21.2 平行四边形-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

21.2 平行四边形 新知解读 对于三角形，我们学习了一般三角形后，又学习了等腰三角形和直角三角 形.这是在一般图形的基础上研究特殊图形，我们在研究几何图形时常用这种思 路.对于四边形，从组成它的四条边的位置关系来看，如果它的两组对边分别平行， 这个四边形就是平行四边形；如果它只有一组对边平行，这个四边形就是梯形（图 21.2-1).本节我们重点学习平行四边形，研究它的性质和判定. 习不是轴对称图形 四边形 两组对边分别平行 平行四边形 平行四边形 棉形 矩形 等腰梯形直角梯形 四边形 只有一组对边平行 梯形 四边形从属关系图 图21.2-1稀形不一定是轴对称图形。 等腰梯形是轴对称图形 21.2.1平行四边形及其性质 平行四边形是常见的几何图形.学校的伸缩门、庭院的竹篱笆等（图21.2- 2)，都有平行四边形的形象.你还能举出一些例子吗？ D B 图21.2-2平行四边形的定义既是性质，又是判图21.2-3 定，即AB∥CD,AD∥BC→四边形 ABCD是平行四边形（如图21.2-3)】 我们知道，两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形(parallelogram).平 行四边形用“口”表示，如图21.2-3，平行四边形ABCD记作“☐ABCD” 下面，我们从平行四边形的边、角、对角线出发，从数量关系和位置关系的 角度研究平行四边形的性质.先来研究平行四边形的边和角 “☐”后要紧跟表示平行四边形四个顶点的字母，不能单独使用它来代替“平行四边形” 第二十一章四边形 55 Q探究 根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它 的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？你 能证明你的猜想吗？把你的结论和同学比较一下. 通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相 等.下面证明这些猜想 上述猜想涉及线段相等、角相等.而利用三角形全等得出全等三角形的对应 边相等、对应角相等，是证明线段相等、角相等的一种重要方法.为此，可以通 过添加辅助线，构造两个三角形，利用三角形全等进行证明. 证明：如图21.2-4，连接□ABCD的对角线AC. A .·AD∥BC,AB∥CD, 2 ∠1=∠2，∠3=∠4 图21.2-4 又AC是△ABC和△CDA的公共边， .∴.△ABC≌△CDA: 不添加辅助线，你 ..AB=CD,BC=DA,∠B=∠D 能否直接运用平行四边 形的定义，证明其对角 请你自己证明∠BAD=∠DCB. 相等呢？ 这样，就得到平行四边形的性质： 平行四边形的对边相等； 在平行四边形中，只要知道其中一个内角的度 数，就可根据平行四边形的对角相等、邻角互 平行四边形的对角相等 补求其他三个内角的度裁.（知一求三）》 接下来研究平行四边形的对角线· ®探究 如图21.2-5，在□ABCD中，连接 AC,BD,并设它们相交于点O.点O把 每条对角线都分成两部分，这两部分有 什么关系？ 利用信息技术工具，改变口ABCD 图21.2-5 的形状，你发现的结论还成立吗？证明 你发现的结论· 56 教材笔记数学八年级下册RJ 容易发现，在□ABCD中，OA=OC,OB=OD 这个结论也可以通过三角形全等证明（请你结合图 21.2-6完成证明). 4 图21.2-6 由此又得到平行四边形的一个性质： 平行四边形的每条对角线都将平行 平行四边形的对角线互相平分 四边形分成两个全等的三角形. 例1如图21.2-7，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=10,AD=8, AC⊥BC.求BC,CD,AC,OA的长，以及□ABCD的面积. 解：·四边形ABCD是平行四边形， A .BC=AD=8,CD=AB=10. 0 .·AC⊥BC, B 图21.2-7 .△ABC是直角三角形. .AC=AB2-BC=/102-82=6. 0A=0C=7AC=3, SOABCD=BC·AC=8×6=48. 练习 1.在☐ABCD中，1.(1)CD=5,AD=3.(2)∠B=142°，∠C=38°，∠D=142°. (1)已知AB=5,BC=3,求另外两边的长； （2)已知∠A=38°，求其余各内角的度数. 2.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BC=10,AC=8,BD= 14.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？ 2.△AOD的周长是21，△DBC的周长长，长6. (第2题) (第3题) 3.如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个 四边形.转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？ 3.AD=BC.因为这时构成四边形ABCD的两组对边分别平行，它是 平行四边形，所以根据平行四边形对边相等的性质，可知AD=BC 第二十一章 四边形 57 例2如图21.2-8，口☐ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且 与AB,CD分别相交于点E,F.求证OE=OF. 证明：在□ABCD中，AB∥CD, .∠EAO=∠FC0,∠AEO=∠CFO 又0A=0C 图21.2-8 .∴.△AOE≌△C0OF OE=OF. 距离是几何中的重要度量之一.我们已经学习了点与点之间的距离、点到直 线的距离，在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行线之 间的距离.平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同的概念，不能混为一谈· 如图21.2-9，a∥b,c∥d,c,d与a,b分别相交于A,B,C,D四点.由 平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB=CD.也就是 说，夹在两条平行线之间的任何两条平行线段都相等， 连接两点 两条平行线之间的 的线段的 距离和，点与点之间的距 长度. 离、点到直线的距离有 B /D 何联系与区别？ 图21.2-9 图21.2-10 都是指某一条日 点到直线的垂 线段的长度 线段的长度 从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另 一条直线的距离都相等.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距 离，叫作这两条平行线之间的距离.如图21.2-10，a∥b,A是a上的任意一点， AB⊥b,垂足为B,线段AB的长就是平行线a,b之间的距离. 例31如图21.2-11，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC.求证∠B=∠C. 分析：由于AD∥BC,可以考虑运用平行线之间的 距离，通过三角形全等进行证明. 证明：如图21.2-11，在梯形ABCD中，AD∥BC, B E 过点A,D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F. 图21.2-11 .·AE,DF的长都是平行线AD,BC之间的距离， 58教材笔记数学八年级下册RJ .AE=DF. 又AB=DC, 你还有其他证明方 Rt△ABE≌Rt△DCF. 法吗？ ∠B=∠C. 练习 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且与 AD相交于点E,DF∥EB且与BC相交于点F.求∠1的大小·35 E D A B E (第1题)0A=0C (第2题) (第3题) 2.如图，口ABCD的周长为16，对角线AC,BD相交于点O,点E在AD上， OE⊥AC.求△CDE的周长：8. 3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，AD=3,AB=4,BC= 5,E为边BC上一点，AB∥DE.求AD,BC之间的距离.3.2√3. 四边形ABED是平行四边形 21.2.2平行四边形的判定 讨论平行四边形的判定，就是确定当四边形的边、角、对角线满足怎样的 位置关系和数量关系时，它是平行四边形.根据平行四边形的定义，可以从边 的位置关系的角度来判定.还有其他判定平行四边形的方法吗？ 管思考 我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过 来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？ 也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？ 可以证明，这些逆命题都成立. 下面以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，根据平行四边形的 定义进行证明. 第二十一章四边形 59 如图21.2-12，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点0，且OA=OC,OB= OD.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：.·OA=OC,OB=OD,∠AOB=∠COD, .△AOB≌△COD ∠OAB=∠OCD. B .AB∥CD 图21.2-12 同理AD∥BC. .四边形ABCD是平行四边形. @ 于是得到平行四边形如下的判定定理： 平行四边形的判定 定理与相应的性质定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 的条件和结论正好互 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 换，它们互为逆定理. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 例4如图21.2-13，☐ABCD的对角线AC, BD相交于点O,点E,F在AC上，并且AE= CF.求证：四边形BFDE是平行四边形， 证明：.四边形ABCD是平行四边形， 图21.2-13 ∴.A0=C0,B0=DO AE=CF, .A0-AE=C0-CF,即E0=FO 又B0=DO, 你还有其他证明方 法吗？ 四边形BFDE是平行四边形. 练习 aAD∥BC )AB∥CD 1.如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠CBD,∠C+∠ABC=180°，四边 形ABCD是平行四边形吗？请说明理由.1.是.理由略 D B B (第1题)》 (第2题)》 60 教材笔记数学八年级下册RJ 2.如图，AB=DC=EF,AD=BC,DE=CF 图中有哪些互相平行的线段？ 2.AB∥DC∥EF,AD∥BC,DE∥CF 3.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,且E,F分别是OA,OC的中点，连接 (第3题)》 DE,DF,BE,BF.求证：四边形DEBF是 3.证明：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD. 平行四边形. :E,F分别是OA,0C的中点，0E=20A,0F=2OC, .OE=OF.又OB=OD,四边形DEBF是平行四边形 根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四 边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这 个四边形是平行四边形呢？ 思考 对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能 得到什么结论？类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定， 你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四边形的方法吗？ 如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.进而猜 想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 这个猜想是正确的，可以通过证明四边形的另一组对边平行或相等来完成.下 面证明这个四边形的另外一组对边相等，从而证明这个四边形是平行四边形. 如图21.2-14，在四边形ABCD中，AB业CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接AC: .·AB∥CD, 图21.2-14 ∠1=∠2： 0 又AB=CD,AC=CA, “业”表示平行且 △ABC≌△CDA. 相等. BC=DA 又AB=CD, 第二十一章四边形 61 .四边形ABCD是平行四边形. 注意：一组对边平行，另一组对边 相等的四边形不一定是平行四边 于是又得到平行四边形的一个判定定理： 形，也有可能是等腰梯形，如图 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 例5如图21.2-15，在□ABCD中，E,F分 别是AB,CD的中点.求证DE BF 0 证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB ILCD. 又EB=AB,DF=2CD, 图21.2-15 EB L DF. 四边形EBFD是平行四边形. DE LBF. 练习 1.如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹 在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗？ 1.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可知，由枕木和铁 轨构成的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边平行，所以两条铁轨 平行. D B (第1题) (第2题) 2.如图，在口ABCD中，BD是它的一条对角线，过A,C两点分别作 AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证：四边形AFCE是平行四边形. 2.略.提示：证明AE IL CF. 3.如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个 平行四边形？为什么？ 3.6个.理由略.提示：利用“两组对边分别相等的四边形 是平行四边形”判定 (第3题) 62 教材笔记数学八年级下册RJ 21.2.3三角形的中位线 前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等 研究平行四边形的有关问题.下面利用平行四边形研究三角形的有关问题 如图21.2-16，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，连接DE.像 DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 三条下 一个三角形有几条 中位线？三角形的中位 线和中线一样吗？ 图21.2-16 不一样，三角形的中位线是连接三角形两 边中点的线段；而三角形的中线是连接三 Q探究 角形的一个顶点与其对边中点的线段， 观察图21.2-16，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？ 度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？ 我们猜想：DE∥BC,DE=BC.下面对它们进行证明. 如图21.2-16，D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点.求证：DE∥BC,且 DE-BC. 分析：我们既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长 等于另一条线段长的一半. 如图21.2-17，将DE延长-倍（得到点F)后， 转化思想 可以将证明DE∥BC,且DE=号BC转化为证明DF丛 BC,而这只要证明以B,C,F,D为顶点的四边形是平 行四边形，进而只要证明四边形ADCF是平行四边形.由 于DE=EF,E是AC的中点，所以四边形ADCF是平 B 行四边形可以利用“对角线互相平分的四边形是平行四 图21.2-17 边形”证明. 第二十一章 四边形 63 证明：如图21.2-17，延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF .·AE=EC,DE=EF, .∴.四边形ADCF是平行四边形. .CF业DA 又D是AB的中点， .CF IL BD 四边形DBCF是平行四边形. 又DE=7DF, DE/BC,且DE=2BC. 通过上述证明，得到三角形的中位线定理：位置关系 裁量关系 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 例6求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形. 已知：如图21.2-18，在四边形ABCD中，E, F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连 B 接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证 明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它 图21.2-18 是平行四边形. 证明：连接AC .·AH=HD,CG=GD, :HG/AC,且HG=号AC. 同理EF∥AC,且EF=2AC .HG EF. ·.四边形EFGH是平行四边形. 64教材笔记数学八年级下册RJ