8.1 平方根-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

第八章实数 当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位：s)时，它 就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星.v的大小满足v=2gR,其中g是 地球表面的重力加速度，g≈9.8（单位：m/s2),R是地球半径，R≈6.4×10（单 位：m).怎样求v呢？这就要用到平方根的概念. 2随着对于数的认识的不断深入，人们发现，边长为1的正方形的对角线的长 ‘度值不是有理数，这就需要引入一种新的数一无理数.实际中对第二宇宙速度 等的计算也要用到无理数， 》无限不循环小裁，如π，2等 在本章中，我们将首先学习平方根与立方根；在此基础上引入无理数，把数 的范围从有理数扩充到实数；然后类比有理数，引入实数在数轴上的表示和实数 的运算，从中进一步感悟数系扩充的过程，并用这些知识解决一些实际问题. )有理裁和无理戴 实裁和製抽上的点 统称实数 是一一对应的 国航天 8.1 平方根 新知解读 我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方.反过来，如果 已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？ )指裁是2的乘方 管思考 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？ 因为3=9，所以这个数可以是3；又因为（-3)2=9，所以这个数也可以 是-3.除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9.因此，如果一个数的平方 等于9，那么这个数是3或-3.填写下表： 4 x 16 36 49 25 ±1 ±4 ±6 ±7 般地，如果一个数x的平方等于a,即x=a,那么这个数x叫作a的平 x是任意数，☑≥0 方根(square root)或二次方根.例如，3和-3是9的平方根.通常把3和-3 合在一起简记为“±3”，则±3是9的平方根.求一个数的平方根的运算，叫作 开平方. )这个数是有条件的 表示+3和-3两个裁 应是非负最 3的平方等于9,9的平方根是3，可以发现，平方与开平方互为逆运算 (图8.1-1).根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根. 平方 开平方 +2 4 +2 -2 +3 +3 9 -3 图8.1-1 例求下列各数的平方根： (1）64; (2)00 (3)0.01. 40 教材笔记数学七年级下册RJ 解：(1)因为（±8）2=64，所以64的平方根是±8；不要丢掉负的平方根 (2)因为（±0}户=780，所以80的平方根是±0： (3)因为（0.1)2=0.01，所以0.01的平方根是0.1. g思考 正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 求一个正数的平方根，就是求这个正裁 )是哪两个互为相反数的裁的平方 可以看出，正数有两个平方根，它们互为相反数 因为0=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根 是0 正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方是0，即在我们所认识 的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根 正数a的正的平方根记为“a”,读作“根 a和-a互为相反数 号a”,a叫作被开方数；正数a的负的平方根可以 只有当a大于或等 于0时，a有意义； 用“-a”表示，故正数a的平方根可以用“±a” 而当a小于0时，a 表示，读作“正、负根号a”.例如，±9表示9的 没有意义.为什么？ 平方根，±9=±3.特别地，0的平方根记为0. 任何一个数的平方都 例2下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方 不会是负数，所以负数 根；如果没有，说明理由.》只有非负数才有平方根 不能开平方，即当a小 于0时，a没意义 (1)0.36; (2)-5:(3)(-4)2 解：（1)因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，±0.36=±0.6； (2)因为-5是负数，所以-5没有平方根；)负鬟的平方是正鬟 (3)因为(-4)2=16是正数，所以（-4)2有两个平方根， ±N(-4)=±16=±4. 练习 1.判断题.)正裁的平方根有两个 ,》负数没有平方根 (1)1的平方根是1；酷误 (2)-1的平方根是-1；酷误 (3)0.5是0.25的一个平方根；正确 (4)0的平方根是0.正确 第八章实数 41 2.求下列各数的平方根： (1)±8 (2)62;±6 (3)0.49.±0.7 3.求下列各式中x的值： (1)x2=25;x=±5 (2)9x=4;=±号 （3)(x-1)2=1.x=2或x=0 》分别是ā，-ā，它们互为相反最 我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根a叫作a的算术平方 根.正数a的算术平方根用a来表示. a(a≥0)具有双重非 规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为0负性：a≥0：a≥0. 国水下列各数的组术平方根：是热要食后餐李名末齐等干 (1)100; (2)器： (3)0.0001. 〉文宇叔述形式 之符号表示形式 解：(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即100=10； (2)因为（令）尸=器所以程的算术平方根是子，即得=冬 (3)因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即 J0.0001=0.01. 从例3可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根就越大.这个结论对所 有正数都成立 Q探究 怎样用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？ 这个大正方形的边长是多少？ 如图8.1-2，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角 图8.1-2 42 教材笔记数学七年级下册RJ 形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形. 设大正方形的边长为xdm,则 x2=2. 由边长的实际意义可知 小正方形的对角线 x=2, 的长是多少呢？ 所以大正方形的边长是2dm. 2 dm Q探究 2有多大呢？ 因为12=1,2=4,12<2<22，所以 1<2<2; 确定整数部分为1 因为1.42=1.96,1.52=2.25,1.42<2<1.52，所以 1.4<2<1.5；痛定十分位上的数为4 因为1.412=1.9881,1.422=2.0164,1.412<2<1.422，所以 1.41<2<1.42;确定百分位上的裁为1 因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,1.4142<2<1.4152，所以 1.414<2<1.415;确定千分位上的表为4 如此进行下去，可以得到2的更精确的估计范 围.事实上，2=1.414213562373…，它是一个无 无限不循环小数是 指小数位数无限，且小 限不循环小数. 数部分不循环的小数.你 实际上，很多正有理数的算术平方根(（例如3， 以前见过这样的数吗？ 5,6等)都是无限不循环小数. 小见过，如圆周率元 练习 1.求下列各数的算术平方根： (1）0.09;0.3 (2)81 (3)52.5 第八章实数 43 2.求下列各式的值： (1)36;6 (2)-J0.64;-0.8 (3)±6.± 3.排球比赛场地呈长方形，长是宽的2倍，面积为162m.它的长与宽分别 是多少？排球比赛场地的长与宽分别是18m和9m. 大多数计算器都有⑥键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根（或其近 似值).不同品牌的计算器，按键顺序有所不同. 例4用计算器求下列各式的值： (1)3136; (2)2(结果保留小数点后三位). 解：(1)依次按键©③①③⑥曰， 显示：56. 所以3136=56. 0 (2)依次按键©②©， 计算器上显示的 1.414213562是2的近 显示：1.414213562. 所以2≈141本→平合麦势客 似值. 下面来解决本章引言中提出的问题. 由v2=2gR及v的实际意义，得v=J2gR,其中g≈9.8（单位：m/s2), R≈6.4×10（单位：m).用计算器求得 v≈2×9.8×6.4×106=1.12×104. 因此，第二宇宙速度v约为1.12×104m/s,即11.2km/s. Q探究 (1)用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发 现了什么规律？ 被开方裁的小数点每向右（或向左）移动两位，开方后的结果的 小数点就向右（或向左）移动一位 0.0625 0.625 √6.25 J62.5 N625 W6250 J62500 0.25 0.791 2.5 7.91 25 79.1 250 教材笔记数学七年级下册RJ (2)用计算器计算3（结果保留小数点后三位），并利用你在(1)中发 现的规律求出J0.03,300,30000的近似值，你能根据3的值求出30的 近似值吗？用计算器可得3≈1.732：由（1)中的规律知0.03≈0.1732,300≈17.32 30000≈173.2；根据3的值不能求出30的近似值 在日常生活中，我们经常遇到估计一个数的大小的问题. 例5小丽想用一块面积为400cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块 面积为300cm的长方形纸片，使它的长 一定能用一块面积大的纸片 裁出一块面积小的纸片！ 与宽的比为3：2.但她不知道能否裁得出 来，正在发愁，小明见了说：“别发愁， 一定能用一块面积大的纸片裁出一块面 积小的纸片！” 你同意小明的说法吗？小丽能用这 块纸片裁出想要的纸片吗？ 解：设长方形纸片的长为3xcm,宽 为2xcm. 根据边长与面积的关系，得 3x·2x=300, 6x2=300, x2=50. 由边长的实际意义，得 @ x=50. 3√50就是3×J50 因此长方形纸片的长为3J50cm. 因为50>49，所以50>7.→50>49 由上可知3J50>21,即长方形纸片的长应该大于21cm. 因为J400=20,所以正方形纸片的边长只有20cm.这样，长方形纸片的长 将大于正方形纸片的边长. 答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片 第八章实数 练习 1.用计算器求下列各式的值： （1)96I;31（2)96.04;9.8（3)403(结果保留小数点后三位). 20.075 2.下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)J5;2,3(2)26;5,6 (3)1.2 3.长方形画纸的面积为700cm,长与宽的比为5：4.王芳想从中裁出半径 为12cm的圆形画纸，她的想法可行吗？3不可行（因为长方形画纸的宽小 于圆形画纸的直径)， 习题8.10 复习巩固 1.求下列各数的平方根： (1)81;±9 (2)0:±0 (3)0.0016.±0.04 2.求下列各数的算术平方根： (1)磊 (2)0.04;0.2 (3)102.10 3.判断题. (1)5是5的一个平方根；正确 )等于9 (2)(-3)2的算术平方根是-3；酷误 >等于2 (3)4的平方根是±2；错误 (4)0的平方根与算术平方根都是0.正确 4.用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后两位）： (1)408;20.20 (2)J51.42534;7.17 (3) 111 5.27 4 5.比较下列各组数的大小： (1)65与8；65>8 (2)与2,52 3 与2；3<2 (3)0-1与1.01 2 2 提示：1)(2)可用平方法，先此较两个麦的平方的大小.(3)可用作差法，此教0-1-1 2 的差与0的大小 46教材笔记数学七年级下册RJ 综合运用 6.求下列各式中x的值： (1)x2-100=0; (2)25x2=36; (3)(x+2)2=0.49. x=±10 ±9 x=-2.7或x=-1.3 7.估算面积为3dm的正方形的边长是多少分米（结果保 留小数点后两位) 7.因为1.732<3<1.7332，所以1.732<3<1.733，所以正 方形的边长约为1.73dm 8.如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时 间t(单位：s)与钟摆的长度1（单位：m)之间满足t= 2x层.当钟摆的长度为025m时，视动-个来回所用 的时间是多少秒？（π取3.14，g取9.8m/s2.结果保留小 (第8题) 数点后两位.)摆动一个来回所用的时间约为1.00s 9.一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原 来的多少倍？面积扩大为原来的9倍呢？n倍呢？ >2倍 >3倍 >n倍 拓广探索 ->0 -以4 -)9 -25 -36 10.(1)求(0)2，（J4)2,（9)2,（25)2,（36)2的值.对于任意非负数 a,（a)2等于多少？a -〉3 5 -)6 (2)求0，，-3)户，，-6的值.对于任意数a,Ja等于 多少？a 11.任意找一个正数，比如1234，利用计算器对它开平方，再对得到的算术平方 根开平方…如此进行下去，你有什么发现？ 11.发现：对1不断开平方所得的算术平方根仍为1：对于小于1的正数不断开平方 每次开平方所得的算术平方根逐渐增大，并趋近于1：对于大于1的数不断开平方 每次开平方所得的算术平方根逐渐减小，并趋近于1. 第八章实数