20.1 勾股定理及其应用+阅读与思考 勾股定理的证明-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第 十 章勾股定理 直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由 来已久.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股， 斜边叫作弦.根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就 知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五.后来人们进一步发现并证明了直角三 角形三边之间的数量关系一两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，这就是 勾股定理 本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理解决有关问 题，由此可以加深对直角三角形的认识. 蓄 行 2 朱實六黄寶 应寶二十五朱及黄 器叶型 20.1勾股定理及具应用 新知解读 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其 余两个角互余.对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 我国古代把直角三角形中短的直角边叫作勾， 长的直角边叫作股，斜边叫作孩 、 在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪)构造了一个勾、股、弦 分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、 股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积 商高所指的面积关系可以用图形表示.如图20.1-1，红色 直角三角形的三边长分别为3,4,5，分别以这三边为边向外 作正方形，所得正方形的面积分别为9,16,25，且9+16= 25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边 长的平方和等于斜边长的平方. 图20.1-1 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 直角三角形三边的平方分别对应 向外作的三个正方形的面积 Q探究 如图201-2，每个小方格的面积均为1，图中正方形A,B,C,的面积 之间有什么关系？A2,B2,C2呢？A3,B3,C3呢？ 以格点为项点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正 方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三 边关系的猜想吗？转化为一个大的正方形的面积减 去四个直角三角形的面积 0 以直角三角形斜 边为边的正方形的面 积，等于某个正方形 的面积减去4个直角 三角形的面积。 图20.1-2 第二十章 勾股定理 23 可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边 为边的正方形的面积.由此我们猜想（图20.1-3)： 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2 前提条件《 注意：(1)勾股定理只适 赵爽弦图 B B、 用于直角三角形，揭示的 是直角三角形三边之间的 a (孩) 关系 (2)只有在c为斜边时， (勾) 才有a2+b2=c2.若b为斜 b(股)A 边，则关系式是a2+c2= 图20.1-3 图20.1-4 b2.若a为斜边，则关系式 是b2+c2=a2. 证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古 Oab 代数学家赵爽（约3世纪）的证法. 赵爽指出：按弦图， 如图20.1-4，这个图案是赵爽在注解《周髀 又可以勾股相乘为朱实 算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.赵爽 2ab《三，倍之为朱实四，以 勾股之差自相乘为中黄 根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可 实.加差实，亦成弦实。 以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形 (6-a)2 (黄色). 赵爽利用弦图证明这个猜想的基本思路如下：如图20.1-5（1)，把边长分 别为a,b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+2.这两个正方形还可以分割 成四个全等的直角三角形（红色)和一个正方形（黄色），把图20.1-5(1)中 左、右两个三角形移到图20.1-5（2)中所示的位置，就会形成一个以c为边长 的正方形（图20.1-5（3))，它的面积是c2.因为图20.1-5(1)与图20.1-5(3) 都由四个全等的直角三角形（红色)和一个正方形（黄色)组成，所以它们的 面积相等，即a2+b2=c2. （1) (2) (3)S=c2 S=a2+62 图20.1-5 24 教材笔记数学八年级下册RJ 注意只有在直角三角形中才能用勾股定理 这样就证明了前面的猜想.它表明了直角三 0 角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理 在西方，人们称勾股定 赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利 理为毕达哥拉斯定理 用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古 1s00 代数学家常用的“出人相补法”.“赵爽弦图” 体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精 神，是我国古代数学的骄傲.2002年在北京召开 的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设 计的（图20.1-6）.勾股定理的证明方法是面积法，即几何 图20.1-6 图形经过割补拼接后，利用等面积法进 Q探究 行论证. 根据“赵爽弦图”（图20.1-4)，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定 理吗？ 例1如图20.1-7，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长. 17 6 D 15 8 E (1) (2) 图20.1-7 解：（1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2=AC2+BC=82+62=100, 所以AB=10 (2)在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2+EF2=DF2,从而DE2=DF2-EF2= 17-152=64,所以DE=8. 练习 1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c (1)已知a=6,c=10,求b;8. 若没有明确所给出的直角三角形中边的 (2)已知a=5,b=12,求c.;13 类型（是直角边还是斜边），则要分类 讨论，以免漏解 (3)已知b=15,c=25,求a.20. 第二十章 勾股定理 25 2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方 形A,B,C,D的边长分别是12,16,9,12，求最大正方形E的面积. )注意是边长，正方形的面积=边长2 2.625 M D SM=SA+SB 3 SN=Sc Sp 3 A SE =SM+SNE 0123456x （第2题) (第3题) 3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5,0)和B(0,4).求这两点间 的距离.3.41 在Rt△AOB中，OA=5,OB=4.注意OA,OB ”均为直角边 木板的长和宽都比门框的长和宽高 勾股定理有广泛的应用，下面我们用它解决两个问题· 例21一个门框的尺寸如图20.1-8所示，一块长3m, C 宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通 过，只能试试斜着能否通过，门框对角线AC的长度是木板 斜着能通过的最大长度.求出AC,再与木板的宽比较，就 B ←1m 能知道木板能否通过· 图20.1-8 解：连接AC,在Rt△ABC中，根据勾股定理， >我到直角三角形 AC2=AB2+BC2=12+22=5, AC=5≈2.24 因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过 例31如图20.1-9，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直 的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位 于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m.如果将 O B 梯子底端沿OB向外移动0.8m,那么梯子顶端也沿墙A0 图20.1-9 26教材笔记数学八年级下册RJ 下滑0.8m吗？ 解：当梯子底端沿OB向外移动0.8m时，设梯子的底端由点B移动到点D, 顶端由点A下滑到点C.可以看出，AC=OA-OC.要求AC,需先求OA,OC 在Rt△AOB中，根据勾股定理， 点拨：在应用勾股定理解决实 0A2=AB2-0B2=2.52-0.7=5.76, 际问题时，首先要从情境中抽 象出直角三角形，并将已知 0A=2.4. 和待求的线段置于直角三角形 在Rt△COD中，根据勾股定理， 中.若没有直角三角形，则考虑 添加辅助线来构造直角三角形. 0C2=CD2-0D=2.52-（(0.7+0.8)2=4, 0C=2. 所以，AC=0A-0C=2.4-2=0.4 因此，当梯子底端向外移动0.8m时，梯子顶端并不是下滑0.8m,而是下 滑0.4m. 练习 1.如图，A,B是池塘边上的两，点，点C是与BA方向成直角的方向上一点， 测得BC=60m,AC=20m.求A,B两，点间的距离（结果取整数）」 斜边 )直角边 1.A,B两点间的距离约为57m. B (第1题) (第2题) 2.如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度.位于地面上点A处的激光测距仪 先将激光射向楼底端的点B,仪器显示AB=23.1m;再将激光射向楼顶 端的，点C,仪器显示AC=31.9m;最后仪器自动显示出楼高BC=22m. 你能说出其中的数学道理吗？2.在t△ABC中，根据勾股定理，得BC= 科边AC-AB=31.92-23.12=484,所以BC=22m 3.电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸= 2.54cm)为单位.王芳测得自家电视机的屏幕宽为71cm,高为40cm, 这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸（结果取整数）？直角边 3.这合电视机屏幕对角线的长=712+40≈81.49(cm).因为1英寸=2.54cm, 所以8149≈32（英寸）.故这合电视机的屏幕尺寸约是32英寸 2.54 第二十章 勾股定理 思考 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别 相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 先画出图形，再写出已知、求证如下： 已知：如图20.1-10，在Rt△ABC和Rt△A'B'C 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B',AC=A'C% 求证：△ABC≌△A'B'C 证明：在Rt△ABC和Rt△AB'C'中，∠C=∠C'= 90°，根据勾股定理， BC=AB2-AC2,B'C'=AB'2-A'C2. 又AB=AB',AC=A'C', 图20.1-10 .∴.BC=B'C .△ABC≌△A'B'C'(SSS). Q探究 我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在数轴上 画出表示13的点吗？ 如果能画出长为13的线段，就能在数轴上画出表示13的点.我们知道， 长为2的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.长为，13的线段能 是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？ 由勾股定理可知，两条直角边的长分别为2,3的直角三角形，其斜边长为 3.由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示3的点，当直角边为正整鬟时， 作图较方便 如图20.1-11,0为数轴原点，首先在数轴上找 出表示3的点A,则OA=3.然后过点A作直线1垂 直于OA,在l上取点B,使AB=2.最后以原点O为 圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C 0123 即为表示13的点.也可作04=2，AB=3 图20.1-11 28 教材笔记数学八年级下册RJ 类似地，利用勾股定理，可以画出长为，2,3,5，…的线段（图20.1-12）. 按照相同的方法，还可以在数轴上画出表示1,2,3，√4,5，…的点（图 20.1-13). 注意：(1)作一条长度等于无理数的线段的 方法不唯一，应尽量利用直角边长为整数的直 角三角形.（2)并不是所有的无理数都能用尺 规作图的方法在戴轴上画出对应的点，如T, 5 11 1 0.1010010001…（相外的两个1之间依次多 16 10 一个0)等. 7 8 18 7 J19 6 TJ2345 2 3 图20.1-12 图20.1-13 练习 1.在数轴上画出表示17的点1.如图所示，点A即为所求 17 2.如图，等边三角形ABC的边长为6，求： 01234A (1)高AD; 2.（1)33 (2)等边三角形ABC的面积.(2)93 S2 B S3 D (第2题) (第3题) 3.如图，AD是△ABC的边BC上的高.分别以线段AB,AC,BD,CD为边 向外作正方形，正方形的面积分别为S1,S2,S3,S4.请写出关于S1,S2, S3,S4的等式.3.在Rt△ABD和Rt△ADC中，由勾股定理和正方形的面积 公式，分别得AD2=AB2-BD2=S1-S3,AD2=AC2-CD2= S2-S4,所以S1-S3=S2-S4 第二十章 勾股定理 29 习题20.1/ 复习巩固 1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c. (1)已知a=12,b=5,求c;13 (2)已知a=3,c=4,求b;7 (3)已知c=10,b=9,求a.19 2.如图，一根直立于地面的木杆在离地面3处折断，木杆顶端落在离木杆底 端4m处.木杆折断之前有多高？2.8m. (第2题) (第3题) 3.如图，一个圆锥的高A0=2.4,底面半径0B=0.7.AB的长是多少？3.2.5 4.一个含两小圆孔的长方形零件尺寸（单位：mm)如图所示，求两孔中心的距 离（结果保留小数点后一位). 4.AC=40-21=19(mm）,BC=60-21= 39(mm).在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB= k21 AC2+BC2=/192+392=,/1882≈43.4(mm). 故两孔中心的距离约为43.4mm 60 B (第4题) (第5题) 5.如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆.求地面上钢 缆的固定点A到电线杆底部点B的距离（结果保留小数点后一位).5.4.9m. 6.在数轴上画出表示20的点.6.如图所示，点A即为所求 综合运用 >AB是斜边 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c 0123420 (1)如果∠A=30°，求BC,AC; (2)如果∠A=45°，求BC,AC. 7.(1)BC=3c,AC=5。 6(2)Bc=号，4C=2 30 教材笔记数学八年级下册RJ 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.1,BC=2.8.求： (1)△ABC的面积；2.94.(2)斜边AB;3.5.（3)高CD.1.68. 9.如图，一处台阶的高h=15cm,为了行走方便， 准备在台阶处修建一个水泥坡道.如果所修坡道 的坡度鲁为立，那么所修坡道的长度1为多少 9.所修城道的长度1约为 (结果保留小数点后两位)？180.62cm (第9题) 10.如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一 根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端 恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 10.12尺，13尺. 0 此题源自《九章算术》，原文是：今有 池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴 岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.（丈、 尺是长度单位，1丈=10尺.) (第10题) 总结：折叠问题中求解线段长度时，常将已知条件 集中在某个直角三角形中，再运用勾股定理直接求 解或列方程解决问题. 11.如图，一张三角形纸片ABC,∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm.将纸片沿 直线DE折叠，使点A与B重合，求CD的长.11.1.75cm 折痕垂直平分对应点的连线 A 20 6 CA=CB 标注点G,Rt△DFG E 与Rt△FEG有一条 甲 乙公共的直角边GF (第11题) (第12题) 12.甲、乙两个三角形工件的尺寸（单位：mm)如图所示，分别求它们的高 h1,h2.12.24mm,12mm. 拓广探索 13.如图，分别以等腰直角三角形ABC的边AB,AC,BC为直径画半圆.求证： 第二十章勾股定理 31