10.1 二元一次方程组的概念-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

第十章二元一次方程组 在解决一些问题时，经常会遇到求两个未知数的情形.看下面的问题 新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘 的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8hm 棉田的采摘.如果每台大型采棉机1h完成2hm棉田的采摘，每台小型采棉机 1h完成1hm棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？ 在这个问题中，要求的是两个未知数，如果用一元一次方程来解决，列方程 时，要用一个未知数表示另一个未知数.能不能根据题意直接设两个未知数，使 列方程变得容易呢？我们从这个想法出发开始本章的学习 在本章中，我们将从实际问题出发，认识二元一次方程组，学习解二元一次 方程组的方法，并运用二元一次方程组解决一些实际问题.在此基础上，学习三 元一次方程组及其解法.通过本章的学习，你将对方程（组）有新的认识. 10.1二元一次方程组的概总 新知解读 我们来看本章引言中的问题， 草思考 列方程要先找到相等关系.本章引言中的问题包含了哪些必须同时满足 的相等关系？若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你 能用方程把这些相等关系表示出来吗？ 容易发现，问题包含两个必须同时满足的相等关系： 大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数， 大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=1h采摘总面积. 这两个相等关系可以分别用方程x+y=6和2x+y=8表示， @观察都会有两个未知戴x和y,并且含有未知戴的项的次裁都是1， 它们都含有 上面的两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？两个未知戴 ① 可以看出，在上面两个方程中，。每个方程都含有两个未知数(x和y),且含 有未知数的武子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二 元一次方程(linear equation with two unknowns）.一元一次方程女须同时满足这3个条件 上面的问题中包含两个必须同时满足的相等关系，也就是未知数x,y必须 同时满足方程 x+y=6 ① 和 2x+y=8. ② 把这两个方程合在一起，写成 x+y=6, 2x+y=8, >并非每一个方程都安 须含有两个未知裁 就组成了一个方程组.这个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是 整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作 二元一次方程组(system of linear equations with two unknowns), (1)方程组中只有两个整式方程， (2)每个方程都是一次方程. (3)方程组中共含有两个未知数，相同字母代表同一量 88教材笔记数学七年级下册RJ Q探究 )隐含条件 满足方程①，且符合问题的实际意义的x,y的值有哪些？把它们填入 表中. 2 3 4 5 2 5 4 3 2 1 上表中哪对x,y的值还满足方程②？ .-7x=2,y=4 显然，x=1,y=5;x=2,y=4;…;x=5,y=1满足方程①，也就是使方程 x+y=6两边的值相等，它们都是方程x+y=6的解.如果不考虑方程x+y=6与上 面实际问题的联系，那么x=-1,y=7；x=0.1,y=5.9;…也都是这个方程的解. 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方 程的解， 我们还发现，x=2,y=4既满足方程①，又满足方程②.也就是说，x=2, y=4是方程①与方程②的公共解.我们把x=2,y=4叫作二元一次方程组 x+y=6, x=2, 的解，这个解通常记作 》二元一次方程组的解都是成对的两个 2x+y=8 y=4. 裁，一般用“大括号”联立表示 联系前面的问题可知，这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机. 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解. )既是第一个方程的解 练习 又是第二个方程的解 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题 的解.1.28.郭得居 ∫x+y=10, ∫x=6 2.{2x+y=16,解得{4 1.某村乡村振兴项目计划把28t黄桃加工成罐头，刚开始每天加工2t,后 在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工4t,前后共用8天完成全 及用 部加工任务.这个项目改进加工方法前、后各用了多少天？ 2.在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1 分.某队在10场比赛中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少？ 设胜x场 7设负y场 第十章二元一次方程组 89 习题10.1 复习巩固 1.填表，使上下每对x,y的值是方程3x+y=5的解. -2 0 0.4 53 2 2.5 11 5 3.8 0 -1 -2 -2.5 -3 x+6y=4, 2.方程组 的解是(C) 3x-y=2.5 x=2, 1x=-5.5, (A) (B) y=-0.25 y=4 (c)ky=-0.5 1x=1, 1x=-1, (D y=-0.5 综合运用 3.如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，求： (1)x,y满足的关系式；3.(1)x+2y=180. （2)y=45. (2)当x=90时，y的值； （3)x=60. (3)当y=60时，x的值. 4.我国古代数学著作《孙子算经》（成书于公元400年前后)中有“鸡兔同笼” 问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何.你能用 二元一次方程组表示问题中的数量关系吗？试找出问题的解. 4.设鸡有x只，兔有y只 列得方，4条 y=12. 拓广探索 5.把一根长7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管，为了不造成浪费， 应截成2m长和1m长的钢管各多少根？你能用二元一次方程来解决这个问 题吗？ 5.设裁成2m长的钢管x根，1m长的钢管y根. 列方程，得2x+=7. 因为不能造成浪费，所以x,y都是正整数，解得=1，y=5;x=2,y=3;x=3,y=1. 所以应截成2m长的钢管1根，1m长的钢管5根；或2m长的钢管2根，1m长的 钢管3根；或2m长的钢管3根，1m长的钢管1根. 90 教材笔记数学七年级下册RJ