10.2 消元——解二元一次方程组-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

10.2消元一解二元一次方程组 新知解读 在上一节中，我们根据本章引言中的问题列出了方程组，并结合未知数的实 际意义，通过逐一尝试的方法，找出了方程组的解.本节我们继续研究怎样解二 元一次方程组. 减少未知最的个裁，使多元一次方程组 最终化为一元一次方程 10.2.1代入消元法 在上一节中，我们已经看到，直接设两个未知数：租用了x台大型采棉机， y台小型采棉机，可以列方程组 x+y=6, 2x+y=8 表示本章引言中问题包含的相等关系.如果只设一个未知数：租用了x台大型采 棉机，那么这个问题也可以用一元一次方程 2x+（6-x)=8 来解决. 管思考 对于本章引言中的问题，采用不同的设未知数的方法，由问题中的相等 关系，可以分别列出二元一次方程组和一元一次方程.你能由所列出的二元一 次方程组得到所列的一元一次方程吗？用含有一个未知鬟的式子表示另一个未知 7裁，然后把这个式子代入另一个方程 我们发现，二元一次方程组中第一个方程x+y=6可以写为y=6-x.由于两 个方程中的y都表示租用小型采棉机的台数，所以可以通过等量代换，把第二个 方程2x+y=8中的y换为6-x,这个方程就化为一元一次方程2x+（6-x)=8. 解这个一元一次方程，得x=2.把x=2代人y=6-x,得y=4,从而得到这个方程 组的解。 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把 二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们可以先求出一个未知数， 然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作 消元思想.消元时要注意不要把变形后的方程代入 到变形前的同一个方程中， 第十章二元一次方程组 ,→解方程组的前提和关健 上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知 数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程 组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. 例①用代人法解方程组 》去括号时，不要漏乘括号内的任何一项，括号前是 负号时，去括号后括号内的各项符号都需要改变 x-y=3, ① 3x-8y=14. ② 分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x,再代入方程②，比较 简便. 解：由①，得 x=y+3. ③ 把③代入①可以 把③代人②，得 〉用含y的式子表示x 吗？试试看 3(y+3)-8y=14. 代入另一个没有 ③是由①得到的 所以不能代入①. 解这个方程，得 变形的方程 y=-1. 解一元一次方程 把y=-1代入① 把y=-1代人③，得 或②可以吗？可以 x=2. .)得到另一个未知裁 所以这个方程组的解是 x=2, y=-1. 。解用”大括号“联立 例2用代入法解方程组 3x-5y=3, ① 2x-y=16. ② 分析：方程②中y的系数是-1，用含x的式子表示y,再代入方程①，比较 简便. 解：由②，得 y=2x-16. ③ 把③代人①，得 3x-5（2x-16)=3 解这个方程，得 x=11. 92 教材笔记数学七年级下册RJ 把x=11代入③，得 y=6. 所以这个方程组的解是 x=11, y=6. 练习 1.把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：1.(1)=-3x+1. （2)y=2x-3. （1)3x+y-1=0; (2)2x-y=3. 2.用代入法解下列方程组： 2.(1) 2 2x-y=5, 3x-2y=5, (1) (2) x=3 3x+4y=2; 2x+y=8; (2) y=2. 1a=2 4a-3b=5, 8-3t=-2, (3) (4) (3)b=1. 2a+b=5; 1s+5t=6. (4)e1. =1, 上面要解的二元一次方程组的两个方程中有一个未知数的系数为1或-1， 下面再来看另外一些例子. 例31用代入法解方程组 2x-5y=-11, ① 9x+7y=39. ② 分析：方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子 表示x,再代入方程②. 可以先消去y 解：由①，得 ①，得y=号x+号 然后将这个式子代入② x=- ③ 解这个方程组 时，可以先消去y吗？ 把③代入②，得 试试看. 9(3y号）+7=39. 解这个方程，得 y=3. 第十章二元一次方程组 93 把y=3代入③，得 x=2. 所以这个方程组的解是 x=2, y=3. 例4快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件，某快 递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送 件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件的报 酬都相同，每揽一件的报酬也都相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 分析：由题意可知， 送120件的报酬+揽45件的报酬=270，，)我出等量关系 送90件的报酬+揽25件的报酬=185. 由此可以列出方程组，通过解方程组解决问题. 解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元， 根据这名快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系，列得方程组 120x+45y=270, ① 90x+25y=185. ② 由①，得 》也可以先将两个方程化 为最简，再解方程组 = 3 8上 ③ 把③代入②，得 90 9 4- +25y=185. 解这个方程，得 .注意不要漏乘 y=2. 把y=2代入③，得 x=1.5. 所以这个方程组的解是 x=1.5, y=2. 答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元. 94 教材笔记数学七年级下册RJ 练习 1用代入法解下列方程组：1.(1)(2) 4x-3y=-2, 3m+2n=17, (1){5x+4y=13: (2) 2m-3n+6=0. 2.一种商品分装在大、小两种包装盒内，3大盒、4小盒共装108瓶，2大 盒、3小盒共装76瓶.大、小包装盒每盒各装多少瓶？ 2.大包装盒每盒装20瓶，小包装盒每盒装12瓶， 10.2.2加减消元法 管思考 前面我们用代入法求出了方程组 x+y=6, ① 2x+y=8 ② 的解.这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系，你能 发现新的消元方法吗？ 这两个方程中未知数y的系数相等，②-①可以消 。 ②-①就是用方 去未知数y,得 相加或相减前应 使要消去的未知( 程②的左边减去方程 x=2 戴的系数互为相 ①的左边，方程②的 反数或相等，为 把x=2代入①，得 此需要先根据等 右边减去方程①的 式的性质对方程 右边. y=4. 变形 所以这个方程组的解是 7x=2, y=4. 草思考 3x+10y=2.8,① 115x-10y=8.② 3x+10y=2.8,①+②，得18x=10.8 联系上面的解法，想一想怎样解方程组 15x-10y=8. 解得x=0.6,将x=0.6 代入①，得y=0.1. 从上面两个方程组的解法可以看出，当二元一次方程组的两个方程中某个 未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就 能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.这 加减消元的依据是等式的性质← 第十章二元一次方程组 95 种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法· 例5用加减法解方程组 3x+=0, ① 2x- ② 解：①+②，得 5x=15, x=3. 把x=3代入①，得 把x=3代入②， 可以解得y吗？ 3×3+岁=0， 可以.代入①和②均可 y=-18. 根据实问题，选择一个 所以这个方程组的解是 简单的式子代入即可. x=3, y=-18. 练习d 用加减法解下列方程组： (1) x=2 x+2y=9, 2a-3b=-9, y=3.5 (1) (2) (3x-2y=-1; 7a-3b=6; a=3, (2)b=5. x=5 5x+2y=27, -5y=13, (3) y=1. (3) (4) 3 x=-21 5x-4y=21; x+5y=-41. (4) y=-4. 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反 数时，能用加减法解方程组吗？看下面的例子，能，但需先将两个方程中 同一个未知数的系数化为 例61用加减法解方程组 相等或互为相反数，就可 3x-2y=4, 以用加减法解方程组. ① 7x+4y=18, ② 96 教材笔记数学七年级下册RJ 分析：这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接把 这两个方程进行加减不能消元.观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系， 将①×2可以使两个方程中y的系数互为相反数，就可以用加减法求解了. 解：①×2，得 )两个方程中y的系数有倍戴关系，消去y较简单 6x-4y=8. ③ ②+③，得 13x=26, x=2. 把x=2代入①，得 回代时选择系裁较简单的方程 3×2-2y=4, y=1. 所以这个方程组的解是 1x=2, y=1. 例7我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？ 意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两. 那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？ 分析：由于每头牛和每只羊的价格分别相等，所以根据“5头牛、2只羊， 共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”可列得方程组. 解：设每头牛和每只羊分别值金x两和y两. 根据问题中的相等关系，列得方程组 0 5x+2y=10, ① 利用等式的性质对方程适当 变形，使得两个方程中某个未知 2x+5y=8. ② 数的系数互为相反数或相等，就 ①×2，得 可以用加减法求解了· 10x+4y=20. ③ ②X5,得片注意方程两边都要乘停载 10x+25y=40. ④ ④-③，得 21y=20, 第十章二元一次方程组 97 ①×5-②×2 y= 20 21 把y=引代入①，得 如果用加减法消去 y,应该怎样解？解得的 34 x= 结果一样吗？ 21 所以这个方程组的解是 x= 34 1, y= 20 21 答：每头牛和每只羊分别值金引两和引两。 21 解方程组的基本思想是消元.代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的 两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不 同.应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法 管思考 (1)怎样解下面的方程组？ 2x+y=1.5,→用代入消元法 x+2y=3,→用加减消元法 0.8x+0.6y=1.3; 3x-2y=5. (2)选择你认为简便的方法解习题10.1的第4题(“鸡兔同笼”问题) 练习 1.用加减法解下列方程组： 3x+4y=16, 2x+3y=- 20 x=- 1 (1) (1) 9, 5x-6y=33; y=- (2) (2) 3x+2y=- 3 3 2.周末，王芳到菜市场帮妈妈买鲈鱼和茄子.已知鲈鱼每千克35元，茄子 每千克6元，王芳买的茄子比鲈鱼多0.5kg,共花费44元.她买了鲈鱼 和茄子各多少千克？2.她买了鲈鱼1kg,茄子1.5kg 98 教材笔记数学七年级下册RJ 习题10.2/ 复习巩固 1.把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式： (1)多x+2y=1:1)x+ (2)4x+子y=2:(2)8号 (3)5x-3y=x+2y;(3)=号x (4)2(3y-3)=6x+4.(4)y=+号 2.用代入法解下列方程组： y=x+3, 3s-t=5, 25 (1) (1) (2) (2) 7x+5y=9; 5s+2t=15; t 20 2 11 12x+3y=-5, (3) (3) (4) + 3 =6, (4) 3x-4y=18; 3(x+y)-2(x-y)=28. 3.用加减法解下列方程组： 3u+2t=7, 1=2 2a+b=3, (1) (1) (2) a=1 l64-2t=11; 3a+b=4; (2)b1. 2x-5y=7, x- 3 (3) (3) (4) 3 y=-3, 4x-3y=7; (4 5x+y=2, ->133人 4.某旅行社组织200人到花果岭和云水洞旅游.经统计，到花果岭旅游的人数此 到云水洞的人数的2倍少1.到这两地旅游的人数各是多少？ 67 5.一条船顺流航行，每小时行驶20km;逆流航行，每小时行驶16km.船在静水 18km/h←- 中的速度与水流速度分别是多少？ km/h 6.七年级（1)班的同学去参加科技体验活动，第一组有2人选择“九天揽月” 活动，3人选择“深海探幽”活动，共花费130元；第二组有4人选择“九天 揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费140元.每张“九天揽月” 20元← 和“深海探幽”活动的票价各为多少元？ ->30元 综合运用 7.解下列方程组： 3(x-1)=y+5, + 1 2, 3 (1) (2) 2= 3(x+5)=5(y-1); 7 (2) 5 15 =2 第十章二元一次方程组 99 8.《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五 寸，屈绳量之，不足一尺，问几何.意思是：用一根绳子去量一根木头，绳 子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺.请你 解决这个问题.8.木头长6.5尺 9.某市出租车起步价所包含的行驶里程不超过3km,超过3km的部分按一定 标准另外收取里程费.张华乘坐出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为 7km,起步价和里程费共计17.2元；第二次乘车行驶的路程为13km,起步 价和里程费共计28元.你能由此计算出出租车的起步价和超过3km后的里 程费收费标准吗？9.出租车的起步价为10元，超过3k后每千米收费1.8元 10.为举办“我和我的祖国”文艺会演，学校为七年级（1)班表演诗朗诵的5名 男生和3名女生租用演出服的总费用是190元；为七年级(2)班表演小合唱 的11名男生和12名女生租用演出服的总费用是580元.如果每套男、女生演 出服的租用费分别相同，每套男、女生演出服的租用费各是多少钱？ 10.每套男生演出服的租用费为20元，每套女生演出服的租用费为30元. 11.2台大型收割机和5台小型收割机同时工作2h共收割小麦3.6hm2,3台大 型收割机和2台小型收割机同时工作5h共收割小麦8hm2.1台大型收割机 和1台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷？ 11.1台大型收割机每小时收割小麦0.4hm2,1合小型收割机每小时收割小麦0.2hm 拓广探索 12.我国明代数学家程大位(1533一1606)所著《算法统宗》中记载了“二果 问价”问题： 九百九十九文钱，甜果苦果买一千. 甜果九个十一文，苦果七个四文钱. 试问甜苦果几个，又问各该几个钱： 意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个 甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果、苦 果分别花了多少文钱？请你解决这个问题， 12.甜果买了657个，若果买了343个：买甜果花了803文钱，买苦果花了196文钱. 100教材笔记数学七年级下册RJ