7.3 定义、命题、定理-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

7.3定义、命题、定理 新知解读 前面，我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描 述例如： (1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴； (2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解； (3)从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角 的平分线； (4)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 这样的描述称为数学对象的定义(definition).一个数学对象的定义揭示了 它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.例如，“数轴” 指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度；根据方程 的解的定义，可以判断x=多是方程2x=3的解 我们再来看一些可以判断正确与否的陈述语句，例如： (1)等式两边加同一个数，结果仍相等； (2)对顶角相等； (3)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； (4)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；一个词语，美问句，感 叹句、祈使句以及表示 (5)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.画图的语句都不是命题 容易判断，前4个语句都是正确的，第5个语句是错误的像这样可以判断 为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题(proposition).被判断为 正确（或真)的命题叫作真命题，被判断为错误（或假)的命题叫作假命题 数学中的命题常可以写成“如果…那么…”的形式，这时“如果”后接 的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.例如，在上面的命题(3)中，“两 条直线都与第三条直线平行”是题设，“这两条直线也互相平行”是结论 有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出来，从而将它们写成 “如果…那么…”的形式.例如，命题“对顶角相等”可以写成“如果两个 角是对顶角，那么这两个角相等”· 22教材笔记数学七年级下册RJ 由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命 题就是正确的；如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误 的.例如，命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是正确的，命题“如果两 个角互补，那么它们是邻补角”是错误的， 练习 1.举出一些学过的定义的例子.1.略.2略 3.（1)题设：a=b,结论：5a=5b 2.举出一些学过的真命题的例子.(2)题设：AB1CD,垂足为0，结论：∠A0C90° 3.指出下列命题的题设和结论：（3)题设：∠1=∠2，∠2=∠3，结论：∠1=∠3. (4)题设：两直线平行，结论：它们被第三条 (1)若a=b,则5a=5b; 直线裁得的同位角相等 (2)如果AB⊥CD,垂足为O,那么∠AOC=90°； (3)如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3； (4)两直线平行，同位角相等. 在前面，我们学过一些图形的性质，它们都是真命题.其中有些命题是基本 事实，如“两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平 行”等.还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的 正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理(theorem).定理也可以作为 继续推理的依据.理是证明过程的组成部分 推理和证明是有区别的，推 、定理是真命题，但真命题 不一定是定理 在很多情况下，个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过 程叫作证明(proof).下面以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两 条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明. 例如图7.3-1，已知直线a⊥b,b∥c,求证a⊥c. 证明：·a⊥b（已知)， .∠1=90°（垂直的定义) .b∥c(已知)， .∠1=∠2（两直线平行，同位角相等). 图7.3-1 ..∠2=90°（等式的基本事实). .a⊥c(垂直的定义) 由例题可以看出，证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些 第七章相交线与平行线 23 根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等 判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例)，它符 合命题的题设，但不满足结论就可以了 例如，要判断命题“相等的角是对顶角”是错误的，可 以举出如下反例：在图7.3-2中，OC是∠AOB的平分线， B ∠1=∠2，但它们不是对顶角. 图7.3-2 练习 1.在下面的括号内，填上推理的依据. 如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180°， 证明：∠A+∠B=180°， B .AD∥BC( 同旁内角互补，两直线平行)】 (第1题) .∠C+∠D=180°（两直线平行同旁内角互补）. 2.命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举 出反例.命题“同位角相等”是错误的.例如，图中的∠1和 ∠2是直线α，b被直线c裁得的同位角，但它们不相等 习题7.30 第2题】 复习巩固 1.下列语句哪些是命题？哪些是真命题？1.（1)(2)(4)是命题 (1)（2)是真命题. (1)如果a=b,b=c,那么a=c; (2)等角的补角相等； (3)过一点作直线1的垂线； (4)两个锐角的和是钝角. 2.如图，用符号表示下列推理过程： (1)因为∠1和∠2相等，根据“内错角相等，两直线平 3 2 E 行，所以8和即平行：接看有等段羊内 (2)因为DE和BC平行，根据“两直线平行，同位角相 等”，所以∠1=∠B,∠3=∠C.DE∥BC,∠1=∠B (第2题) ∠3=∠C(两直线平行，同 位角相等)· 24教材笔记数学七年级下册RJ 综合运用 3.完成下面的证明. (1)如图（1)，AB∥CD,BC∥ED.求证∠B+∠D=180°. 证明：AB∥CD, )借助中间角∠C建立关系 ∴.∠B=∠C( 两直线平行，内猎角相等)」 :BC∥ED, ∴.∠C+∠D=180°( 两直线平行，同旁内角互补) .∠B+∠D=180° A D B' C (1) (2) (第3题) (2)如图(2)，∠ABC=∠A'BC',BD,BD'分别是∠ABC,∠A'BC的平分线， 求证∠1=∠2 证明：BD,B'D分别是∠ABC,∠A'B'C的平分线， ∠1=7∠ABC,∠2=∠ABC 角平分线的定义 又∠ABC=∠A'BC, ∴3∠ABC=7∠ABC( 等量代换 .∠1=∠2. 拓广探索 4.如图，平行直线AB,CD与EF相交，交点分别为E,F, EG平分∠AEF,FH平分∠EFD,EG和FH平行吗？为 G 什么？ 4.EG和FH平行.AB∥CD,∴.∠AEF=∠EFD. .EG平分∠AEF,FH平分∠EFD,.∠GEF (第4题) 7∠AEF,∠EFH=7∠EFD,∠GEF=∠EFH, 白∠GEF和∠EFH 是内酷角 ∴.EG∥FH 第七章相交线与平行线 25