8.2 立方根-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

8.2 立方根 新知解读 在上一节，我们通过研究平方的逆运算学习了平方根，本节来研究立方的逆 运算. 管思考 如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？ 因为2=8，所以这个数可以是2.除2以外，任何一个数的立方都不等于 8因此，如果一个数的立方等于8，那么这个数是2受素休灯款年是 一般地，如果一个数x的立方等于a,即x=a, 0 那么这个数x叫作a的立方根（cube root)或三次方 到了高中，我们将学 根.例如，2是8的立方根.求一个数的立方根的运算， 习一般的开方运算」 叫作开立方·)开立方时，被开方裁可以是正装、负裁或0 正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.根据这种 互逆关系，可以求一个数的立方根. ®探究 根据立方根的意义填空： 因为13=1，所以1的立方根是（1)； 因为（0.4)3=0.064，所以0.064的立方根是（0.4)； 因为（-2)3=-8，所以-8的立方根是(-2)； 因为（-2)=-日，所以-日的立方根是(-2)： 因为(0)3=0，所以0的立方根是(0) 你能发现正数的立方根有什么特点吗？负数呢？0的立方根是多少？ 概念不同、个数不同 急归纳 表示方法不同、被开方 数的范围不同 正数的立方根是正数， 一个非零数的立方根 你能说一说数的立 负数的立方根是负数， 和被开方数同号 方根与数的平方根有什 0的立方根是0.立方根等于它本身 么不同吗？ 的数是1,0，-1 48 教材笔记数学七年级下册RJ a可以取任意裁 个类似于平方根，一个数a的立方根记为 0 “a”,读作“三次根号a”,其中a是被开方数， a实际上省略了 ā中的根指数2，因此 3是根指数.例如，8表示8的立方根，8=2； ā也可以读作“二次根 -8表示-8的立方根，-8=-2.a中的根指数 号a”. “3”不能省略.香则就成了算术平方根 例求下列各数的立方根：)将斯给的裁转化为一个表的立方即可解决问题 (1)(-2)3;(2)343; (3)-64; (4)鹗 解：（1)(-2)3的立方根是-2，即(-2)3=-2； (2)因为73=343，所以343的立方根是7，即3343=7； (3)因为（-4)3=-64，所以-64的立方根是-4，即-64=-4； (4)因为（停尸=罗，所以的立方根是，即=名· 练习 1.判断题 （1)-3是-27的立方根；正确 (2)3是27的立方根；酷误 (3)(-1)3的立方根是-1；正确 (4)-8的立方根是-2.酷误 2.求下列各数的立方根： 7等于-2 (1)-1;-1 (2)0.008;0.2 (3)-4.-4 27-3 3.如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为216cm3, 它的棱长是多少？6cm (第3题) 下面，我们探究互为相反数的两个数的立方根的关系. Q探究 计算8和一8，它们有什么关系？27和-27呢？你能从中发现什么 规律？ 二以对于任意裁都成立，求负裁的立方根时可以先求出 般地，a=一ā.这个负鬟的绝对值的立方根，再取它的相反数 第八章实数 49 例2求下列各式的值： (1)-512; (2)-3-0.001; (3)-4. 解：（1)-512=-3512=-8： (2)-3-0.001=30.00I=0.1; (3)4④=-3④=-4. 在例1、例2中，我们是利用开立方与立方的关系求立方根的.实际上，很 多有理数的立方根（如2,3,4等)是无限不循环小数，我们可以用有理 数近似地表示它们， 一些计算器设有回键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）.例如， 用计算器求32197，只需依次按键@②①⑨⑦曰，显示：13，所以32197=13.用 计算器求3，只需依次按键⊙③曰，显示33的近似值：1.442249570，所以 33≈1.442. 有些计算器需要调用备用功能⊙求一个数的立方根，具体操作参见计算器的 使用说明 不同型号的计算器，按键顺序可能不同，使用时应以使用说明为主 ®探究 用计算器计算…，30.000216,30.216,216,3216000，…，你能发 现什么规律？用计算器计算100（结果保留小数点后三位)，并利用你发现的 规律求出0.1,30.0001,3100000的近似值 被开方最的小戴点每向右（或向左)移动三位，开立方后的结果的小最 点向相同的方向移动一位 由3100≈4.642，得30.1≈0.4642,30.0001≈0.04642,3100000≈46.42. 练习 1.求下列各式的值： （1)80.027;0.3 (2)-7)3;-7 2.用计算器求下列各式的值： (1)36859;19 (2)368921;41 （3)0.028092（结果保留小数点后三位).0.304 3.下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)7; (2)99; （3)3635; (4)3-28 1,2 4,5 8,9 4，-3 50 教材笔记数学七年级下册RJ 习题8.2d 复习巩固 1.求下列各式的值： (1)-30.125;-0.5 (2)-3729;-9 ()1. 2.用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后三位）： (1)3/5572;17.728 31 (2)-13；-0.425 （3)±325.986558.±2.962 3.比较下列各组数的大小： (1)7与2；7<2 (2)9与255<25(3)-3与-3.-万>-月 综合运用 4.求下列各式中x的值：4.(1)x-04.(2)多.(3)=1 (1)x2=-0.064; (2)-3=音： (3)(x+1)3=8. 5.把一个长、宽、高分别为21dm,20dm,19dm的长方体铁块 熔化后铸成一个正方体铁块（不计损耗)，这个正方体的棱长是 多少分米（结果保留小数点后两位)？19.98dm 6.如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为22600cm',高h 等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（π取 3.14,结果保留小数点后两位.)10.95cm< (第6题) 7.一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？扩大为原 来的27倍呢？n倍呢？n倍 >2倍 >3倍 拓广探索 -0 …→8 →-8 .>27 ->-27 8.(1)求(0)3，（⑧）3，(-8)3，(27)3，(-27)3的值.对于任意数a, a(a)3等于多少？ (2)求0,2，(-2)，(-3)形，④的值.对于任意数a,等于 多少？02 >-2 >-3 ->4 -7a 9.任意找一个数，比如1234，利用计算器对它开立方，再对得到的立方根开立 方…如此进行下去，你有什么发现？ 9.发现：-1,0,1不断开立方的结果仍为它们本身；对于小于1的正数不断开立方 每次开立方的结果逐渐增大，并趋近于1：对于大于1的数不断开立方，每次开立方的 结果逐渐减小，并趋近于1；对于大于-1的负数不断开立方，每次开立方的结果逐渐 减小，并趋近于-1；对于小于-1的数不断开立方，每次开立方的结果逐渐增大，并趋 近于-1. 第八章实数51