21.3 特殊的平行四边形 探究与发现 利用菱形的性质和判定尺规作图-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

21.3 特殊的平行四边形 新知解读 上一节我们研究了平行四边形，当平行四边形的角、边满足某些特殊条件时， 就得到特殊的平行四边形.本节就来研究这些特殊的平行四边形 21.3.1矩形 先来看角满足特殊条件的平行四边形.如图21.3-1，当平行四边形的一个 角为直角时，这时的平行四边形是特殊的平行四边形.有一个角是直角的平行 四边形叫作矩形(rectangle),矩形也就是长方形. 一个角是直角 平行四边形 矩形 图21.3-1 矩形也是常见的几何图形.门窗框、书桌面、地砖等（图21.3-2)都有矩形 的形象.你还能举出一些例子吗？ 图21.3-2 与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定· 草思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.但由于它 有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 与研究平行四边形的性质类似，对于矩形，我们仍然从它的边、角、对角线 出发进行研究.可以发现并证明（请你自己完成证明)，矩形还有以下性质： 68教材笔记数学八年级下册RJ 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线把矩形分成四个面积相等的等腰 角形，且相对的两个等腰三角形全等 矩形的对角线相等.可 另外，容易发现，矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是 它的对称轴 》矩形有两条对称轴 例1如图21.3-3，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB= 60°，AB=4.求矩形ABCD的对角线的长. 解：·四边形ABCD是矩形， ..AC与BD相等且互相平分. B OA=OB. 又 ∠A0B=60°，7三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰 图21.3-3 △OAB是等边三角形. 点拔：当矩形对角线所夹的锐角 是60°时，矩形中就会有等边三角 OA=AB=4. 形和含30°角的直角三角形. .∴.AC=BD=2OA=8. 上一节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面利用 矩形的性质研究直角三角形的一个性质. 思考 如图21.3-4，B0是Rt△ABC斜边AC上的中线，B0 与AC有什么关系？你能证明你发现的结论吗？ 图21.3-4 可以发现B0=7AC.下面对它进行证明. 类似于证明三角形中位线定理的过程，如图21.3-5， 延长BO到点D,使OD=OB,连接AD,CD,则四边形 ABCD是矩形（想一想为什么）. 0 根据矩形的性质，BD=AC.所以B0=3BD=AC. 图21.3-5 由此得到直角三角形的一个性质： 它是直角三角形的一个重要性 >质，主要用于解决线段长或线段 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，倍分关系问题 拓展：该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条 边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用 来判断一个三角形是否为直角三角形， 第二十一章 四边形 69 练习 1.一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线相交所成的角中有一个为 120°.求这个矩形相邻两边的长.1.4,4√3 2.如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC的延 长线上，DE∥AC.△DBE是等腰三角形吗？ 试说明理由. (第2题) 2志费是果将慈默是形论P义形品：即筋服C即 △DBE是等腰三角形 接下来研究矩形的判定.由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形 是矩形.除了此方法，还有没有其他判定方法呢？ 与研究平行四边形的判定类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看一看 它们是否成立. 管思考 我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形.反过来，对角线相等的平 行四边形是矩形吗？ 如图21.3-6，由□ABCD的对角线AC,BD相等， 再根据AB=DC,BC=CB,可以证明△ABC≌△DCB, 从而∠ABC=∠DCB,又∠ABC与∠DCB互补，所以它 们都是直角.这样，就证明了口ABCD是矩形.由此得到 图21.3-6 矩形的一个判定定理： >对角线相等的四边形不一定是矩形， 对角线相等的平行四边形是矩形.如等腰梯形 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量 它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你知道其 中的道理吗？、测量它们的两组对边长度相等，以此确认其是平行四边形；再测量它 可们的两条对角线相等，从而保证它们是矩形. 思考 我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四 个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是 >是 >3个 矩形？ 70 教材笔记数学八年级下册RJ 可以发现并证明（请你自己完成证明）矩形的另一个判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形北多福水肉线有可 例2如图21.3-7，口ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H. 求证：四边形EFGH是矩形. 分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的 一个内角∠F为直角，同理可证∠H,∠AEB也为直角， 从而证明四边形EFGH是矩形. 证明：，四边形ABCD是平行四边形， 图21.3-7 .AB∥CD ∠BAD+∠ADC=180°. 又AF,DF分别平分∠BAD,∠ADC, ·∠DAF+∠ADF=7∠BMD+Z∠ADC=3(∠BAD+LADC) =90°. .∠F=90°. 判定一个四边形是矩形的思路如下， 同理∠H=∠AEB=90°. 有三个角是直角 →矩形 四边形 ∠FEH=∠AEB=90°. 平行→对角线相等→矩形 四边形今有一个角是直角→矩形 四边形EFGH是矩形. 练习 1.略.提示：先由四边形的内角和等于360°求得这四个角都 是直角，再根据“有三个角是直角的四边形是矩形”判定即可 1.求证：四个角都相等的四边形是矩形. 2.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O, △OAB是等边三角形，且AB=2.求口ABCD B 的面积.2.4√3. (第2题) 3.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是线 段BC,AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于，点F,连接CF.求证：四边形ADCF 是矩形. 3.略.提示：先证明AF IL DC,再证明四边形ADCF (第3题) 内有一个角是直角 第二十一章 四边形 21.3.2菱形 前面研究了角满足特殊条件的平行四边形一矩形，再来看边满足特殊条 件的平行四边形. 如图21.3-8，当平行四边形的一组邻边相等时，这时的平行四边形也是特 殊的平行四边形.有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形（rhombus). 注意一组邻边相等 的四边形不一定是 组邻边相等 平行四边形 菱形 菱形 图21.3-8 菱形也是常见的几何图形.有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架（图 21.3-9)等都有菱形的形象.你还能举出一些例子吗？ 图21.3-9 类似于对矩形的研究，我们重点研究菱形的性质和判定. 思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.但由于它 的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 我们仍从菱形的边、角、对角线出发进行研究.可以发现并证明（请你自己 完成证明)，菱形还具有以下性质： 菱形的四条边都相等；四边衫对边相等的性质证明 可以利用菱形的定义和平行 可以利用等腰三角形“三 线合一”的性质证明 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，今 另外，容易发现，菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的 对称轴 )菱形有两条对称轴 如图21.3-10，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，可以发现，菱形 72 教材笔记数学八年级下册RJ 的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形一般只被分成两 对全等的三角形. 点拔：对角线互相垂直的四边形的面积 等于对角线长的乘积的一半 由菱形两条对角线 的长，你能求出它的面 积吗？ 菱形的面积等于它的两条对角线长 的乘积的一半 图21.3-10 例3如图21.3-11，菱形花坛ABCD的边长为20m,∠ABC=60°，沿着菱 形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长（结果保留小数点后两位） 和花坛的面积（结果保留小数点后一位）. 解：设AC,BD相交于点O, 花坛ABCD的形状是菱形， ÷AC1BD,∠AB0=7LABC=3×60°=30. 图21.3-11 在Rt△AB0中， 40=7AB=2×20=10, 点拨：如果菱形的一个内角为 B0=AB2-A0=J202-10=103. 60°，那么菱形的两条边与较短的对 角线构成的三角形为等边三角形， 花坛的两条小路长 AC=2A0=20（m）,BD=2B0=20/3≈34.64（m). 花坛的面积 S菱形A0=4×SAM0=4×2A0·B0=200/3≈346.4(m2). 练习 1.四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O, 且AB=5,A0=4.求AC,BD的长以及菱形ABCD 的面积.1.AC=8,BD=6,菱形ABCD的面积为24. 2.如图，在菱形ABCD中，BD=4,∠A:∠ABC= B 1:2.求△ABD的周长.2.12 (第2题) 第二十一章 四边形 73 3.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，连接对角 线BD,E,F分别是边AB,BC的中点，分别连 接DE,DF,EF.求证：△DEF是等边三角形 3.略.提示：先证明△ABD和△BCD是等边三角形，进而证得 DE=DF,再利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 (第3题) 证得△DEF是等边三角形. 接下来研究菱形的判定.由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形 是菱形.除了此方法，还有没有其他判定方法呢？ 与研究平行四边形、矩形的判定类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题， 看一看它们是否成立. 管思考 我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形.反过来，对角线互相 垂直的平行四边形是菱形吗？ 同样地，菱形是四条边相等的四边形.反过来，四条边相等的四边形是 菱形吗？ 可以发现并证明（请你自己完成证明）菱形的判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；可以利用“线段垂直平分线上的点与这 )条线段两个端点的距离相等”证明它的 四条边相等的四边形是菱形 外边相等 例41如图21.3-12，在☐ABCD中，对角线AC 的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F.求证： 四边形AFCE是菱形. 分析：已知AC⊥EF,由“对角线互相垂直的平 图21.3-12 行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四 边形.由题意可知A0=C0,还需证明E0=FO. 证明： 四边形ABCD是平行四边形，判定一个四边形是菱形的思路如下. .AE∥CF 四条边相等→菱形 四边形< +二组的边相等→菱形 ∠1=∠2. 平行四边形+对角线互相垂真装形 又 ∠AOE=∠COF,AO=CO,注意：判定菱形时，需分清是在平行四边形 的基础上判定还是在四边形的基础上判定. 74 教材笔记数学八年级下册RJ △AOE≌△COF. 你能利用“四条边 EO=FO. 相等的四边形是菱形” 四边形AFCE是平行四边形. 证明这个例题吗？ 又AC⊥EF, 略.提示：先利用垂直平分线的性 四边形AFCE是菱形. 质得到EA=EC,FA=FC,再由全 等的性质得到AE=AF 练习 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O且互相垂直平 分.求证：四边形ABCD是菱形.1.略 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四 边形ABCD是一个菱形吗？为什么？2.是.理由略 3.一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使∠A是菱形的一 个内角，和，点A相对的顶，点在边BC上，并说明所折图形是菱形的理由. 3.略.提示：先将纸片折叠，使AB边落在AC边上，再折叠纸片，使折痕与 BC的交点和点A重合 21.3.3正方形 对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角， 那么它就是正方形(square).正方形既是有一组邻边相等的矩形，也是有一个 角是直角的菱形（图21.3-13）>正方形是轴对称图形，它有四条对称轴 组邻边 个角是 矩形 正方形 菱形 相等 正方形 直角 图21.3-13 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四 边形、矩形、菱形的所有性质. 第二十一章 四边形 Q探究 对边平行，四 两条对角线互相垂直平分且相 条边都相等·个 户等，每条对角线平分一组对角 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质， 并证明其中的一些结论？四个角都 )是轴对称图形，有四条对称轴 是直角 例5求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四 个全等的等腰直角三角形. 已知：如图21.3-14，四边形ABCD是正方形，对角线 B AC,BD相交于点O 图21.3-14 求证：△ABO,△BCO,△CD0,△DA0是全等的等 腰直角三角形. 证明：·四边形ABCD是正方形， .AC=BD,AC⊥BD. .∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°， A0=B0=C0=D0. △ABO,△BCO,△CDO,△DA0都是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CD0≌△DAO: 章思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下， 并列表或画框图表示这些关系.有一个角是直角 (或对角线相等) 短形 有一组邮边相等 (或对角线互相垂直 平行四边形 正方形 原是微管用院对 (或对角线互相垂直)》 练习1这样得到的是一个华边相等的拒形，从而得到食是一个正方形 1.（1)把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以 裁出正方形纸片.为什么？ (2)如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的 正方形木板呢？矩形木板的短边天方超长载 (第1题) 出的就是面积最大的正方形木板· 2.如图，一块正方形场地的四个顶，点分别是A,B, C,D.李明和张华在边AB上取了一，点E,EC= 30m,EB=10m.这块场地的面积和对角线长分 别是多少？ >800m2.>40m. (第2题) 76 教材笔记数学八年级下册RJ 3.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A,B, C,D.要修建BE和AF两条路，使点E,F分别 在边AD,CD上，且DE=CF.这两条路等长吗？ 它们有什么位置关系？为什么？ B 第3题) 3.BE和AF两条路等长并且互相垂直.理由略， 要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个矩形也是菱 形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形. )判定四边形是正方形的一般思路 Q探究 分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法， 并与同学交流你的结论. 例61如图21.3-15，E,F,G,H分别是正方形ABCD四条边上的点，且 AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形 分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也 就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH, △BFE,△CGF,△DHG全等得出. 证明：四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=DA. 又AE=BF=CG=DH, .∴.EB=FC=GD=HA. .∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 图21.3-15 .∴.△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴.HE=EF=FG=GH .四边形EFGH是菱形. △AEH≌△BFE, .∴.∠2=∠3 又∠1+∠2=90° .∴.∠1+∠3=90° 第二十一章四边形 77