19.2 二次根式的乘法与除法-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

19.2 二次龈式的乘法与除法 新知解读 类比整式、分式，我们学习了二次根式的概念，接下来也要学习二次根式的 运算.根据算术平方根的意义，当α取某个非负实数时，Ja也是一个实数，我们 从这类实数的运算出发学习二次根式的运算， 先来研究二次根式的乘法. Q探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1)4×9=6,√4×9=6； (2)/16×25=20,16×25=20; (3)J36×49=42,36×49 =42· 一般地，二次根式的乘法法则是 两个二次根式相乘，把被开方戴 相乘，根指数不变 Ja·b=b(a≥0，b≥0). ,b既可以是装，之可以是代最式，但>此法则成立的前提条件 例1计算：女须满足a≥0，b≥0 (1)3×5; (2)×:,(3)层× 8 解： (1)3×5=3×5=/15; 二次根式的乘法法则的推广： (1)Ja·b·Jc=abc(a≥0， (2)月×=骨×27=5=3：8会0万：a60 )层×停-将*-厚- 将因数之积作为因裁，被开方数之积作 把a·6=b(a≥0，b≥0)反过来，就得到为被开方数. ab=a·b(a≥0，b≥0)， 注意前提条件 积的算术平方根等于积中各因裁或因式的算术平方根的积 利用它可以进行二次根式的化简. 6 教材笔记数学八年级下册RJ 例2化简： 0 被开方数4a2?含有 (1)J16×81; (2)4a2b30. 偶数次因数4(4=2)和 解：(1)16×81=16×81=4×9=36； 因式2,2，它们是开得 (2)4a6=4·.6 尽平方的因数和因式，被 开方后可以移到根号外. =2·a·02·b =2a·6 因式的外移心 =2ab /b. 拓展：将根号外面的非负因式平方后移到根号 里面，叫作因式的内移，若根号外的因式是负 例31计算： 数，内移后，要将负号留在根号外 (1)14×7; (2)35×2/10; 1 (3)3玩·3y. 解：(1)14×7=14x7=7×2=7×2=72; (2)3J5×2/10=3×2×/5×10=652×2 =6/5×2=6×52 =30J2; (3)x·后可=3x= =R·万 =xly. 练习 1.计算 .(1)10.(2)6. (3)23 (4)2 (1)2×5;（2)3×12;(3)26× 万：(4)288×历 2.化简：2.(1)63.(2)2y. (1)49×81; (2)4y; (3)16ab2e.(3)4bcac. 3.一个长方形的长和宽分别是10和22，求这个长方形的面积.3.45 ①在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数；根号下含有字母的二次根 式的运算都是选学内容. 第十九章 二次根式 7 再来研究二次根式的除法. Q探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ 2 4 16 25 (3)36 6 36 6 J149 9, 7 一般地，二次根式的除法法则是 两个二次根式相除， a (a≥0，b>0) 」把被开方数相除， 根指数不变 注意这里b>0,因为=0时 例41计算： 分母为0，式子无意义 ) (2)÷ 1 解：( 24 (2)÷辰-月-月×18=3x9-3厅. 3 把 （a≥0，b>0)反过来，就得到 g=g(a≥0，b>0), )商的算术平方根等于被除式的算术 利用它可以进行二次根式的化简. 平方根与除式的算术平方根的商 例51化简： (2) 解： 35-3 (1)100=100=10 2)层 8 教材笔记数学八年级下册RJ 例61设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a, 0 b.已知S=/10,b=3,求a. 二次根式化简的结果 中被开方数不含分母. 解：因为S=ab,所以 10×3 =30=30 32 32 3 练习 1.计算： 1.(1)3 (2)23 (3)23 (4)2a. (1)/18÷2; (3)45 (4)停 b J20: √20a2 2.化简： 宇母默认 1)层21)(2) (3) 25.(3)4 166 表示正数 5a (2) 3.计算 (1)月1)9.(2)2a÷6a.(2) 3 例4、创5、例6中名小题的最后结果是2久，35，得平，一，观察 10x 这些式子中的二次根式，可以发现它们有如下两个特点： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 和，月均不是 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式最简二次根式 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二 次根式，并且分母中不含二次根式. 例7计算： (2) 32 27； (3) 8 2a 解：（1)解法1： 在二次根式的化简中，要注意以下三点： (1)被开方数是带分数的要先化为假分数 （2)被开方数是小数的要先化为分数： (3)被开方数是多项式且能进行因式分解的要先进行因式分解. 第十九章二次根式9 33×5155 解法2：房-5×房5命 5 0 (2) 3.232 32 2 2中得 27=×3=×3=3 3×5 5×5,这样变形是为 =2x/3 了使分母中不含二次根式. 3×3 3 3 把分母的根号化去的过程称为分母有理 (3) 8-J8·/2a_4a_2Ja 化.分母有理化的方法： 2aJ2a·J2a 2a a (1)a=a6=画(a≥0,6>0) 现在来看本章引言中的问题， 66石 如果两个广播电视塔的高分别是h,km,h2km,那么它们的传播半径之 /2RhL （2)通过类似分式中的“约分”进行分母有理化， 比是2Rh .这个式子还可以化简： 如0=a(B 万= 2=a6(b>0） 2Rh=2R·h=h=h·h=h应 2Rh2 2Rh2 1h2 Jh2h2 h2 可以看出，这个比与地球半径无关.这样，只要知道h,2,就可以求出比值. 由此你能回答本章引言中开始提出的问题吗？ 传播半径r不会增加到 相应的倍数 练习 1.化简，使结果中的二次根式为最简二次根式： (3)302. (1)32;1.(1)42 (2)40;(2)210.(3)24×75; (4).5;(4)6 (5)月；(5)5.(6) 166 a(6)4b/e 2.计算： a 2.(1) 2 (2)30 (3)5 3 1) 2语 (4)器 (4)y/2x (3), 3n 3一个长方体的体积V=4/B,高=3巨，求它的底面积3325 10 教材笔记数学八年级下册RJ 习题19.20 复习巩固 1.计算： （1)24×27;1.(1)182.(2)6×（-15)；(2)-310. (3)18×20×75; (4)厘×月.(4)3万. (3)3030. 2.计算： (1)18÷8; (2) (3) 1 21) 5 (2)3. (3) 2 9xy 3.化简： 2 (4)3Jx （1)4×49; (2)J300; (4) 3.(1)14. 4c (2)10./3 4.计算： 4)品万 3(2)6 )竖：415(2) (3) 34(3) 30 (4)45 3/5y (4)- 5.根据下列条件求代数式b+B4 2a 的值：5.(1)-5+210. (1)a=1,b=10,c=-15; (2)a=2,b=-8,c=5.(2)4+6 综合运用 6.设正方形的面积为S,边长为a.6.(1)53 (1)已知S=75,求a; (2)已知S=162,求a.(2)92. 7.计算： （104×56:)12.(2)居×图：(2)2 (3)27×50÷6;(3)15(4) 8 30×5.(4) 8.已知2≈1414，求乃与/8的近似值（结果保留小数点后两位人8.071,283 9.设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=43,a=5,求b. 9.45 5 10.一个三角形的面积S=26,底边a上的高h=J2,求它的底边a的长. 10.43 第十九章 二次根式11 1.声音在空气中传播的速度（单位：s)可以根据公式0=3311+273计算， 其中t（单位：℃)表示空气温度.当t为27℃时，求声音的传播速度（结果 取整数). 11.347m/s. 拓广探索 12.如图，从一个大正方形纸片中裁去面积为15cm2和24cm2的 15cm 两个小正方形，求剩下部分的面积. 12.12./10cm2. 24cm2 13.用计算器计算： (1)J9×9+19;13.(1)10. (第12题) (2)99×99+199; (2)100 (3)J999×999+1999; (3)1000 (4)J9999×9999+19999.(4)10000 观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的 结果： 100…0 99…9×99…9+199…9= 100个0 100个9100个9100个9 12教材笔记数学八年级下册RJ