第二十一章 四边形 数学活动+小结-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

数学活动 活动1黄金矩形 宽与长的比是5-1 (约为0.618)的矩形叫作黄金矩形.黄金矩形 给我们以协调、匀称的美感.世界上有些著名的建筑，它们中有的建筑立 面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形. 下面我们折纸做一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形 MNAB,然后把纸片展平. B N DA 图1 图2 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 第三步，折出矩形CDAB的对角线BD,并把BD折到图3中所示的 ED处 MC B M B ND A E 图3 图4 第四步，展平纸片，如图4，按照所得的点E折出EF,矩形BAEF就 是黄金矩形 你能说明为什么矩形BAEF是黄金矩形吗？（提示：设MN的长为2.) 第二十一章 四边形 83 活动2剪拼正方形 如图5，有两个大小不等的正方形纸片，你能通过剪拼，把它们拼接 成一个大正方形吗？试试看！ 图5 图6 图6给出了一种方法，请你说出这种方法剪拼的过程.你还有其他方法 吗？ 事实上，图6就是刘徽证明勾股定理的 朱出 “青朱出入图”（图7），利用了将图形分割后 朱方 青入 再拼接，面积不变的性质，这也是我国古代 b “出入相补法”的基本思想.请你查阅相关资 青方 朱入 料，了解出入相补法及其在我国古代数学研 青出 青出 究中的作用 图7 84 教材笔记数学八年级下册RJ 小结 一、本章知识结构图 一个角 是直角 矩形 一组 邻边相等 两组对边 平行四边形 正方形 分别平行 四边形 一组 菱形 一个角 只有一组 梯形 邻边相等 是直角 对边平行 注意：不要混淆特殊的平行四边形的概 念和判定方法，特别要注意是在哪种四 回顾与思考 边形的前提下进行判定. 在本章中，我们从一般到特殊地学习了四边形.对于一般的四边形， 主要学习了四边形的内角和与外角和，并把它们推广到多边形.对于特殊 的四边形，首先学习了平行四边形的性质和判定，探索并证明了三角形的 中位线定理，理解了平行线之间距离的概念；进而通过平行四边形的角 边的特殊化，得到了矩形、菱形和正方形等特殊的平行四边形，并根据它 们的角、边的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质和判定· 与三角形类似，无论是对一般的四边形，还是对特殊的四边形一平 行四边形，以及对特殊的平行四边形一矩形、菱形、正方形，我们都是 从它们的边、角、对角线出发，从位置关系和数量关系的角度研究它们的 性质.在此基础上，利用图形的性质和判定之间的互逆关系，通过证明性 质定理的逆命题，得到图形的判定定理，在对各种四边形性质的学习中， 我们往往是先利用图形直观发现图形的性质，再利用逻辑推理证明得到的 结论.这些方法是研究几何图形的常用方法，有利于增强几何直观，提升 推理能力. 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧· 1.四边形、多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是本章主要研 究的几何图形，画出表示它们的图形，并用框图表示它们之间的关系· 第二十一章四边形 85 2.四边形的内角和与外角和分别是多少？边形呢？在得出这些结论 的过程中，采用了怎样的方法？ 3.平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？你能 概述一下研究平行四边形的思路和方法吗？ 4.矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质，分别还具有哪些 性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？你能总结一下研究这 些图形的性质和判定的方法吗？ 5.本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理.你 能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗？ 复习题210 复习巩固 1.选择题. >四边形的内角和等于360° (1)若四边形的四个内角的度数比为1：2：3：4，则其中最大的内角是（C). (A)120°(B)135° .（C)144° (D)150 )对角相等，郊角互补 (2)若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角是(B). (A)45° (B)60° (C)90 (D)120° (3)若菱形的周长为8，高为1，则菱形两个相邻的内角的度数比为(C). (A)3:1（B)4:1 (C)5:1 (D)6:1 (4)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,则∠AEB为（B). (A)10 (B)15° (C)20° (D)30° B D E (第1(4)题) (第3题) 〉每个外角都相等 >和为1809 2.一个多边形的每个内角都相等，且每个内角与它相邻外角的度数比为3：1. 这个多边形的内角和是多少？1080°. 86教材笔记数学八年级下册RJ 3.如图，将口ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E,F,且使BE= DF.求证：四边形AECF是平行四边形.3.略 4.矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角.对角线与各边组成的角 是多少度？ 4.25°，65°. 5.如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底边都垂直吗？为 什么？ 5.能.先测量四边 形的两组对边是否 相等，再测量四边 形的两条对角线是 否相等.理由略 B C (第5题) (第6题) 6.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且 DE∥AC,CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形.6.略 7.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,D0的中点.求 B 证：四边形EFGH是正方形.7.略· (第7题) 综合运用 ?每个内角都是120° 8.如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB与DE有怎样的位 置关系？BC与EF有这种关系吗？证明你的结论.略， >AB∥DE. E >有 (1)平行四边 A460° 形.理由略.（2) 菱形、矩形、正 (第8题) (第9题) 方形.理由略. 9.如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF,且分别交对角线AC于点E, F，连接ED,BF.求证∠1=∠2.9.路 10.顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作四边形的中点四边形 在第64页“例6”中已经证明了四边形的中点四边形是平行四边形 (1)平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ (2)矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？ 11.如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴，它一定是菱 形吗？一定是正方形吗？11.这样的四边形不一定是菱形，不一定是正方形. 第二十一章四边形 87 需要两个全等的直角三角形 》平行四边形 12.两个全等的三角形纸片，个用它们能够拼成什么四边形？要想拼成一个矩形， 需要两个什么样的全等三角形？要想拼成菱形或正方形呢？动手剪拼一下， 并说明理由.12.理由略. 需要两个全等 需要两个全等的 的等腰三角形 等腰直角三角形 13.如果你身旁没有量角器和三角尺，又需要作30°的角，可以采用下面的方 法（如图所示）： )EF垂直平分AB (1)对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平 (2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕 BM.同时得到线段BN,把纸片展平.连接AN,BM垂直平分AN. 由此得到∠ABM,∠MBN和∠NBC都是30°，请你写出证明过程.13.略. A M D D 由(1)(2) 易证得△ABN B 是等边三角形 (第13题) （第14题) 14.如图，过口ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交 AB,BC,CD,DA于E,F,G,H四点，连接EF,FG,GH,HE.判断四边 形EFGH的形状，并说明理由. 14.四边形EFGH为菱形.理由如下：·在☐ABCD中，AB∥CD,∴.∠EAO= ∠GC0.又A0=C0,∠AOE=∠C0G,∴.△AOE≌△C0G(ASA).∴.OE=OG.同理， 可得OH=OF,.四边形EFGH为平行四边形，又EG⊥HF,∴.四边形EFGH为菱形. 拓广探索 15.如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交 正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.（提示：取AB的中点G,连 接EG.)15.略. B (第15题) (第16题) 16.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是正方形ABC,O的一个顶 点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形ABC,O绕点O怎样转动， 两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的子.想一想这是为什 么，并说明理由.16.略.提示：证明△AOE≌△B0F 88教材笔记数学八年级下册RJ