第四章 问题解决策略：特殊化-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

问题解决策略：特殊化 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论 或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。特殊情形下，问题变得具体、 简单、易于解决；同时，它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可 能推广到一般性问题的解决中。因此，从特殊情形出发，有助于我们发现解决 问题的思路。 从特殊情形中得到问题的结论或解决问题的方法，再将一般情 形转化为特殊情形或与之建立关联，这是解决数学问题时常用 的策略之一 问题如图4-34，有两个边长为1的A B 正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正 M 方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH 绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部 分的面积是多少？ G 理解问题 H （1)在旋转过程中，两个正方形的 图4-34 重叠部分会呈现出哪些情形？ (2)对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积？你遇到的 困难是什么？ 拟订计划 →我点M和点N在上述旋转过程中的特殊位置，再求解 (1)哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出？ （2)其他情形能转化为容易求解的特殊情形吗？ 实施计划 写出你的解决方案，并说明道理。 第四章 三角形 113 小明的思考过程如下。 (1)先考虑特殊情形。如图4-35、图4-36，这两种情形下，重叠部 分的面积容易求出，都是4。 1 B A M B E G E D 图4-35 图4-36 I证明：因为四边形EFGH是正方形，所以∠CEN+∠CEM=∠NEM=90°。I I因为四边形ABCD是正方形，所以∠BEM+∠CEM=∠BEC=90°，所以I I∠BEM=∠CEN。在△BEM和△CEN中，因为∠EBM=∠ECN,EB=EC,I ∠BEM=∠CEN,所以△BEM≌△CEN(ASA) (2)将一般情形转化为特殊情形。 如图4-37，连接EB,EC,两个正方 M 形重叠部分的面积记作S重叠，则 E S重叠=S△BEC+SACEN-SAREM。可以发现， △BEM≌△CEN,这时，图4-37的情 D G 形就转化为图4-35的情形，S重叠=SABc= 4。因此，一般情形下，重叠部分的面 H 积也是 图4-37 问题情境通常是一个连续变化的过程，包括多种情形。存在 回顾反思 相对简单或具体的特殊情形，先以此为切入点解决问题得到 结论，再考虑将其他情形转化为特殊情形，得到一般性结论 (1)回顾本题的解决过程，个你有哪些感悟？ (2)具有什么特点的问题，可以从特殊情形入手？如何寻找特殊情形？ 与同伴进行交流。 114 教材笔记数学七年级下册BS 在这个问题中，正方形EFGH的位置是变化的，所求重叠部分的面积有很 多情形，因此，小明尝试从特殊情形入手，并借助特殊情形的经验解决了一般 情形下的问题。因为某些因素（如形状、位置或数值等）不确定，使得问题有 多种情形时，可以限制这个引起变化的因素，考虑最为特殊的情形，采用从特 殊情形入手的策略解决问题。 请用特殊化策略解答下列问题。 1.如图4-38，点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂线， 垂足分别为D,E,F。小颖从特殊情形入手，认为AF+BD+CE等于△ABC 周长的。你知道她是怎么做的吗？ 小颖采用特殊化策略猜测出了结论。特殊化的具体方法不唯一。 例如，可以考虑“点P在△ABC的一条角平分线上”这种特殊情形（如图)。 此时可以判定△BFP≌△BDP,△BEA≌△BEC,则BF=BD, A AE=CE。所以AF+BD+CE=AB+号AC=号×△ABC的周长F B D D E M 0 口 C B D N 图4-38 图4-39 2.如图4-39，四边形ABCD的面积是16，各边中点分别为M,N,P,Q, MP与NQ相交于点O,d求图中阴影部分的总面积。8。 先考虑特殊四边形的情形，如四边形ABCD为正方形或长方形 3.甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放置 一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界。规定 谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜。你知道获胜的策略吗？ 先放者有必胜策略，只要将第一枚硬币置于桌面的圆心处 无论后放者 在何处放置硬币，先放者都在其关于圆心的对称位置放置硬币即可。 4.一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？ 7商景大是100。 先考虑特殊情形，如最小的三位数100和最大的三位最999。 100÷(1+0+0)=100,999÷(9+9+9)=37。再尝试取一些三位数， 加500和521.500÷(5+0+0)=100,521÷(5+2+1)=65.125。 因此猜测商最大是100 第四章三角形115