19.3 二次根式的加法与减法+阅读与思考 海伦-秦九韶公式-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

19.3二次想式的加法与减法 新知解读 前面我们学习了二次根式的乘法与除法运算，接下来研究怎样进行二次根式 的加法与减法运算. 二次根式的加减法的运算步骤： (1)化简：化成最简二次根式 思考 (2)判断：我出被开方数相同的二次根式 如何计算27+2？ （3)合并：合并被开方最相同的二次根式一将系数 相加仍作为系数，根指数与被开方数不变 27与12的被开方数不同，无法直接相加.如果J27与12能化成被开 方数相同的形式，那么就可以类比整式运算中的合并同类项进行运算.因 此，先把27,12分别化简成33,23，然后利用分配律将33和 23合并，即 27+12=33+23 (化简) 必须加括号 =(3+2)3 (利用分配律合并) =53. 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根 式合并。 合并的依据是分配律的 逆用，如ma+na= 类似于整式的加藏中的合并 例1计算： 同类项 (m+n)a(a≥0) (1)80-45; (2)9a+25a; (3)22-63 +348 解：（1)80-45=45-35=5； 比较二次根式的加 减与整式的加减，你能 (1)9a+25a=3a+5Ja=8Ja; 得出什么结论？ (3)2m-6+3s=43-23+12 =14/3. 二次根式的加减与整式的加减都 遵循先化简再合并的原则，区别 在于整式合并同类项，而二次根 例2计算： 式合并被开方数相同的二次根式. (1)12+20+2(/3-5): (2)2(3-2)-(2-27). 解：（1)12+20+2（3-5)=23+25+2/3-2/5=43； 第十九章二次根式13 (2)2(5-2)-(2-历)=7万-22-2+万 -4-2 例3有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能 7.5dm 否采用如图19.3-1的方式，在这块木板上截出两个面 积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？ n 分析：由图19.3-1可以看出，只要木板的宽大于 大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板 图19.3-1 的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板 解：大正方形木板的边长为J18dm.因为18<5，所以这块木板够宽 两个正方形木板的边长的和为（⑧+8）dm,而 先化为最简二次根式⑧+18=22+32=(2+3)2=52. 由2<1.5可知52<7.5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长， 所以这块木板够长. 因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm和18dm的正方形 木板.二次根式大小的比较方法：（1)平方法：若两个二次根式同号，则可先将两 个二次根式分别平方，再根据比较实数大小的方法比较即可.（2)作商法： 同号两数相除，比较商与1的大小. 练习1《1)不正痛，不能化商。 1.下列计算是否正确？为什么？ （3)正确. (1)4+9=4+9;(2)8-3=√8-3；(3)32-2=22. (2)不正确，不能化简. 2.计算： 2.（1）-47 (1)27-67; (2)匝+27-3月；(2)45. (3)102-33 (4)36+42. (3)8+(8-27):(4)(4+05)-(-6) 先将小数化为分数名 3.如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8和 141.3.求圆环的宽度d(π取3.14). 3./5. (第3题) 14 教材笔记数学八年级下册RJ 在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用. 例④计算：→指二次根式的加、或、集、除，秉方的混合运算 (1)(⑧+3)×6； (2)(42-36)÷22. 解：(1)(8+3)×6=8×6+3×6二次根式的混合运算顺 序与实数的混合运算顺 =8×6+√3×6 序一样，都是先乘方， 再乘除，最后加减，有 =43+32; 括号的先算括号里面的 （或先去掉括号). (2)(4J2-36)÷22=(42-36)×22 =4万×27-36×2方 =235. 0 例4运用了分 配律. 例51计算： (1)(2+3)(2-5); (2)(5+3)(5-5). 解：(1)（2+3)(2-5)=（2)2-52+32-15 =2-22-15 0 例5(1)运用 =-13-22; 了多项式乘多项式 (2)(5+3)(5-3)=(5)2(3)2 的法则，（2)运用 了平方差公式. =5-3 =2. 注意：二次根式混合运算的结果要化为 最简二次根式或整式 练习 1计算： 1.(1)6+10 (2)4+22 (1)2(3+5); (3)11+55 (2)(80+40)÷5; (4)4. (3)(5+3)(5+2); (4)(6+2)(6-2) 不是乎方差公式形式 2.计算：平方差公式形式 3平方差公式形式 (1)(4+7(4-万)；2.(1)9.(2)(a+b)(a-b);(2)a-b. (3)(3+2)2;(3)7+4/3.(4)(25-2)2.(4)22-410. 完全平方公式形式6 第十九章 二次根式15 习题19.30 复习巩固 1.计算： (1)212+27;1.(1)73 (2)⑧-：(2)3 (3)号+6学： (3)5E (4)a2/8a+3a50a.(4)17a22a. 2.计算： (2)6-3. （1)/18-32+2;2.（1)0. (2)/75-54+96-108; (3)(压+8)-(8-25)；(4)2(2+3)-圣(2+27). (3)8/5+2. 3.计算： (4)-27 443. (1)(12+5/8)×3; (2)(23+32)(23-32); 3.(1)6+106. (2)-6 (3)(53+25)2;(3)95+205.(4)(48+46)÷27. 综合运用 先化为最简二次根式不 4已知5=2236，求5店-是 +45的近似值（结果保留小数点后两位）. >7.83 5.已知x=3+1,y=3-1,求下列各式的值： (1)x2+2y+y2;5.（1)12. (2)x2-y2.(2)45 6.已知边长分别为（+2)m,（5-2)m的两个正方形的面积分别为S1,S2. (1)求S1+S2的值；6.(1)14m2. （2)用一根长为20m的铁丝，能否围成这两个正方形？（2)能. 拓广探索 7.已知a+2=0,求a-的值.（提示：利用(a-)2与(a+2)2之间 的关系.)7.±6. 8.在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解： (1)2x2-6=0,（3,6,-3,-6);8.(1)3,-3 (2)2(x+5)2=24,(5+23,5-23,-5+23,-5-23). (2)-5+2J3,-5-2J3. 16教材笔记数学八年级下册RJ ★阅读写思考大 海伦-秦九韶公式 利用公式S=2山求三角形的面积，需要先知道一条边及这条边上的高， 再利用公式计算.能否直接通过三角形的边求面积呢？由三角形全等的判定 方法“边边边”可知，一个三角形只要三边确定，这个三角形的形状和大小 就完全确定了.这意味着，通过三角形的三边是可以确定三角形的面积的.那 么，如何由三角形的三边求三角形的面积呢？ 古希腊的几何学家海伦(Heron,.约1世纪)，在他的著作《度量论》中， 给出了利用三角形的三边求面积的公式 S=/p(p-a)(p-b)(p-c), ① 其中p=++c,我们把公式①称为海伦公式. 2 我国南宋时期的数学家秦九韶，在他的著作 《数书九章》中，也曾提出利用三角形的三边求 面积的公式 s-a] ② 秦九韶（约1202约1261） 我们把公式②称为秦九韶公式. 下面我们对公式②进行变形： 层-(g可-6-tg =兮b++)吃b-E 4 (a+b)2-c.c-(a-b)2 4 4 atb+c.atb-c.a+c-b.b+c-a 2 2 2 =Jp(p-a)(p-b)(p-c). 这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，因此我们也称公式 ①为海伦一秦九韶公式· 第十九章 二次根式17