19.1 二次根式及其性质-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第十九章二次根式 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听、收看 到广播电视节目的区域就越广.那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一 定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的 倍数呢？ 实际上，广播电视塔高h与广播电视节目信号的传播半径r之间存在近似关 系r=√2R五，其中R是地球半径，R≈6400km.如果两个广播电视塔的高分别 是，km,hkm,那么它们的传播半径之比是2.与以往学过的整式和分式不同， 这个式子中含有根号，如何化简这个式子 2R,地球半羟是指从地球中心到其表 面（平均海平面）的距离 解决上面的问题需要二次根式的有关知识.本章我们将在已学的算术平方根 的基础上，类比整式、分式，学习二次根式的概念、性质和运算法则.本章的学 习将为后面的勾股定理、一元二次方程等内容的学习打下基础 19.1二次根式及其性质 新知解读 整式和分式都可以表示一些问题中的数量和数量关系.在学习了算术平方根 的概念后，我们还可以用含有根号的式子表示数量和数量关系.例如，本章引言 中广播电视节目信号的传播半径r可以表示为2Rh. 再来看一些例子. 思考 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征： (1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽 为65m. (2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的 正方形的面积之和，则大正方形的边长为a+1 (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始 落下时离地面的高度h(单位：m)的关系近似为h=5t2.如果用含有h的式子 表示t,那么t为 5 注意：判断一个式子是否为二 二次根式中的被开方裁既可以是一个数，也可 次根式，只看它初始的外在形 以是一个含有字母的式子 态，不看它计算或化简的结 上面问题的结果分别是65， a2+1, h 5, 果.如5，⑨都是二次根式. 它们表示一些正数的算术平方根一般地， 我们把形如 石（a希武子叫作二次根式 （quadratic radical) 在二次根式Ja中， 二次根式是代数式.用表本运算特号（基本运算包括加 为什么a不能是负数？ “厂”的根指数是2，成、乘、除、乘方和开方)把数或 一般省略不写 表示数的字母连接起来的式子叫作代数式 例当x满足什么条件时，x-2在实数范围内有意义？一个正数有两个平 方根；0的平方根为 解：由x-2≥0，得 0；在实数范围内， 负数没有平方根.因 x≥2. 此，在实数范围内 当x≥2时，x-2在实数范围内有意义. 开平方时，a只能是 正数或0. 使二次根式有意义的条件：在二次根式a中，字母a必须满 足条件a≥0，即被开方裁是非负数，所以当a≥0时，二次 根式a有意义，当a<0时，二次根式a无意义. 2 教材笔记数学八年级下册RJ 思考 当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？x呢？ x为任意实数.巴 >x≥0. 练习 1.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3：2，它的长、 宽各应取多少？1.33cm,2/3cm. 2.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)a-1;2.(1)a≥1.(2)J5-a;(2)a≤5.(3)2a+1 /a-1 (3)a为任意实数. 3.当a=5时， 2 的值是2 下面研究二次根式的性质 我们知道，当a>0时，a表示a的算术平方根，因此a>0;当a=0时， Ja表示0的算术平方根，因此a=0.这就是说， a≥0(a≥0). 以一个非负数的算术 平方根是非负数 Q探究 二次根式的双重非负性 根据算术平方根的意义填空： (5)2=3；(05)=05(/层)产=青；(0)2=0 3是3的算术平方根，根据算术平方根的意义，3是一个平方等于3的非 负数.因此，（3)2=3. 同理，05，月，0分别是05，分，0的算术平方根.因此，(0.5)2=05， ()=3 (0)2=0. 一般地， (a)2=a(a≥0). ,一个非负裁的算术平方根的平 方等于它本身 第十九章 二次根式 3 例2计算： 0 例2(2)中25 （1)(1.5)2; (2)(25)2. 表示2×5，本题 解：（1)(1.5)2=1.5； 用到了(ab)2=a2b2 (2)(25)2=2×(5)2=4×5=20. 这个性质 Q探究 形如ba(a≥0)的式子也是二次根式，b与ā是相乘的关系，要注 填空：意当6是假分最时，不能写成常分最.例如3不能写成22万 2 2=2;0.T=01；号}=号；0=0 根据算术平方根的意义，可以得到 2=2:0.=0.1;号-号；=0. 一般地， Ja=a(a≥0) 兽思考 当a为任意实数时，a都有意义.如果上式中的a为负实数，那么上式 还成立吗？为什么？ ra(a>0), 不成立上 =lal={0(a=0)，即任意一个实数的平方的算术平方根等 -a(a<0), 例31化简： 于这个实数的绝对值 (1)16; (2)（-5)2. 解： (1)16=4=4; (2)(-5)2=5=5. 练习 1.计算： (1)(3)2;1.(1)3.(2)(32)2.(2)18. 2.化简：2.（1)0.3. (2)月 (3)-π (4)101. (1)0.3; (2) ,(3)--π)严； (4)/10. 教材笔记数学八年级下册RJ 习题19.10 复习巩固 1.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)Ja+2; (2)3-a; (3)5a; (4)2a+1. 1.（1)a≥-2. (2)a≤3 (3)a为任意实裁. 1 2.计算： (4)a≥-2 (1)(5)2; (2)(02)2;(3)4得)2： (4)(55)2; 2.(1)5 (2)0.2 (3) (4)125. （5)7/) (6)（-10)7； (8)--3. (5)14 (6)10. 3.用代数式表示： (7)3 (8)-5 (1)面积为S的圆的半径； 3(1)层 (2)面积为S且两条邻边的比为1：2的长方形的两邻边长.(2)厚，2月 4.利用a=（a)2(a≥0)，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： (1)5; (2)2.5; (3)2 4.（1) (5)2 (2)(2.5)2. (4)(0)2 综合运用 5.已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和.如果大圆的半径为，两个小圆 的半径分别为2和3，求r的值.5.13 6.△ABC的面积为12，AB边上的高是AB边长的4倍.求AB的长.6.6. 7.当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (4)x>-1 (1)x+1; (2)(x-1)2; 7.(1)x为任意实数.(2)x为任意实数 4+ (3)x> 8.小球从离地面为h(单位：m)的高处自由下落，落到地面所用的时间为t(单 位：s).经过实验，发现h与t成正比例关系，而且当h=20时，t=2.试用 含h的代数式表示t,并分别求当h=10和h=25时，小球落地所用的时间. h >2. >5 拓广探索 9.(1)已知18-n是整数，求自然数n所有可能的值；9.(1)2,9,14,17,18. (2)已知，24n是整数，求正整数n的最小值.(2)6. 10.一个圆柱的高为10，体积为V.求它的底面半径r(用含V的代数式表示)， 并分别求当V=10π和20π时，底面半径r的大小. =0不 1 →2. 第十九章 二次根式5