21.1 四边形及多边形+探究与发现 用多边形镶嵌平面-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第 章 四边形 现实世界的很多物体中都有四边形的形象，例如，宏伟的建筑、一望无际的 农田、开关自如的伸缩门、别具一格的窗棂… 在小学，我们知道什么是四边形，还学习过长方形、正方形、平行四边形和 梯形等特殊的四边形的有关知识.本章我们将进一步学习四边形，特别是一些特 殊的四边形—平行四边形、矩形、菱形、正方形.在掌握它们的概念，理解它 们之间关系的基础上，利用已有的几何知识，探索并证明它们的性质和判定方法； 进一步体会研究图形性质的一般思路和方法，即通过观察、实验、类比、推广、 特殊化等途径和方法，对构成图形的边、角等元素的数量关系和位置关系进行讨 论，利用几何直观发现图形的性质，再通过逻辑推理证明它们. 如平行线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三 角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，都 是学习本章的重要基础 21.1 四边形及多边形 新知解读 与三角形一样，四边形也是一种基本的几何图形.本节我们类比三角形，学 习四边形的一些概念和性质，并把它们推广到多边形. 21.1.1四边形及其内角和 >前提条件 与三角形类似，如图21.1-1，在平面内，由不在同 一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 (quadrilateral)，组成四边形的各条线段叫作四边形的边， 每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.四边形用表 B 图21.1-1 2 示它的各个顶点的字母表示，例如，图21.1-1中的四边形， 可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”)可以按顺时针或逆时针方向 如图21.1-2(1)，画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD)所在直线， 整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.而图21.1-2(2) 中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD(或BC)所在直线，整个 四边形不都在这条直线的同一侧.今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是 凸四边形. 凸多边形 非凸多边形 B (1) (2) 图21.1-2 图21.1-3 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线（diagonal).在 图21.1-3中，AC,BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形ABCD 分为两个三角形. 46教材笔记数学八年级下册RJ 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四 0 边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与 请在图21.1-1中 分别画出四边形ABCD 另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角 顶点A,C处的外角. 下面研究四边形的内角与外角的性质. 多边形的外角与相外内角之和为180° 如图21.1-1所示，∠1， 思考 ∠2即为所求作的外角 我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°.那么，任 意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？ >从特殊四边形的内角和联想到一般四边形的内角和 由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，所以四边形的有关 问题就可以利用三角形的相关知识加以解决.下面按照上述思路解决这个问题 如图21.1-4，在四边形ABCD中，连接对角线AC,则四边形ABCD被分为 △ABC和△ACD两个三角形，在△ABC中，由三角形内角和定理，得 ∠1+∠B+∠3=180°： D 同理 ∠2+∠4+∠D=180°. 由此可得 ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D 图21.1-4 =∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D =(∠1+∠B+∠3)+（∠2+∠4+∠D) =180°+180°=360°. 四边形的每个顶点处都有两个相等的外角，所 以每个顶点处只取一个外角，把它们的和叫作 即四边形的内角和等于360°. 四边形的外角和 例1如图21.1-5，在四边形的每个顶点处各取一个 A 外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和 等于多少？ 分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是B 邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°. 根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和. 图21.1-5 解：如图21.1-5： .∠DAB与∠1是邻补角， .∴.∠DAB+∠1=180°. 第二十一章 四边形 47 同理 ∠ABC+∠2=180°， ∠BCD+∠3=180°， ∠CDA+∠4=180°. ∴.∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°. 而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°， .∠1+∠2+∠3+∠4=360°. 这样，我们就证明了： 四边形的外角和等于360°， 在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等 三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？ Q探究 如图21.1-6(1)，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形 木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图21.1-6(2)，在四边形木架上 再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木 架的形状还会改变吗？为什么？ 2 图21.1-6 可以发现，四边形木架的形状会改变.因为四边形的四条边确定后，四个角 并不确定，这说明四边形不具有稳定性.而再钉一根木条后，四边形木架变成两 个三角形木架，由于三角形具有稳定性，这时四边形木架的形状不会改变 在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图21.1-7中的伸缩门、 升降机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如图21.1-8中在窗框未安装好 之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等. 48 教材笔记数学八年级下册RJ N 图21.1-7 图21.1-8 练习 1.求出下列图形中x的值：1.(1)65.(2)30.(3)95. (3x)°(4x)° 80 120° 140° to (3x)° (2x)° 人75° (1) (2) (3) (第1题) 2.一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系？2.互补」 3.下列图形中哪些具有稳定性？3.图(1)（4)具有稳定性 (1) (2) (3) (4) 5 (第3题) 21.1.2多边形及其内角和 多边形在生活中也很常见，观察图21.1-9中的图片，你能从中找出一些多 边形的形象吗？ 田 图21.1-9 第二十一章四边形 49 与三角形、四边形类似，如图21.1-10，在 0 平面内，由n（n≥3)条线段A1A2,A2A3,…, 请类比四边形，说 An-1An,AnA,首尾顺次相接，组成的图形叫作多边 出多边形的边、顶，点、 内角、外角、对角线的 形(polygon).多边形的边、顶点、内角、外角、 定义.指出图21.1-11 对角线的概念与四边形相应的概念类似.多边形有 中六边形的边、顶，点、 几条边就叫作几边形.多边形同样用表示它的各个 内角和外角，画出它的 顶点的字母表示，例如，图21.1-11中的六边形， 全部对角线. 记作“六边形ABCDEF”」 从n（n>3)边形 的每个顶点都可以 A, 引(n-3)条对角线， B n边形共有n(n-3) 2 条对角线 图21.1-10 图21.1-11 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后， 如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个角 都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形(regular polygon).图21.1-l2是 正多边形的一些例子.)二者缺一不可 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 图21.1-12 注意：只有各条边都相等（如菱形）或只有各个角都相等（如 Q探究 长方形)的多边形，都不是正多边形 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角 和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关 系吗？ 观察图21.1-13，可以发现： 50 教材笔记数学八年级下册RJ 从五边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，它们将五边形分为 3_个三角形，五边形的内角和等于3_×180°； 从六边形的一个顶点出发，可以作3条对角线，它们将六边形分为 4个三角形，六边形的内角和等于4一×180°. 图21.1-13 一般地，从边形的一个顶点出发，可以作 (n-3)条对角线，它们将n边形分为(n-2)个 把一个多边形分 成若千个三角形，还有 三角形，n边形的内角和等于(n-2)×180° 其他分法吗？由新的分 这样就得出了多边形的内角和公式：即(n-2)个三 法，能得出多边形的内 角形的内角和 n边形的内角和等于(n-2)×180° 角和公式吗？ >正n边形的每一个内角朴是n-2)×180° Q探究 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们 的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度？请你说明理由· 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此边 形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于 注意：多边形的外角 n×180°-(n-2)×180°=360°·和恒等于360°，与 于是得到： >n边形的内角和 多边形的边数无关· 多边形的外角和等于360°、)正n边形的每一个外角标是360 也可以这样理解为什么多边形的外角和等于360°： 如图21.1-14，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的 各边依次走过各顶点，再回到点A,然后转向出发时的 方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角 和.由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角， 图21.1-14 所以多边形的外角和等于360°. 第二十一章 四边形 例21一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形的边数为n.因为它的内角和等于(n-2)×180°，外 角和等于360°，所以 （n-2)×180°=2×360°. 解得 n=6. 因此这个多边形是六边形： 练习 1.求出下列图形中x的值：1.(1)60.(2)135.(3)75. D 150°(2x) 150° 120° 1359 AB∥CD B可得LB+YC=180° (1) (2) (3) (第1题) 2.(1)一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是几边形？八边形 (2)一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？六边形 (3)一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？五边形 习题21.10 复习巩固 分不可以 》不可以 >可以 1.四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？为 什么？四个税角的和小于360°，四个纯角的和大于360°， 都不满是“四边形的内 )角和等于360°”， 2.填表：360°” 而四个直角的和等于360°，满足“四边形的内角和等于 多边形的边数 3 4 6 8 12 20 内角和 180° 360° 540° 720° 1080° 1800° 3240° 外角和 360° 360° 360° 360° 360° 360° 360° 52 教材笔记数学八年级下册RJ 解法1：先求正多边形的内角和，再求每个内角的度数； 户解法2：光求正多边形每个外角的度装，再求每个内角的度数 3.求正五边形和正十边形的每个内角的度数.3.108°，144° 4.(1)一个多边形的内角和与外角和相等，求它的边数；4. (2)一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数.3. 综合运用 5.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D,AB与DC有怎样的位置 关系？为什么？BC与AD呢？ 5.AB∥DC,BC∥AD.理由略.提示：由∠A+∠B+∠C+∠D= 360°，∠A=∠C,∠B=∠D,得出∠A与∠D的关系. D A 的 A2 A3 B (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图，在n边形内任取一点O,连接点0与n边形的各个顶点，n边形被分 成多少个三角形？请你利用这种方法推导边形的内角和公式」 6.n边形被分成n个三角形.这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角的度 数，即得n边形的内角和为n×180°-360°=（n-2)×180° 7.如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4，求x的值 7.五边形的内角和为(5-2)×180°=540°.五边形ABCDE的内角都相等， ∠c0E=∠E=∠C=540=108.∠1+∠2+∠E=1,∠1=∠2，∠1-∠2 36°.同理得∠3=∠4=36°，∴.∠ADB=∠CDE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°，即x=36. 拓广探索 8.如图，在四边形ABCD中，AC,BD是它的两条对角 线.比较AC+BD与四边形周长的大小. 8.根据三角形的三边关系，可知AB+AD>BD,BC+CD>BD,AB+BC>B□ AC,AD+CD>AC,.AB+AD+BC+CD+AB+BC+AD+CD>BD+BD+ AC+AC,.AB+AD+BC+CD>BD+AC,即AC+BD<四边形的周长 (第8题) 9.如图，要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？ 五边形木架和六边形木架呢？ >1根 >2根. 3根 四边形木架 五边形木架 六边形木架 (第9题) 第二十一章 四边形 53 女探究与发现 用多边形镶嵌平面 在生活中，很多地面和墙面都是用正方形的瓷砖 铺成的（图1）.无论用瓷砖铺地还是贴墙，都要求砖 与砖严丝合缝，把地面或墙面全部覆盖.从数学的角度 看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面 完全覆盖，通常把这类问题叫作平面镶嵌（或用多边 形镶嵌平面)问题.平面镶嵌在设计建筑中的各种图 图1 案，计算如何利用空间节省成本、优化晶体结构等工 作中发挥着重要作用， 下面，我们来探究一些多边形能否镶嵌平面，并思考为什么会出现这种 结果. 1.用正三角形、正方形或正六边形能镶嵌平面， 1.分别剪一些边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形，如 果用其中一种正多边形镶嵌平面，哪几种正多边形能镶嵌平面？ 2.用两种正多边形也可以镶嵌平面，图2是用正三角形和正方形镶嵌平 面的例子，你能发现用其他两种正多边形镶嵌平面的例子吗？ 2.用正三角形和正六边形也能镶嵌平面.（答案不唯一》 3.任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板（图3（1)，试着拼一拼， 它们能镶嵌平面吗？用一些形状、大小相同的四边形纸板（图3（2）)呢？ 能 能 需要满足拼 接在同一个 点的各个角 的和恰好等 (2) 于360。（周 图2 图3 角) 通过以上实验，你能发现用多边形镶嵌平面需要满足的条件吗？ 你还可以搜集一些用其他多边形镶嵌平面的图案，或者设计一些地面的 平面镶嵌图，并与同学互相交流. 平面镶嵌问题也是数学研究的一个经典问题，吸引了许多数学家和数学 爱好者的关注.你可以查阅相关资料，了解平面镶嵌问题的研究进展· 54 教材笔记数学八年级下册RJ