23.1 一次函数的概念-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第 已十E 现实世界中的运动变化现象各种各 直线运动中，任意相同时间的变化都会 变化.像这样，一个变量随另一个变量均 如，高铁列车在匀速行驶的过程中，行 到期时在计算本息和的过程中，本息和 的过程中，所在位置的气温y随海拔x的 在本章中，我们将学习刻画一个变 数 次函数.通过具体问题体会一次 体会其在解决运动变化问题中的作用. 认识一次方程和不等式，并用一次函数角 章一次函数 羊，有的简单，有的复杂.例如，在匀速 起相同路程的变化，即路程随时间均匀 匀变化的现象在现实世界中大量存在.例 史的路程s随时间t的变化；一年期存款 随本金x的变化；登山队员在攀登高峰 变化；等等 量随另一个变量均匀变化这类现象的函 函数的意义，结合其图象讨论它的性质， 此基础上，还将从一次函数的角度再次 决一些实际问题. 、)数学建模思想 23.1一次函数的概忌 新知解读 函数是刻画运动变化现象中变量之间关系的数学模型.运动变化各种各样， 函数也有不同的类型.一次函数是一类刻画简单的运动变化的函数，也是一类最 基本的函数. 问题某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔 每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm 时，他们所在位置的气温是y℃.用函数解析式表示y 与x的关系，并求当登山队员向上登高2km时，他们 所在位置的气温. 分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加xk时，气温从5℃ 减少6x℃.因此，y关于x的函数解析式为 y=5-6x. 这个函数也可以写为 y=-6x+5. 当登山队员由大本营向上登高2k时，他们所在位置的气温就是当x=2时 函数y=-6x+5的值，即y=-6×2+5=-7(℃). 思考 在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数 解析式.这些函数解析式有哪些共同特征？ (1)铁的密度约为7.9gcm3,铁块的质量m(单位：g）随它的体积V(单 位：cm3)的变化而变化. (2)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h（单 位：cm)随练习本的个数n的变化而变化. (3)一种计算成年人标准体重m(单位：kg)的方法是：以厘米为单位量 出身高h,再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化. (4)把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm,宽不变，矩形的面 积y(单位：cm2)随x的变化而变化. 114 教材笔记数学八年级下册RJ 在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之间关系的 特征：(1)y关于自变量x的式子是整式.(2)两个变量的次数 函数解析式分别为：都是1.(3)比例系装k≠0.(4)常羞6为任意实数 （1)m=7.9V; (2)h=0.5n; 注意：函数y=k( 是常数)不是正比例 (3)m=h-105; (4)y=-5x+50.函数，是常数函数. 上面这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式。 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数（linear function),其中x是自变量.特别地，当b=0时，y=x+b即y=kx,形如y=x(k 是常数，飞≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数. 特征：（1)y关于自变量x的式子是整式.(2)两个 变量的次数都是1.(3)比例系裁k≠0 例1一个弹簧不挂物体时长12cm,在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体， 弹簧伸长2cm. (1)求弹簧的长度y(单位：c)关于所挂物体质量x（单位：kg)的函数 解析式； （2)当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？ 一次函数与正比例函 解：（1)由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知， 数的关系： 区别：正比例函数是一 挂xkg的物体时，弹簧伸长2xcm.因此，y关于x的函数 次函数，但一次函数 解析式为 不一定是正比例函数. 联系：当b=0时，y= y=2x+12. x+b=x,一次函数 (2)把x=5代入y=2x+12,得y=2×5+12=22. 转化为正比例函数， 所以说正比例函数是 因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm. 特殊的一次函数 练习 1.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ 虽然T是字母】 但它表示常数 (1)y=-8x; (2)y=-3: （3)C=2πr; (4)y=5x2+6; 1.(1)(3)（5)是一次函数，(1) (5)y=2(x-4).（3)是正比例函数 2.用函数解析式表示下列问题中y与x的关系：)可变形为y=2x-8 (1)某人一年内的月平均收入为x元，他这一年（12个月)的总收入为 y元；2.（1)y=12x. (2)某水池有水20m3,现在打开进水管开始进水，进水速度为3m3h, 则xh后水池有水ym3.（2)y=3x+20 第二十三章一次函数115 习题23.10 复习巩固 1.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ (1)y=-0.2x; （2)y=-3(x+1)；可变形为y=-3x-3 (3)S=π2； (4)y=5 1.（1)(2)(4)是一次函数，(1)（4)是正比例函数」 2.用函数解析式表示下列问题中y与x的关系： (1)一个长方体的长为2cm,宽为1.5cm,高为xcm,体积为ycm3; (2)某水箱有水10L,以0.5L/min的速度开始往外放水，放水时间为xmin, 剩余水量为yL.2.(1)y=3x.(2)y=10-0.5x. 3.若y与x成正比例关系，且x=2时，y=8,写出y关于x的函数解析式，并求 x为何值时y=-4.3y=4x.当y=-4时，4x=-4,解得x=-1. 综合运用 4.某银行一年期存款利率为1.5%，记存入的本金为x元，一年到期时的本息和为 y元 八、)利率×本金=利息 本金与利息的和( (1)写出y关于x的函数解析式；4.（1)y=1.015x (2)存入10000元，一年到期时的本息和是多少元？ （2)当x=10000时，y=10150.因此一年到期时的本息和是10150元. 拓广探索 5.学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包60元.张华现有积攒的零花 钱480元，记她用零花钱捐献的书包数为x个，剩余的钱数为y元. (1)求y关于x的函数解析式，以及自变量x的取值范围； 5.(1)y=480-60x,0≤x≤8，且x为整数 (2)若她至少要留下180元购买课外书，则她最多能捐献几个书包？ (2)由y≥180，得480-60x≥180，解得x≤5，故她最多能捐款5个书包. 116教材笔记数学八年级下册RJ