第六章 3 多边形的内角和和外角和-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

3 多边形的内角和与外角和 小明和小亮经常到如图6-22所示的广场进行体育锻炼。 图6-22 (1)这个广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和 吗？与同伴进行交流。 (2)小明、小亮分别利用图6-23和图6-24求出了五边形五个内角的和。 你知道他们是怎样做的吗？你还有其他的方法吗？ 图6-23 图6-24 尝试·思考 分4个。 (n-2)个。 (1)按照图6-23的方法，六边形能分成多少个三角形？n（n是大于或等 于3的自然数)边形呢？你能确定边形的内角和吗？ (2)按照图6-24的方法再试一试。 定理n边形的内角和等于（n-2)·180°。 从n边形的一个顶点引对角线，能把n边形分成（n-2)个三角形， （n-2)个三角形的内角和等于n边形的内角和 168教材笔记数学八年级下册BS 例1 如图6-25，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°。 B ∠B与LD有怎样的关系？ 解：∠A+∠B+∠C+∠D =（4-2)×180°=360°， .∠B+∠D 图6-25 =360°-（∠A+∠C) =360°-180° 例1说明：如果四边形 一组对角互补，那么另 =180°。 一组对角也互补。 操作·思考 -→1350 ->60°。 -→90° -→108°。 （1)正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、 正八边形的每个内角分别是多少度？ 120°。←- (2)怎样计算正多边形每个内角的度数？ (n-2)·180° 思考·交流 剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形？它的内角和是多 少度？与同伴进行交流。剪掉一个角后，分为以下三种情况： (1)纸片剩下5个角，得到的五边形的内角和为(5-2)×180°=540°。 （2)纸片剩下4个角，得到的四边形的内角和为(4-2)×180°=360°。 (3)纸片剩下3个角，得到的三角形的内角和为180°。 随堂练习 1.小彬求出一个正多边形的一个内角为145°。他的计算正确吗？如果正 确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，请说明理由。 1.不正确。理由：设该正多边形的边最为n,则有145°·n=180°·（n-2), 解得几=二，几不是正整装，不符合题意，故他的计算不正确。 7 如图6-26，小刚在公园沿着五边形步道按 逆时针方向慢跑。 (1)小刚每次从五边形步道的一条边转到 下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角？在 图上标出这些角。如图6-26所示，跑步方向改变的角 分别是∠1，∠2 /3。/4./5 3 (2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角的 图6-26 总和是多少度？说说你的理由，并与同伴进行 交流。360°。理由略。 第六章平行四边形169 思考·交流 如果公园步道的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？与同伴进行 交流。 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的 外角。在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的 外角和。 可以发现：五边形、六边形、八边形的外角和都等于360°。请你以五边 形为例，证明这一结论。 边形的外角和恒等于360°，它与多边形的边数无关 一般地，我们有如下定理 定理 多边形的外角和等于360°。 例2 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n-2)·180°，外角和等 于360°。根据题意，得 (n-2)·180°=3×360°。 解得 n=8。 所以，这个多边形是八边形。 思考·交流 本节研究多边形的内角和与外角和的过程中，采用了哪些方法？与同伴 进行交流。 这个多边形的内角和为360°×2=720°，改这个多边形的边数为 n,则（n-2）·180°=720°，解得n=6,每个内角为720°÷6 随堂练习 120°。因此，这个多边形为六边形，每个内角等于120°。 1.一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？如果这个多边形的 每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？ 170 教材笔记数学八年级下册BS 习题6.3 >知识技能 1.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形。这个 多边形是几边形？它的内角和是多少？ 1.七边形。内角和为（7-2)×180°=900°。 2.一个多边形的内角和是1080°，它是几边形？ 2.设该多边形的边数为n。根据题意，得(n-2)·180°=1080°，解得n=8。 3.一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是几边形？它的 每个外角等于多少度？ 3.这个多边形是四边形，它的每个外角都等于90°。提示：已知一个多边形的每个 外角与其相外的内角相等，而两者的和为180°，由此可得，每个外角与内角都是 90°，于是这个多边形的边数为360°÷90°=4。 4.是否存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的二？简述你的理由。 4.存在，它是十二边形。提示：如果存在这样的多边形，设它的一个外角为，则对 应的内角为180°-0，有号(180°-x)=名，解得x=30°，故这个多边形的边装为 360°÷30°=12。 5.若两个多边形的边数相差1，则它们的内角和、外角和分别有什么异同？ 5.它们的内角和相差180°，外角和相等。 >数学理解 6.图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝 隙、不重叠的图形的一部分。 (1)这种正多边形是几边形？为什么？ 6.（1)六边形。理由：设这个多边形是几边形，它的一个 内角是x。根据题意，得3x=360°，解得x=120°。根据 多边形的内角和公式，得n·120°=（n-2)·180°，解得 n=6,即这个正多边形是六边形。 (第6题) (2)你能借助这种正多边形拼一个漂亮的图案吗？画 出你拼成的图案。(2)略。 第六章平行四边形 171 7.如图，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果。 D B D (第7题) (1)在图中标出各个四边形的外角。7.（1)如图所示。 (2)在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？ (2)没有发生变化。 (3)如果保持四边形的形状不变，将四边形不断缩小下去，请你想象一下最 终的形状，并借助这一变化过程说明四边形的外角和。 (3)最终图形可以看成是由同一点出发的四条射线形成的，此时四个角的和 为360°，而在变化过程中，四边形的各个外角大小不变，说明四边形的外角 和为360°。 (4)请用类似（3)的方法说明五边形、六边形…一般多边形的外角和。 （4)略。 ※8.在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？简述你的 理由。 8.最多能有三个纯角，最多能有三个锐角。理由略。 >问题解决 9.设计一个实验方案（如剪纸、拼图等)，说明四边形的内角和是360°。 9.略。 10.求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 10.略。提示：先利用同旁内角互补，得到两直线平行，进而根据“两组对 边分别平行的四边形是平行四边形”得证。 172教材笔记数学八年级下册BS