7.1 相交线-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

第七 章相交线与平行线 有一个公共点 》没有公共点 你对两条直线相交、平行一定不陌生吧！菜园篱笆上交叉的竹竿，笔直的 公路上的车行道线，大桥的吊索、钢梁上的钢条，棋盘中的横线和竖线，教室里 课桌面、黑板面相邻的两条边与相对的两条边…都给我们以相交线或平行线的 形象.你能再举出一些相交线和平行线的实例吗？ 对顶角相等 外补角互补'下 在上一章中，我们认识了几何图形，并学习了一些基本的平面图形一直 线、射线、线段和角.本章我们将学习平面内不重合的两条直线的位置关系：相 交与平行.对于相交，要研究两条直线相交所成的角的位置关系和数量关系；对 于平行，要借助一条直线与另外两条直线相交所成的角，研究平行线的判定和性 质.在此基础上，还要学习图形的平移等.在本章中获得的知识，是后面学习三 角形、四边形等平面图形的基础 同位角、内借心 角和同旁内角 在本章中，我们还将学习通过简单的推理得出数学结论的方法，逐步养成言 之有据的思考习惯 推理能力 7.1相交线 新知解读 在上一章中，我们认识了相交线，知道相交是直线之间的一种基本位置关 系，如何刻画这种位置关系呢？本节我们借助直线相交所成的角的位置关系和数 量关系，研究相交线 把两根木条看作两条直 7.1.1两条直线相交 刀线。把钉子看作交点 如图7.1-1，取两根木条a,b,将它们钉在一起，并把 它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型.在转动木条 的过程中，它们所成的角也在变化，你能发现这些角之间不 变的关系吗？ 图7.1-1 Q探究 互为外补角 互为对顶角 任意画两条相交的直线，形成四个角（图7.1-2），∠1 和∠2有怎样的位置关系？∠1和∠3呢？ B 分别量一下各个角的度数，∠1和∠2的度数有什么关 )3 4 系？∠1和∠3呢？∠1+∠2=180°；∠1=∠3 D 利用信息技术工具，改变两条直线相交所成的角的大 图7.1-2 小，上述关系还保持吗？为什么？保持，因为对顶角相等，外补角互补， ∠1和∠2有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互 “外”指位置关系“相外” 补)，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角·补·指鬟量天系·互补 ∠1和∠3有一个公共顶点O,并且∠1的两边分 别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的 图7.1-2中还有没有 对页角是成对出现的，一个 其他邻补角与对顶角？ 两个角，互为对顶角：A角的对顶角只有一个 在图7.1-2中，∠1=∠3.这个结论还可以通过补角的性质得到：∠1与∠2 互补，∠3与∠2互补，由“同角的补角相等”，可得∠1=∠3.类似地，可得 ∠2=∠4.这样，可以得到对顶角的性质： 外补角：∠2和∠3，∠3和∠4 ∠1和∠4：对顶角：∠2和∠4. 位置关系对顶角相等，，悬量关系 上面推出“对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面的形式： 2 教材笔记数学七年级下册RJ 因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互补， 所以∠1=∠3（同角的补角相等）. 例1如图7.1-3，直线a,b相交，∠1=40°， 求∠2，∠3，∠4的度数 出现两条相交直线时，一 定会存在外补角和对顶角 解：由∠1和∠2互为邻补角，得 ∠2=180°-∠1=180°-40°=140°. 图7.1-3 由对顶角相等，得 ∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°. 练习 1.在下列各图中，∠1和∠2是不是对顶角？ (1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)是 (第1题) 2.如图，在相交线的模型中，如果两根木条，b所成的角中有一个角 ∠a=35°，其他三个角分别等于多少度？如果∠a等于90°，115°，m°呢？ 145°，35°，145°< D 90°90°，90° 65°，115°，65° a (180-m)°，m°，(180-m)° (第2题)》 (第3题) 3.如图，直线AB,CD相交于点O,∠AOC:∠BOC=2:7,则 ∠BOC= 140 ∠AOD= 140o 互为外补角 )互为对顶角 ∠a可以是a,b相交所成 7.1.2两条直线垂直 的四个角中的任意一个 垂直是相交的一种特殊情形.在相交线的模型（图7.1-1）中，固定木条a, 转动木条b.当b的位置变化时，a,b所成的∠a也会发生变化.当∠a=90°时 第七章相交线与平行线 3 (图7.1-4)，这两根木条垂直. A 0 图7.1-4 图7.1-5 垂直是相交的一种特殊情况 一般地，当两条直线α，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们 说a与b互相垂直(perpendicular),记作“a⊥b”. 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫 作垂足.在图7.1-5中，AB1CD,垂足为O 以是一条直线 不能测量其长度 由上可知，如果两条直线相交所成的四个 角中有一个角等于90°，那么这两条直线互相垂 反过来，如果AB⊥ 直.在图7.1-5中，如果直线AB,CD相交于点 CD,那么∠AOD是多 少度？写出这个推理 O,∠AOD=90°，那么AB⊥CD.这个推理过程可 过程 以写成下面的形式： 因为∠AOD=90°，由角的度载得两 ∠AOD=90° 所以AB⊥CD.直线的位置关系 因为AB⊥CD 所以∠AOD=90°」 在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，例如图7.1-6中窗户上互 相垂直的木条、网球拍上互相垂直的网线.你能再举出其他例子吗？ 十字路口、篮 球场的边线与 中线等， 图7.1-6 4 教材笔记数学七年级下册RJ 接下来我们研究互相垂直的两条直线的性质. Q探究 如图7.1-7，用三角尺或量角器画已知直线1的垂线. )能画出一条 (1)经过直线1上一点A画1的垂线，这样的垂线能画出几条？ (2)经过直线1外一点B画1的垂线，这样的垂线能画出几条？ 八能画出一条 图7.1-7 )点的位置，没有限制 可以发现，经过一点（在已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂 线，并且只能画出一条垂线.由此得到关于垂线的基本事实： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 前提条件《-… 存在且难一 例2如图7.1-8，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. 》画垂线后，要在垂足处 标注字母和符号“” P。 0 B 画一条射线或线段 的垂线，就是画它们所 （1) (2) (3) 在直线的垂线. 图7.1-8 解：如图7.1-9所示. P B B (1) (2) (3) 图7.1-9 第七章相交线与平行线 5 我们再来研究互相垂直的两条直线的另一个性质 官思考 如图7.1-10，在灌溉时，要把河中的水引到农田 P处，如何挖渠能使渠道最短？ 使挖的渠道垂直于 河岸且过点P 图7.1-10 垂线段是一条线段 Q探究 可以测量其长度 如图71-11，P是直线1外一点，P0⊥1，垂足为 O,我们称PO为点P到直线1的垂线段.A是直线1上 除点O外一点，连接PA.测量并比较线段PO与PA的 长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？ 你也可以利用信息技术工具，在直线1上拖动点A, 图7.1-11 政变点A的位置，探究P0与PA的长度关系，PPO.改变点A的 位置不影响结论 可以发现，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短.不要当成垂线段 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 对于图7.1-10，现在你知道如何挖渠能使渠道最短了吗？是：个麦量，和不是 图形，所以不能画距 离，只能测量距离 练习 1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线 有什么位置关系？为什么？1.互相垂直.理由略 2.如图，分别过，点P画直线AB,CD的垂线，并量出点 A E B P到直线B的距离客流户宜线6的 (第2题) 3.如图，在三角形ABC中，∠C=90°. (1)分别指出，点A到直线CB,,点B到直线AC的距离 是哪些线段的长度；分别是线段AC和线段BC的长度 (2)三条边AB,AC,CB中哪条边最长？为什么？ 由垂线段最短可知，边AB最长 (第3题) 6 教材笔记数学七年级下册RJ 7.1.3两条直线被第三条直线所截 “三线八角”模型 前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形， E 接下来，我们进一步研究同一平面内一条直线与两条直 线分别相交的情形， 6/ 如图7.1-12，直线AB,CD与EF相交（也可以说 两条直线AB,CD被第三条直线EF所截)，构成八个 角.我们已经学习了有公共顶点的角的关系，下面我们看 图7.1-12 那些没有公共顶点的两个角的关系：→尔补角和对顶角 是；其他同位角：∠4和 ∠8，∠3和∠7；标记路. 先看图7.1-12中的∠1和∠5，这两个角分别在直 线AB,CD的同一侧（上方），并且都在直线EF的同侧 ∠2和∠6是同位 方位相同的 形和字母“F 角吗？图7.1-12中还 (右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作向位角·入 有没有其他同位角？ 再看∠3和∠5，这两个角都在直线AB,CD之间， 若有，标记出它们 并且分别在直线EF的两侧（∠3在直线EF的左侧，∠5 在直线EF的右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作内 )内部异侧的角 形专a字丹“☑ 图7.1-12中还 错角，∠3和∠6虽然也都在直线AB,CD之间，但是它 有没有其他内错角 们在直线EF的同一旁（左侧)，具有这种位置关系的一 与同旁内角？若有， 标记出它们. 对角叫作同旁内角小内部同侧的角，形如字母“U 有：其他内酷角：∠4 例3如图7.1-13，直线DE,BC被直线AB所截. 和∠6：其他同旁内角： (1)∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关 ∠4和∠5；标记略. A 系的角？ 少裁线 (2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3 2y3 E 被裁线 互补吗？为什么？ 解：（1)∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角， 图7.1-13 ∠1和∠4是同位角. (2)如果∠1=∠4，又由对顶角相等，可得∠2=∠4，因此∠1=∠2 因为∠4和∠3互补，所以∠4+∠3=180°.又因为∠1=∠4，所以∠1+∠3= 180°，即∠1和∠3互补. 第七章相交线与平行线 7 练习级货早率么靠经 1.分别指出下列各图中的同位角、内错角、同旁内角：在图(1)中，∠3和 在图(1)中∠3和∠5 ∠6，∠4和∠5：在 ∠4和∠6：在图（2)中无 图(2)中，∠2和∠3 a D 5 8 6 12 34 1) （2) (第1题) (第2题) ∠BADk →∠BAE, ∠BAC,∠C 2.如图，∠B与哪个角是内错角？与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两 条直线被哪一条直线所截形成的？对∠C进行同样的讨论. AB:AB:BC BC和DE:BC和AC;AB和AC 习题7.10 复习巩固 ∠AOD和∠BOC 1.如图，直线AB,CD,EF相交于点 (1)写出∠AOC,∠BOE的邻补角； ∠AOE和∠BOF E (2)写出∠DOA,∠EOC的对顶角； 分别是∠BOC和∠DOF .-)1309 (3)如果∠AOC=50°，求∠BOD,∠COB的度数 2.如图，在一张半透明的纸上画一条直线1，在1上任取 (第1题) 一点P,在1外任取一点Q,折出过点P且与1垂直的直 e 线.这样的直线能折出几条？为什么？过点呢？1条 3.如图，直线AB,CD相交于点O,EO1AB,垂足为O, ∠EOC=35°.求∠AOD的度数.125 (第2题) 4.如图，画AE⊥BC,CF⊥AD,垂足分别为E,F.如图所示 B (第3题) (第4题) 8 教材笔记数学七年级下册RJ 综合运用 5.如图，直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC. (1)若∠E0C=70°，求∠BOD的度数；35° (2)若∠EOC:∠EOD=2:3,求∠BOD的度数，36 互为外补角 起跳线 B 测得图中PA-2.7cm (第5题) (第6题) 6.如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少（比 例尺为1：160)？.7实际距离=图上距离×160 y4.32m 7.如图，∠1和∠2，∠3和∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们 各是什么位置关系的角？ 7.在图（1)中，∠1和∠2是直线 D AB,CD被直线BD所裁形成的，它 们是内酷角；∠3和∠4是直线AD 4 BC被直线BD所裁形成的，它们是 内酷角·在图(2)中，∠1和∠2是 A B 直线AE,DC被直线BC所截形成的 (1) (2) 它们是同旁内角：∠3和∠4是直线 AD,BC被直线AE所裁形成的，它 (第7题) 们是同位角 拓广探索 8.如图，AB⊥1，CB⊥1，B为垂足，那么A,B,C三点在同一条直线上吗？ 请说明理由.8.在.理由：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 9.在，因为AB,CD相交于点O A 所以∠AOD与∠BOC是对顶角 ∠AOD=∠BOC.而OE,OF分别 中C 是∠AOC,∠BOD的平分线，所以 B B ∠A0E+∠A0D+∠D0r号×360P=180°， (第8题) (第9题) 所以射线OE,OF在同一条直线上. 9.如图，直线AB,CD相交于点O,OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平分 线.射线OE,OF在同一条直线上吗？为什么？ 第七章相交线与平行线 9 ★观察与猜想 看图时的错觉 观察以下图形，并回答提出的问题. 1.图1每组中的线段a与b哪一条长？一样长 〈a氵 图1 2.图2每组中蓝色的圆A和圆B哪一个大？一样大 B 图2 你对自己的结论有把握吗？利用刻度尺量一量，这时你的答案是什么？ 要对事物作出某种判断，总是基于对这个事物的观察、实验与思考，其 中观察的结果是作出判断的重要依据，所以观察时必须认真、仔细，有时观 察得出的猜想不一定正确，还要借助于实验等进行验证. 图3每组中蓝色的线段互相平行吗？如何检验？学习了平行线的知识后， 你的检验方法会更多. 平行← 图3 10 教材笔记数学七年级下册RJ