9.1 用坐标描述平面内点的位置-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

第九章平面直角坐标系 在庆祝中华人民共和国成立70周年联欢活动中，天安门广场上出现了“祖 国万岁”等壮观的图案，你知道它们是怎么组成的吗？ 原来，表演现场设置了由有序数对标识的点位，3000多名表演者手举光影 屏，根据预先编排的流程，不停地变换所在的点位，就拼出了不同的图案.类似 于生活中用有序数对确定位置，在数学中可以通过建立平面直角坐标系，用坐标 来刻画平面内点的位置. 在本章中，我们将学习平面直角坐标系等有关知识，由此建立图形与数量之 间的联系.这将为几何问题和代数问题的相互转化打下基础 9.1用坐标描述平面内点的位置 “有序”指两个数的位置不能随意变换，如(2,3)》 新知解读与各.2》不同，数对”指有1只有两个数 本章引言中的点位是用小学学过的有序数对表示的，它刻画了天安门广场表 演区内点的位置.本节我们继续学习刻画平面内点的位置的方法. 9.1.1平面直角坐标系的概念 我们蜘知道，数轴上的点与实数是仁对微情，数籍上每个点都对应一个实 数，这个实数叫作这个点在数轴上的坐标.例如，在图9.1-1的数轴上，点A的 坐标为-4，点B的坐标为2.反过来，知道数轴上一个点的坐标，这个点在数轴 上的位置也就确定了.例如，在图9.1-1的数轴上，坐标为5的点是点C.这样， 利用数轴上点的坐标，可以确定直线上点的位置. A B 图9.1-1 思考 类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面 内点的位置呢（例如图9.1-2中A,B,C,D,E各点)？ 个y 5 4 3,4) 3 2 原点之C x轴 E E 4-3-2-1Q 234 B 3 D 4 B 图9.1-2 图9.1-3 一般情况下，两条坐标轴的单位长度是一致 的.在有些问题中，两条坐标轴上的单位长 度可以不同，但原点女须重合： 如图9.1-3，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平 面直角坐标系(rectangular plane coordinates system).水平的数轴称为x轴或横轴， 64教材笔记数学七年级下册RJ 习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向； 两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点.原点既在x轴上，又在y轴上 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了.例如， 如图9.1-3，由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是3，垂 足N在y轴上的坐标是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对(3， 4)就叫作点A的坐标，记作“A(3,4y”.类似地，请你写出点B,C,D,E 的坐标：B(3,-4),C(0,2),D(0,=3),E(2,0). 思考 坐标平面内任意一点都能用唯一的一个有序数对来表示. 写点的坐标时，注意横坐标在前，纵坐标在后 原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？ 可以看出，原点O的坐标为(0,0)；x轴上的点的纵坐标为0，例如(1， 0),（-1,0),…;y轴上的点的横坐标为0，例如（0,1)，（0，-1)，… 建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I,Ⅱ，Ⅲ，V 四个部分（图9.1-4），每个部分称为象限，它们分别叫作第一象限、第二象限、 第三象限和第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限. 点A的纵坐标 第二象限5 6 第一象限 A(4,5) ( 4 3 I B 2 点A的 二)横坐标 -5-4-3-2-10 12345x 5-4-3-2-10 1 2345x -1 2 Ⅲ -3 W 3 第三象限-4 第四象限 -4E -5 图9.1-4 图9.1-5 例1在平面直角坐标系中描出下列各点： 任意一个有序裁对在坐标平 面内都表示唯一的一个点 A(4,5),B(-2,3),C(-2.5,-2),D(4,-2),E(0,-4). 解：如图9.1-5，先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找出表示5的点， 过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A 这两个点对应的数分别 是点A的横、纵坐标 第九章平面直角坐标系 65 类似地，可在图9.1-5中描出点B,C,D,E. 类比数轴上的点与实数是一一对应的，对于坐标平面内任意一点M,都有 唯一的一个有序实数对(x,y)(即点M的坐标)和它对应；反过来，对于任意 一个有序实数对(x,y),在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x,y)的 点)和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.这样， 利用坐标平面内点的坐标，可以确定平面内点的位置 横、纵坐标与0的大小关系决定了这个点所在的象限或坐标轴 练习 1.写出图中点A,B,C,D,E,F的坐标 :1.A(-2,-2) B(-5,4) 4 C(5,-4) B D(0,-3) 3 R E(2,5) F(-3,0) F M 6-5-4-3 2 4561 A 3 D (第1,2题) 2.在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各，点：如图所示 L（-5,-3),M(4,0)N(-6,2), P(5,-3.5,2(0,5),R(6,2). 3.根据点所在的位置，用“+”“_”填表， 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 在第一象限 在第二象限 + 在第三象限 在第四象限 + 66 教材笔记数学七年级下册RJ 9.1.2用坐标描述简单几何图形 几何图形都是由点组成的，坐标可以描述平面内点的位置，因而就可以描述 一些几何图形. Q探究 x轴、y轴女过原点A,据此判断y轴位置 如图9.1-6，正方形ABCD的边长为6，如果以点A 为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那 ,)y以线段AD所在的直线为v轴 么以哪条线为y轴？写出正方形的顶点A,B,C,D的 坐标 A) B 请另建立一个平面直角坐标系，这时正方形的顶点 图9.1-6 A,B,C,D的坐标又分别是什么？与同学交流一下 同一个点在不同的平面直角坐标系中的坐标可能不同 显然，这样建立的平面直角坐标系以AD所在直线为y轴.当取1个单位 长度代表长度“1”时，正方形的顶点A,B,C,D的坐标分别是(0,0)，（6， 0),(6,6),(0,6).若以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直 角坐标系，当取1个单位长度代表长度“1”时，则正方形的顶点A,B,C,D 的坐标分别是（-3,0)，(3,0)，（3,6)，（-3,6). 一般地，可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形.在用坐标描述 简单几何图形时，只需用坐标描述这些图形上关键点的位置.这时，建立的平面 直角坐标系不同，图形上点的坐标也不同.为了能方便地写出图形上点的坐标， 在建立平面直角坐标系时，要考虑图形的形状特征？林费化选套标素 类似地，在平面直角坐标系中，由简单几何图形的一些关键点（例如顶点） 的坐标，可以确定这些关键点的位置，进而确定这个简单几何图形. 例2在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A(-3,2), B(-3,-2),C（3,-2),D(3,2).画出长方形ABCD 分析：一个长方形四个顶点的位置确定了，这 个长方形就确定了.在平面直角坐标系中，由顶点坐 标描出长方形ABCD的四个顶点，就可以画出这个 -3-2-1 长方形.利用坐标平面内点的坐标确定平面内点的位置 B 解：如图9.1-7，由长方形ABCD的顶点坐标 3 图9.1-7 第九章 平面直角坐标系 67 分别为A(-3,2),B(-3,-2),C(3,-2),D(3,2),描出点A,B,C, D,连接AB,BC,CD,DA,就可以画出长方形ABCD. 溯源一 17世纪，法国数学家笛卡儿（Descartes,1596一1650) 引入坐标系，用方程表示曲线，开了用代数方法解决几何问 题的先河，从那以后，数学的面貌发生了划时代的变化，代数 和几何两大领域更加密切地联系起来， 练习 1.方格纸上有A,B两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A 的坐标为(-2,1).若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐 标为(B ) (A)(-2,1) (B)(2,-1) (C)(-2,-1) (D)(2,1) 2.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.建立平面直角坐 标系，写出三角形ABC三个顶点的坐标. B横坐标为0 X ch (第2题) 纵坐标为0 (第3题) 2.答案不唯一.如图，以点C为原点，CA,CB所在的直线分别为x轴、y轴 取1个单位长度代表长度“1”，建立平面直角坐标系，则三个顶点的坐标分别 为A(3,0),B(0,4),C(0,0) 3.如图是一个角钢的横截面，建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示角 钢各顶点的位置（图中小正方形的边长代表10cm长). 3.答案不雅一，如图，以点B为原点，AB,BC所在的直线分别为x轴、y轴 取1个单位长度代表1cm长，建立平面直角坐标系，则角钢各顶点的坐标分别 为A(-20,0).B(0,0).C(0,-20),D（10,-20).E(10,10).F（-20,10) 68 教材笔记数学七年级下册RJ 习题9.1d 复习巩固 1.如图，写出标有字母的各点的坐标， 并指出它们的横坐标和纵坐标.略 4 3 2.在平面直角坐标系中，标出下列 1 各点： >情坐标为0 45678x 点A在y轴上，位于原点上方，距 H 离原点2个单位长度>纵坐标为0 点B在x轴上，位于原点右侧，距 离原点1个单位长度；纵坐标大于0 (第1题) 横坐标大于0 点C在x轴上方，y轴右侧，到每条坐标轴的距离都是2个单位长度； 点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点3个单位长度； 是横坐标的绝对值 点E在x轴上方，y轴右侧，到x轴的距离是2个单位长度，到y轴的距离是 )是纵坐标的绝对值 4个单位长度. 依次连接这些点，你得到了什么图形？2.图略，得到字母“W”形图形 3.如图，在所给的平面直角坐标系中描出点A(-4,-4),B（-2,-2),C(3, 3),D(5,5),E(-3,-3),F(0,0).这些点有什么关系？你能再找出一 3.描点，如图所示.这些点的横坐标与纵坐标相等，并且这些 些类似的点吗？点都在一条直线上还可以再我出一些美似的点，如坐标分别 为（0.5,0.5)，（-1，-1).（2,2)的点 D 个 5 4 3 2 -5-4-3-2-1 o12345x B E -3-2-1BO (第3题) (第4题) 4.如图，建立平面直角坐标系，使点B,C的坐标分别为（0,0)和（4,0)， 写出点A,D,E,F,G的坐标，并指出它们所在的象限 4.建立直角坐标系，如图所示.A(-2,3),第二象限：D(6,1),第一象限：E（5,3), 第一象限；F（3,2),第一象限；G（1,5),第一象限 第九章平面直角坐标系 69 综合运用 5.如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标 系，使棋子“帅”位于点（0，-4)，“马”位于点 炮 (3,-4),则“兵”位于点 如果“马”再走 一步，那么“马”的新位置位于点 (按照象 棋规则，棋子“马”只能沿着棋盘上 “ 或 (第5题) “☐”的对角线行走.)（-2，-1)：（1，-3)，（2，-2)或(4，-2) 6.在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来. (1)(0,4),（-2,2),（-1,2),（-3,0),（-1,0),(-4,-2), (-1,-2),（-1,-4),（1,-4),（1,-2),(4,-2),(1,0),（3, 0),（1,2),（2,2),（0,4); (2)(-2,2),(0,2),(0,1),(-1,0),(-1,-2),(0,-3),（4,-3), (3,-2),（6,0),(0,0),(1,1),（1,2.5),（0,3),（-2,2). 观察得到的图形，你觉得它们分别像什么？求出所得图形的面积 6.图略.(1)图形像一棵松树，面积是26.(2)图形像一只天鹅，面积是18.75 7.建立一个平面直角坐标系，描出点A(-2,4),B(3,4),画出直线AB.若 点C为直线AB上的任意一点，则点C的纵坐标是什么？想一想： (1)如果一些点在平行于x轴的直线上，那么这些点的纵坐标有什么特点？ (2)如果一些点在平行于y轴的直线上，那么这些点的横坐标有什么特点？ 7.图略，点C的纵坐标是4.(1)纵坐标相等.(2)横坐标相等， 8.在平面直角坐标系中选择一些横、纵坐标满足下面条件的点，标出它们的位置， 看一看它们在第几象限或在哪条坐标轴上： (1)点P(x,y)的坐标满足y>0;8,图略 (1)在第一象限或第三象限. (2)点P(x,y)的坐标满足y<0;(2)在第二象限或第四象限 (3)点P(x,y)的坐标满足y=0. (3)在x轴或y轴上· 拓广探索 9.已知点O(0,0),B(1,2),点A在坐标轴上，且S三角形04B=2,求满足条件 的点A的坐标.9.满是条件的点A的坐标为（2,0)，（-2,0)，(0,4)，（0，-4). 10.设计一个能够用它的顶点坐标描绘出来的图形，把这些坐标告诉你的同学， 看一看他能否画出你设计的图形.略 70 教材笔记数学七年级下册RJ ★阅读与思考于 用经纬度表示地理位置 怎样表示地理位置呢？通过地球上的经度和纬 度，人们可以确定一个地点在地球上的位置. 在地球仪和很多地图上，都布满了细线网，这就 是经线和纬线·地球仪上与赤道平行的线是纬线，它 们用度（°）来表示地理纬度.赤道上所有点的纬度是 0°，北极对应北纬90°，南极对应南纬90°.北京位于 北纬39.93°，但仅用纬度这一坐标确定北京的位置还 是不够的，还需要第二个坐标—经度· 地球仪上连接南北两极的线是经线，它们也用度（°）来表示地理经度.经 过英国格林尼治(Greenwich)天文台旧址的经线作为经度的起始线，即O° 经线.它东面的所有点有东经度值（从0°到180°），西面的所有点有西经度 值.例如北京位于东经116.33°. 由于地球可近似地看作一个球体，所以经线和纬线在地球表面构成一个 坐标网.经线沿东西方向分布，纬线沿南北方向分布.指明一点的经度和纬度， 就可以确定这一点在地球上的位置.例如，“北纬39.93°，东经116.33°”确定 了北京在地球上的位置. 以下是某台风中心位置的一些信息： 12月18日14时，台风中心位于海南 省三沙市永暑礁东北方向约270km的海面 上，地理坐标为北纬11.2°，东经114.8°. 12月20日5时，台风中心位于海南省 三沙市永兴岛西偏南方向约200km的海面 上，地理坐标为北纬16.2°，东经110.6°. 你能从中找出哪几种表示位置的方 法？你能借助地球仪，找到这次台风的中 心在上述两个时刻的位置吗？ 第九章平面直角坐标系 71