走5km,那么从甲 地到乙地需51min,从乙地到甲地需53.4min.从甲地到乙地时，上坡、平路、 下坡的路程各是多少？5.上坡的路程是1.2km,平路的路程是0.6km 下坡的路程是1.5km. 第十章二元一次方程组 111 图说数学史 中国古代数学的光辉成就一解多元一次方程组 我国古代很早就开始对多元一次方程组进行研究，古代数学著作《九章算 术》中专门设“方程”章讨论多元一次方程组.多元一次方程组的解法是我国在 世界上领先的重大数学成就之一.我国古代解多元一次方程组的方法主要有直除 法和互乘相消法 直除法 3x+2y+z=39,① 3x+2y+z=39, ②×3-①-① 2x+3y+z=34,② 5y+z=24, ③×3-① x+2y+3z=26,③ 4y+8z=39 继续使用此法，将一行消到只剩下一个未知数，即可求解. 《九章算术》中的“直除法”具有普遍性，相当于现代高等代 数的矩阵解法.《九章算术》是世界上最早记录这种解法的著作. 刘 贾 徽 完 魏晋 北宋 刘徽给出了直除法 贾宪根据题目特点灵活 的理论基础—举率以相 地选择直除法和互乘相消法， 减，不害余数之课也，即 并且不再借助具体问题阐述如 两个方程对应相减，方程 何解多元一次方程组，他将中 组的解不变.刘徽还创造 国传统数学的抽象化推进到了 了“互乘相消法”. 一个新阶段. 112教材笔记数学七年级下册RJ 解多元一次方程组的方法反映了中国古代数学程序化的特点.宋元时期，中 国数学家朱世杰又发展了多元高次方程组的求解方法.我国著名数学家吴文俊先 生就借鉴中国古代数学的思想和方法，古为今用，创立了数学机械化理论，在国 际上产生了巨大的影响， 互乘相消法 15x+2y=10,① ①×2 10x+4y=20, 2x+5y=8, ② ②×5 10x+25y=40. 然后用第二行减去第一行，消去x,可以得到y的值. 互乘相消法不但起到事半功倍的作用，而且可以推广，正如 刘徽所说：“以小推大，虽四、五行不异也” 辉 梅文鼎 南宋 清 杨辉率先以接近现 梅文鼎系统整理和总 代的形式列、解多元一 结了中国传统数学中多元 次方程组，并对如何解 一次方程组的解法. 多元一次方程组进行了 系统的论述. 第十章二元一次方程组 113 ★阅读与思考大 中国古代著名的一次不定方程组问题 《九章算术》的“方程”章中记载了一道有趣 的“五家共井问题”：今有五家共井，甲二绠不足，如 乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁 一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一 绠.各得所不足一绠，皆逮.问井深、绠长各几何· 这个问题的意思是：今有五家人共用一口水井，每 分 家都备有打水绳，但各家的绳长可能不同.如果把2条 甲家的绳子和1条乙家的绳子接起来，刚好能够着井里 的水面；把3条乙家的绳子和1条丙家的绳子接起来， 刚好能够着井里的水面；…那么这五家的打水绳各有多长？井深是多少？ 显然，问题中包含了多个未知数.若设甲、乙、丙、丁、戊各家绳长分别 为x,y,z,w,v,井深为h,则可列得方程组 2x+y=h, 3y+z=h, 4z+u=h, (*) 5u+v=h, 6v+x=h. 与二元、三元一次方程组不同的是，上述一次方程组有6个未知数，5 个方程.任意给定h的一个值，就可求出x,y,z,4,v的值，也就是说，（*) 有无穷多个解.像(*)这样的方程组被称为不定方程组· “五家共井问题”可能是中国古代数学中最早出 现的不定方程组问题.到了5世纪，《张丘建算经》中 记载的“百鸡问题”引起了后世中外数学家的广泛兴 趣，成了中国古代数学中流传更广的不定方程组问题. 十國 “百鸡问题”的意思是：如果1只公鸡值5个钱， 1只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱，现用100个 钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只. 114 教材笔记数学七年级下册RJ 如果设公鸡、母鸡、小鸡的只数分别为x,y,z,那么可列得一次不定方 程组 5x+3y+号z=10, x+y+z=100. 这个方程组的解必须是正整数，你能找出其中一个正整数解吗？ 事实上，数学家研究的不定方程组常常把解限定在正整数、整数、有理 数等范围内.“百鸡问题”属于典型的一次不定方程组问题.在张丘建之后， 我国数学家又编制了许多其他一次不定方程组问题，但都没有给出这类方程 组的一般解法.直到19世纪，清代数学家利用南宋数学家秦九韶（约1202一 约1261)发现的“大衍求一术”，终于使一次不定方程组问题的求解获得了新 的突破. 数学活动 活动1二元一次方程的“图象” (1)在平面直角坐标系中，你能把二元一次方程x-y=0的一个解用 一个点表示出来吗？标出一些以方程x-y=0的解为坐标的点，过这些，点 中的任意两，点作直线，你有什么发现？在这条直线上任取一点，这个点的 坐标是方程x-y=0的解吗？ 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的 图象.想一想，二元一次方程的图象是什么几何图形？ (2)根据（1)的结论，在同一平面直角坐标系中画出二元一次方 程组 2x+y=4, x-y=-1 中的两个二元一次方程的图象·由这两个二元一次方程的图象，你能得出 这个二元一次方程组的解吗？ 第十章二元一次方程组 115