9.2 坐标方法的简单应用-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

9.2坐标方法的简单应用 新知解读 平面直角坐标系建立了平面内的点与它的坐标的一一对应关系，这样就可以 利用坐标方法数形结合地研究一些问题. 9.2.1用坐标表示地理位置 在实际生活中，经常需要准确描述一些地点的位置，这时可以通过建立平面 直角坐标系，用坐标来表示地理位置. Q探究 根据以下条件画一幅示意图，画出天安门、国家体育场、中国人民抗日 战争纪念馆、北京朝阳火车站、首钢滑雪大跳台、颐和园的位置 国家体育场：在天安门以北约9km处 中国人民抗日战争纪念馆：在天安门以西约14.5km,再往南约6km处. 北京朝阳火车站：在天安门以东约9.5km,再往北约4km处. 首钢滑雪大跳台：在天安门以西约21km处. 颐和园：在天安门以西约11km,再往北约10km处. ,》原点选取不同，所得到的坐标也不同 如图9.2-1，选取天安门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、 y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定1个单位长度代表1k长.依题目所给 条件，点(0,0)就是天安门的位置，点(0,9)就是国家体育场的位置，点 (-14.5,-6)就是中国人民抗日战争纪念馆的位置。 颐和园 (-11,10) y/km 10国家体育场 8 (0,91 6 北京朝阳火车站 (9.5,4) 首钢滑雪大跳台 天安门 (-21,0) -20-18-16-14-12-10-8-6-420 246810x/km 中国人民抗耳战争纪念馆 *(-14.5,6）) 图9.2-1 72 教材笔记数学七年级下册RJ ->(9.5,4) 类似地，请你在图9.2-1上画出北京朝阳火车 选取天安门所在位置 站、首钢滑雪大跳台、颐和园的位置，并标明它们的 >(-21,0） >(-11,10) 为原点，并分别以正东、 坐标.如图9.2-1所示· 正北方向为x轴、y轴的正 方向，有什么优点？ 更简便，示意图直观 2归纳 一目了然 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布平面图的过程如下： (1)建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、 y轴的正方向； “→一般地，两个坐标轴 (2)根据具体问题，确定单位长度；选取相同的单位长度 (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称. 简记为：(1)建立坐标系.(2)选单位长度.(3)定点，写坐标 我们知道，通过建立平面直角坐标系，可以用坐标表示平面内点的位置.还 有其他方法吗？ 思考 如图9.2-2，一艘船在A处遇险后向相距 北 35 n mile位于B处的救生船报警，如何用方向 B 和距离描述救生船相对于遇险船的位置？救生 60 船接到报警后准备前往救援，如何用方向和距 离描述遇险船相对于救生船的位置？ 图9.2-2 由图9.2-2可知，救生船在遇险船北偏东60°的方向上，与遇险船的距离是 35 n mile.用北偏东60°，35 n mile就可以确定救生船相对于遇险船的位置.反过 -通常先写方向，后写距离 来，用南偏西60°，35 n mile就可以确定遇险船相对于救生船的位置. ,·)在娜里有 ,就在哪里建坐标系 一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示平面内的地理位置，还可以 两者缺二不可飞 用表示方向的角和距离表示平面内物体的位置. 例1某海警舰艇编队在巡航时，舰艇观察员观测到一座东西向的海岛，海 岛的西端位于舰艇的北偏西60°，1.38 n mile处，东端位于舰艇北偏东45°方向. 请你根据以上信息，估算这座海岛东西向的长度.（1 n mile=1.852km) 解：如图9.2-3，根据题日信息，画出表示舰艇和海岛相对位置的示意图. 量得AB≈4.0cm,BC≈5.5cm.由于AB的长度代表实际距离1.38 n mile 第九章平面直角坐标系 73 (约2.56km),可知图9.2-3中1cm代表北 B 实际距离约0.64km,所以海岛东西向的实 际长度约为0.64×5.5≈3.5（km). 60° 45 用AB代表的实际距离除以AB >的图上距离可得 图9.2-3 练习 A(-3,-1),D(-3,2),E（4,1) 1.如图，(1)如果点B,C的坐标分别为F（1,3).G(-1,3) B(-1,-2)和C(1,-1),写出A, D,E,F,G各，点的坐标； (2)请你在图中再建立一个平面直角 坐标系，并写出各点的坐标略 (第1题) 2.李明家在学校以东1000m,再往北 1500m处；张华家在学校以西2000m, 再往南500m处；王芳家在学校以南 1500m处.建立适当的平面直角坐标 北 系，画出学校和这三位同学家的位置， B 并用坐标表示出来.略 40 3.如图是三艘舰艇的位置示意图，试用 A 比例尺：1：1000000 方向和距离描述A,B处的两艘舰艇相 (第3题) 对于C处舰艇的位置 3.A处舰艇在C处舰艇的正东方向30km处；B处舰艇在C处舰艇的北偏东40° 15km处.（也可以根据1 n mile=1.852km换算成海里） 9.2.2用坐标表示平移 我们知道，对一个图形进行平移，图形上点的位置会发生变化.这时如果建 立平面直角坐标系，就可以用坐标的变化表示平移了· Q探究 如图所示 如图9.2-4，将点A(-2,-1)向右平移5个单位长度，得到点A1, 在图上标出这个点，并写出它的坐标.观察坐标的变化，你能发现点A1的 坐标与点A的坐标之间有什么关系吗？把点A向上平移4个单位长度呢？ 横坐标加5，纵坐标不变 横坐标不变，纵坐标加41 74 教材笔记数学七年级下册RJ 把点A向左或向下平移2个单位长度呢？ 横坐标减2，纵坐标不变：← 或横坐标不变，纵坐标减2 3 再找几个点，对它们进行平移，观察各组 2 对应点的坐标之间的关系，你能从中发现什么 规律？ -3-2-10 至34x 4422 4(3-1 ,〉由点的坐标变化也可得出平移规律 图9.2-4 般地，在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右（或左)平移a个单位长 度，可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y)；将点(x,y)向上（或下）平 移b个单位长度，可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b). Q探究 注意：在平面直角坐标系中，点的平移规律是： 横“右加左减”，纵“上加下减”，不要混淆 如图9.2-5，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(-2,4),B(-2, 3),C（-1,3),D(-1,4),将正方形ABCD先向下平移7个单位长度， 再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应地变为点E,F,G,H (图9.2-6)，它们的坐标分别是什么？如果直接平移正方形ABCD,使点A移 到点E,它和前面得到的正方形位置相同吗？ 横坐标分别加8，纵坐标分别减7 y VA A 2 6-5-4-3-2-1 O12345678x -6-5-4-3-211012345678 5 图9.2-5 图9.2-6 可以求出点E,F,G,H的坐标分别是（6，-3)，（6，-4)，（7，-4)， (7,-3).如果直接平移正方形ABCD,使点A移到点E,它和前面得到的正方 形位置相同（图9.2-6) 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将 原来的图形作一次平移得到. 第九章平面直角坐标系 75 例2(1)如图9.2-7，长方形AB'CD D 可以由长方形ABCD经过怎样的平移得到？ 3 对应点的坐标有什么变化？ 2 D 图形的平移就是图形上每个点的平移： P31 每对对应点的坐标变化相同 4-3-2 567x (2)点P(-3,1)是长方形ABCD上一 点，写出点P的对应点P'的坐标 解：(1)将长方形ABCD先向右平移3 图9.2-7 个单位长度，再向上平移2个单位长度，可以得到长方形A'B'CD'.把长方形 ABCD各个点的横坐标都加3，纵坐标都加2，就得到了它们在长方形A'B'CD' 上对应点的坐标·右茄在煮 上加下减 (2)由于点P是长方形ABCD上一点，将点P的横坐标加3，纵坐标加2， 就得到对应点P'的坐标(0,3). 练习 )横坐标都加2 1.如图，将三角形向右平移2个单位长度， (+1,4) 再向上平移3个单位长度，则平移后三 个顶点的坐标分别是(，C。). 纵坐标都加3 , (A)(2,2),(3,4),(1,7) -2- O (B)(-2,2),(4,3),（1,7) -4,1) (C)(-2,2),（3,4),（1,7) -3 (D)(2,-2),(3,3),(1,7) (第1题) 2.如图，图形Ⅱ可以由图形I经过怎样的平移得到？对应，点的坐标有什么变化？ 6 6 3 2 23456x .6-5-4-B-2-1, 023456x :(1)先向下平移6个单 位长度，再向左平移3(1) (2)2先向上平移8个单 6 (第2题) 位长度，再向右平移6 个单位长度得到.对应 个单位长度得到.对应 :点的坐标变化路 点的坐标变化略 76教材笔记数学七年级下册RJ 3.在平面直角坐标系中，已知，点A(0,-2), B(3,0),先将线段AB向左平移2个单位 长度，向上平移3个单位长度，得到线段 B CD;再将线段CD向左平移3个单位长度， 012341 向下平移2个单位长度，得到线段EF画出 平移后的线段CD和EF,并写出点C,D, (第3题) E,F的坐标. 3.画图，如图所示.点C,D,E,F的坐标分别为C(-2,1), D(1,3),E(-5,-1),F(-2,1). 对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过 来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可以看出对这个图形进行了怎样的平移. Q探究 如图9.2-8，三角形ABC三个顶点的坐标分别 是A(4,3),B(3,1),C(1,2). (1)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减 去6，纵坐标不变，分别得到点A1,B1,C1,连接 5-4-3-2- AB1,BC1,CA1各点，所得三角形ABC1与三角 大小、、形状相同 形ABC的大小、形状和位置有什么关系？ )向左平移6个单位长度 (2)将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减 图9.2-8 去5，横坐标不变，分别得到点A2,B2,C2,连接 A2B2,B2C2,C2A2各点，所得三角形A2B2C2与三 角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？ 大小、形状相同 )向下平移5个单位长度 如图9.2-9，容易发现，所得三角形ABC,与三角形ABC的大小、形状完 全相同，三角形ABC,可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到.类 似地，三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将三角 形ABC向下平移5个单位长度得到. 第九章平面直角坐标系 将三角形ABC三个 顶点的横坐标都减去6， B 同时纵坐标都减去5， 画出得到的图形.你有 什么发现？ 新三角形由三角形ABC先向左平移6个单 图9.2-9 位长度，再向下平移5个单位长度得到. 一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减 去)一个正数a,相应的新图形可以看作把原图形向右（或左）平移a个单位长 度得到；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数α，相应的新图形可 以看作把原图形狗上（或下）平移a个单位长度得到，热是件学有 例31如图9.2-10，将三角形ABC平移，得到三角形AB,C1,其中任意一 点P(x0,)平移后的对应点为P1(x+5, o+3).写出三角形ABC的一种沿坐标轴方 向的平移方式，以及点A1,B,C1的坐标. A-2,3) P1(ko+5,y%+3) 解：由平移前后的对应点P和P的坐 2 标关系可知，将三角形ABC先向右平移5个 P(xo,yo) C(2,0) 单位长度，再向上平移3个单位长度，可以 -4W--21 3 4 56 得到三角形ABC.同时，还可以得到点A,B(4,1 B,C的对应点A1,B1,C1的坐标分别为（3， 图9.2-10 6),（1,2),（7,3). 点P先向右平移了5个单位长度 再向上平移了3个单位长度 练习 1.如图，将四边形ABCD平移后，项点C(2, 3)的坐标变成了（2,0)，这时点A（2,7), B D B(1,5),D(3,5)的坐标分别变成了什 么？画出四边形ABCD平移后得到的图形. C2,3 1.点A,B,D的坐标分别变成了（2,4)，（1,2) 2,0) (3,2).画图，如图所示. 01 23456 (第1题) 78 教材笔记数学七年级下册RJ 2.如图，平行四边形AOCB四个顶，点的坐标 分别是A（2,2),0(0,0),C(4,0), B（6,2),将这四个顶点的横坐标都减 去3，同时纵坐标都加1，分别得到点A', O',C,B'.请在图中画出四边形A'O'CB', 它与平行四边形AOCB有什么关系？ (第2题) 2.如图所示.它是四边形AOCB先向左平移3个 单位长度，再向上平移1个单位长度得到的 3.三角形ABC的三个顶，点的坐标分别为A（-3,2),B（1,1),C(-1, -2).若将三角形ABC平移，使点A平移到，点(1，-2)处，写出三角形 ABC沿坐标轴方向平移的一种方式，以及点B和，点C的对应，点的坐标. 3.三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度. 点B和点C的对应点的坐标分别是(5，-3)，(3，-6)· 习题9.21 复习巩固 1.如图，机械手要将一个工件从图中A处移动到B处，但是这个工件不能碰到 图中的红色障碍，试用坐标写出一条机械手在移动中可能要走过的路线！ 1.可以依次走下列各点：（-4，-2)，（-7，-2)，（-7,7)，（-3,7)，（-3,4) 比例尺：1：10000 北 B 图书馆 出 校门 国旗村 教学楼 实验楼 (第1题)》 (第2题) 2.如图，这是一所学校的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表 示教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆的位置.类似地，你能用坐标表示 你自己学校各主要建筑物的位置吗？略 第九章平面直角坐标系 79 3.如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距5km 北 的B处与位于B处的2班会合，如何用方向和距离描述2班 相对于1班的位置？反过来，如何用方向和距离描述1班相 40 对于2班的位置？是奇纯肉0m足 4.如图，在一次飞行表演中，6架飞机A,B,C,D,E,F编 B 队飞行，且保持队形不变，分别写出它们的坐标.当飞机A (第3题) 飞行到A'位置时，飞机B,C,D,E,F飞到了什么位置？ 用坐标表示这6架飞机的新位置. 4.A(-1,1),B(-3,1),C(-1,-1),D(-5,1),E(-3,-1),F(-1,-3) 如图所示.A'(4,3),B(2,3).C(4,1),D'(0,3),E(2,1),F(4,-1) D D 3 B E D B -10 -3-2-10 2 345 2 3 -3引 (第4题) (第5题) 5.如图，将平行四边形ABCD向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长 度，得到平行四边形A'B'CD'.画出平移后的图形，并指出各个顶点的坐标 5.画图，如图所示.A'(-3,1),B'（1,1),C'（2,4),D'(-2,4). 综合运用 6.如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点A的 坐标为（-1，-2)，表示叶片“顶部”的点B的坐标为（2,6)，请你写出图 中点C,D,E,F的坐标.6.建立平面直角坐标系，如图所示.C(3,-2) D（5,2),E（-3,5),F(-4,1). 4-10-G D 38 (第6题) (第7题) 80教材笔记数学七年级下册RJ 7.一长方形零件的尺寸（单位：mm)如图所示，建立适当的平面直角坐标系，用 坐标表示点A,B,C,D,E,F,G的位置， 7.答案不唯一.建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,24),B（0,0),C(38,0), D(38,24),E（10,18),F(10,22),G(10,24) 8.在制作动画片时，经常要用到图形的平移.如图，小鹿从点A到B,再到C, 到D,这几个过程中，分别进行了怎样的平移？ 8.答案不唯一.A→B：先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度：B→C 向右平移3个单位长度：C→D:先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度： D 123456789 (第8题) (第9题) 9.如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点A,B的坐标分别为A(3, 6),B(-3,3).把三角形ABC平移得到三角形CDE,使点A平移到点C处， 那么点C平移后的对应点E的坐标是什么？E(11,-10) 拓广探索 10.如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图的一部分.如 果这个平面直角坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且猴 山和狮虎山的坐标分别是（2,1)和（8,2)，你能在此图上标出熊猫馆（6， 6)的位置吗？如图所示. 11.如图，三角形COB是由三角形AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A 与对应点C的坐标之间的关系.三角形AOB内任意一点M的坐标为(x,y), 点M经过这种变换后得到点N,点N的坐标是什么？N(x,y) y 猫馆 6 2 5432 M 狮虎山 猴山 345 61 12345678910 2 （第10题) (第11题) 第九章平面直角坐标系 81