8.3 实数及其简单运算-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

8.3 实数及具简单运算 新知解读 在前面的学习中，我们通过引入一类新的数一负数，使数的范围扩充到有 理数.本章我们认识了像2,3这样的无限不循环小数，它们是有理数吗？如 果不是，我们将再次扩充数的范围. 可以写成分裁形式的数称为有理数 Q探究 把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？ 4,多是头马是 可以发现，上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即 4=40,号=2.5，-子=-0.6， @ 整数可以写成小数点 27-6,75,号=12，号=0.8i 后为0的小数。 事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或 整数可以看成分 无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限 母是1的分数 循环小数也都是有理数： 通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根、 立方根是无限不循环小数，例如2，-5,2,3 0 等.π=3.14159265…也是无限不循环小数.从上面的 无理数是不能写成 讨论可知，无限不循环小数都不是有理数.无限不循 两个整数之比（分数)的 )有无限个 数，它和有理数一样，都 环小数又叫作无理数(irrational number). 是现实世界中客观存在的 像有理数一样，无理数也有正负之分.例如， 量的反映. 2,3,π是正无理数，-2，-3，-π是负无 理数。>带根号的数不一定朴是无理装，如8是有理装 52 教材笔记数学七年级下册RJ 溯源一 我国古人对无理数已经有了很多认识.《九章算术》中用“面”来表示开 平方开不尽所得的数.刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理 数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法“求微数法”. 有理数和无理数统称实数（real number),这样，我们学过的数可以这样 分类： 正有理数 》可化为分数 有理数 0 有限小数或无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 》不能化为分裁 无理数 无限不循环小数 负无理数 由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以非0实数也有正负之分，于是 实数也可以这样分类： )可分为正有理裁和正无理裁 正实数 实数 0 )可分为负有理裁和负无理数 负实数 与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点表示.数 轴上表示正无理数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表 示负无理数-b（b>0)的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b个单位长 度.下面，我们以π，2，-2为例，看一看如何在数轴上表示无理数 结合戴轴，更容易← 套思考 比较几个裁的大小 以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图8.3-1，从原点开始， 将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O,点O对应 的数是多少？π 2 30 图8.3-1 第八章实数 53 从图8.3-1中可以看出，OO'的长是这个圆的周长元，所以点O'对应的数 是π.这样，数轴上的点O就表示无理数元. 以单位长度为边长画一个正方形（图8.3-2)，以原点为圆心，正方形的对 角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点就表示一2， (为什么？) -N2 -2 图8.3-2 当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来 表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，因此，实数与数轴上的点是 一一对应的. 与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数 总比左边的点表示的实数大， 练习 1.判断题. (1)无限小数都是无理数；酷误 (2)无理数都是无限小数；正确 (3)用根号表示的数都是无理数；酷误 (4)所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都 表示有理数；酷误 (5)所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有，点都表 示实数.正确 ±0,0，±1，灯， ±4,8，土9是有理数、 2.在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根与立方根中，哪些是有 现数？哪起是无现线3生停识士源品6而 3.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接)： 2,反， 裁轴表示略.元<-2<反<多 54 教材笔记数学七年级下册RJ 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数. 思考 (1)2的相反数是-2，一元的相反数是π，0的相反数是0： (2)121=2,1-π1=π，101=0 一般地，对于实数，同样有 数a的相反数是-a. 0 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝 一个实数的绝对值就 是它在数轴上的对应点与 对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设α表示一个 原点的距离· 实数，则 a,当a>0时； a={0,当a=0时； ->1a≥0 -a,当a<0时. 例1（1)分别写出-6，元-3.14的相反数； (2)指出-5,1-33分别是什么数的相反数； (3)求-64的绝对值； (4)已知一个数的绝对值是3，求这个数. 解：（1)因为 -（-6)=6,-（元-3.14)=3.14-元， 所以-6，π-3.14的相反数分别为6,3.14-π. (2)因为 -(5)=-5,-(3-1)=1-3, 所以-5,1-3分别是5,3-1的相反数. (3)因为 364=-364=-4, 所以 13-64|=|-4|=4, (4)因为 第八章实数 55 |3=3,-3|=3, 所以绝对值为万的数是厅或-厅遵终资有产整不能 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不 0 为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运 随着数的范围的进一 步扩充，负数也将可以进 算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数 行开平方运算 的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 例2计算：→可类比合并同类项的法则进行运算 (1)(3+2)-2; (2)33+23 解：（1)（3+2)-2 :(2)33+2J3 =3+(2-2)(加法结合律) =(3+2)3(分配律) =3+01 常用的近似有限小数有 =53. 2≈1.414,3≈1.732 =3; J5≈2.236 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算 0 结果的近似值时，一般先用近似有限小数（例如，比 在近似计算时，计算 过程中有时也使用“去尾 计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再 法”，即用近似有限小数 进行计算，最后对计算结果四舍五入 去代替无理数时，直接舍 例3计算（结果保留小数点后两位）： 去要保留数位的下一位 (1)5万；(2)污有机 数字，最后对计算结果 四舍五入.如5-万心 解：（1)5-7≈2.236-2.646=-0.41； 2.236-2.645≈-0.41. (2)π·33≈3.142×1.442≈4.53 练习 1相反数分别为-压，7受2-14.15 0 绝对值分别为丽厅.受2-14，，0 1.求下列各数的相反数与绝对值： 3,-7,-,1.4-2,51,0 2.计算： (1)25-35;-5 (2)3-1-3.1 3.计算（结果保留小数点后两位)： (1)17+22;8.81 (2)6-6.-0.63 56 教材笔记数学七年级下册RJ 习题8.30 复习巩固 1.有理数：3.14 1.在下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 236，加25 无理表， 5-65 314,99.-6,56,5, 2.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接)： 2.数轴表示略 -1.5<-3<22-3 -号-15,22,1-3 3.求下列各数的绝对值： →22/17 小2 8,/17,23之2-3 ->3迈-1 3,3-2,1-32. 4.计算（结果保留小数点后两位）： (1)元-10；-0.02 (2)32-32.2.98 5.计算： (1)2(6-7)-|26-7|;-7 (2)(-2)2+(-2)3.0 综合运用 6.（1)有没有最小的正整数？有没有最小的整数？ 6.（1)有：没有 (2)有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？(2)没有：没有. (3)有没有最小的正实数？有没有最小的实数？(3)没有：没有. 7.写出所有符合下列条件的数：7.（1)1,2,3,4,5,6. (1)小于37的所有正整数；(3)-2，-1,0,1,2. (2)-3,-2,-1,0,1,2,3 (2)大于-10且小于10的所有整数； (3)绝对值小于6的所有整数. 8.如图，长方形内两个正方形的面积分别为3cm2,1cm2. 3cm2 1 cm2 (1)求长方形的周长；(43+2)cm (2)求图中两块阴影部分的面积和.（3-1)cm (第8题) 拓广探索 9.已知数0.101001000100001…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个1之 间依次多一个0.这个数是有理数还是无理数？为什么？ 9.无理数.因为这个数是无限不循环小数 第八章实数 57 ★阅读写思考大 为什么2不是有理数 古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们认为“万 物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比表 示，后来毕达哥拉斯学派发现，边长为1的正 方形的对角线的长不能表示为整数或整数之比 (即2不是有理数)，对此他们感到惊恐不安.由 此，引发了第一次数学危机 事实上，“2不是有理数”是可以证明的， 下面给出一种证明方法. 毕达哥拉斯（Pythagoras,. 假设√2是有理数，那么存在两个互质的正 约公元前580一约前500) 整数p,9,使得 号=2， 于是 p=2 g. 两边平方得 p2=2g. 由2g是偶数，得p2是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是 偶数. 因此可设p=2r(r是正整数)，代入上式，得4r2=2g,即 q2-2r2 所以q也是偶数.这样，p,q都是偶数，与假设p,q互质矛盾. 这个矛盾说明，2不能写成分数的形式，即2不是有理数. 历史上，人们对无理数的认识经历了曲折、漫长的过程，直到19世纪下 半叶，才最终给出了无理数的严格定义.这时，实数的理论体系才建立起来， 持续两千多年的第一次数学危机终于结束了· 58 教材笔记数学七年级下册RJ