第四章 1 认识三角形-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

第四 章三角形 三角形稳定性的广泛应用< 三角形是生活中常见的基本几何图形，它常常出现在建筑物上或一些物体 的结构框架中。留心观察你所看到的各种事物，你发现各式各样的三角形了吗？ 本章将进一步研究三角形的性质及三角形的全等关系。你将感受研究图形 性质的基本方法，在一个个结论的获得过程中，慢慢体会如何有逻辑地说明它 们的正确性；在用尺规作图的过程中，感受如何通过对图形的直观分析作出想 要的图形。这些学习过程会帮助你积累更多研究图形的经验，发展几何直观和 推理能力等。 在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题： 管本章是如何说明与三角形有关的结论的合理性的？ 本章说明的主要方法：归纳推理和简单的演绎推理。 首你认为可以从哪些方面研究平面图形以及它们之间的关系？ 图形的要素特点、图形基本要素之间的数量关系、图形基本要 素之间的位置关系、图形之间的大小、形状等关系。 认识三角形 观察图4-1，回答下列问题： (1)你能从图4-1中找出几个不同的三角形吗？ (2)这些三角形有什么共同的特点？ 借助屋顶框架图抽象出三 斜梁 斜梁 角形模型 判定)三条线段 三角 不在同一条直线上 横梁 “△”之后的字母女须是大写的， 形的 与三角形顶点的字母表示（即点 依据 图4-1 >首尾顺次相接 的字母表示)的规定一致 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形 (triangle)。三角形有三条边、三个内角和三个顶点。“三角形”可以用符号“△” 表示，如图4-2中顶点是A,B,C的三角形，记作△ABC。△ABC的三边，有 >读作“三角形ABC 时也用a,b,c来表示。如图4-3，顶点A所对的边BC用a来表示，边AC、 边AB分别用b,c来表示。 三角形的三要素： 顶点B所对的边 》顶点C所对的边 (1)边：组成三角 (3)角：相外两边组 形ABC的线段，记 成的角，叫作三角形的 为边AB,BC,CA 内角，简称三角形的角 G 或c,a,b b E a 图4-2 图4-3 (2)顶点：相 三角形中角与边的对应关系： 邻两边的公共 如图4-3所示，LA,乙B,LC所对的边端点 观察·交流 分别是BC,AC,AB;反过来三条边BC, AC,AB所对的角分别是∠A,∠B,∠C。 我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以得到三角形三 个内角的和为180°。 第四章 三角形 85 小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的结论，他的做法如下。 如图4-4，剪一张三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3。 将∠1撕下，按图4-5所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合， 它的一条边与∠2的一条边重合。 此角和∠1相等，可判 定a∥b 3 2 3 图4-4 图4-5 利用图4-5，小明说明了三角形三个内角的和为180°。你知道他是如何说 明的吗？说说你的想法，并与同伴进行交流。 先将上1和上2合起来作为一个角，再根据“两直线 平行，同旁内角互补”得这个角和∠3的数量关系 三角形三个内角的和等于180°。 任意三角形 思考·交流 >锐角。 >锐角。 (1)图4-6中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？ 试着说明理由。>根据“三角形三个内角的和等于180°”进行判断 锐角。 直角。纯角 图4-6 图4-7 (2)图4-7中小亮所拿三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得 结果与（1)的结果进行比较，并与同伴进行交流。 86 教材笔记数学七年级下册BS 在一个三角形中，最多有1个直角或1个纯角，最少 有2个锐角，最多有3个锐角。 我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类： 3个锐角 >1个直角 1个纯角， 2个锐角 2个锐角 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 (acute triangle) (right triangle) obtuse triangle) 三个内角都是锐角 有一个内角是直角 有一个内角是钝角 通常，我们用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形 C ABC”。如图4-8，直角所对的边称为直角三角形的斜边 直角边 直角边 (hypotenuse),夹直角的两条边称为直角三角形的直角 斜边 B 边(1leg)。 在直角三角形中，最大的角是 图4-8 直角，最长的边是斜边 尝试·思考 根据“三角形三个内角的和等于 180°”进行思考 直角三角形的两个锐角之间有什么关系？7 直角三角形的两个锐角互余。 随堂练习 》根据三角形内角的大小判断三角形的类别 1.观察下面的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些 ③⑤。 是钝角三角形？②⑦。 ①④⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ (第1题) 根据“三角形三个内角的 和等于180°”求出第三个内角的度裁后，再判断三角形的类别 2。一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？、 (1)30°和60°； (2)40°和70°； (3)50°和20°。 直角三角形。 锐角三角形。 纯角三角形。 第四章 三角形87 观察图4-9中的三角形，你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗？ 三角形按边分美：三角 「三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 顶角 三角形的三边 腰 腰 有的各不相 等，有的两边 底角底角入 相等，有的三 底边 图49等腰角形的底角 边都相等。 一定是锐角 图4-10 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，如图4-10所示。 三边都相等的三角形叫作等边三角形。等边三角形是等腰三角形，但等 一门腰三角形不一定是等边三角形 思考·交流 (1)节日的晚上，房间内亮起了彩灯。 如图4-11，装有黄色彩灯的电线与装有红 色彩灯的电线哪根较长？耄夜态素华，分的 (2)在一个三角形中，任意两边之和 图4-11 与第三边的长度有怎样的关系？为什么？ 与同伴进行交流。 判断依据：两点之间，线段最短 三角形的任意两边之和大于第三边。 如图，a+b>c,b+c>a,a+c>b 操作·思考 1.分别量出图4-12中三个三角形的三边长度，并填入空格内。 （1) (2) (3) 图4-12 88 教材笔记数学七年级下册BS (1)a= (2)a= (3)a= b= C= C= C= 计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？ 再画一些三角形试一试。 AB=BD. 2.如图4-13，在△ABC中，以点B为圆心，以BA 的长为半径作弧，与边BC交于点D,图中是否有线段长 度等于BC-AB呢？能用圆规直观说明BC-AB与AC之 ?将BC-AB转化为BC-BD,进而求解 间的大小关系吗？改变三角形的形状再试试看，你能得到 图4-13 什么结论？ 三角形的任意两边之差小于第三边。 例 有两根长度分别为5cm和8cm 的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能 摆成三角形吗？为什么？用长度为13cm 如果一根木棒能与原来 的两根木棒摆成三角 的木棒呢？ 形，那么它的长度取值 解：用长度为2cm的木棒时，由于 范围是什么？ 2+5=7<8,出现了两边之和小于第三 边的情况，所以它们不能摆成三角形。 用长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，/出现了两边之和等于第三边 的情况，所以它们也不能摆成三角形。已知两条线段长分别为acm和bcm （a>b)，第三条线段长为ccm。要使 回顾·反思 得第三条线段可以和前两茶线段围成 个三角形，需满足a-b<c<a+b 回顾三角形的不同分类方法，每种方法分别选用了怎样的分类标准？在对 其他对象进行分类时，你是如何选择不同标准的？ 第四章 三角形 89 随堂练习 2<第三边的长<8， 1.一个三角形的两边长分别为3和5，第三边的长可以是8吗？可以是2吗？ )不可以。 不可以 说说你的理由。根据已知条件，c的长女须大于a与b之差而小于a与b >理由略。之和，即女须天于2且小于6：再结合c的长是偶裁求解 2.在△ABC中，a=4,b=2,已知第三边c的长是偶数，求c的长。 >c=4。 如图4-14，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD,在点D 的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置。说说你的想法，并与 同件进行交流州南的省高一支过之 (2)看垂足：三角形的高的垂是在顶点的对边或对边所在的直线上。 A 顶点 B F B C 垂足 AF⊥BC 图4-14 图4-15 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 叫作三角形的高线，简称三角形的高(height)。如图4-15，线段AF是△ABC 的BC边上的高。 三角形的高与垂线的区别：三角形的高是一条垂线段，而 垂线是一条直线。 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线 (median)。如图4-16，线段AE是△ABC的BC边上的中线。 三角形有三条中线，任意一条 中线都将三角形分成面积相等 的两个小三角形 B E B D BE=EC ∠1=∠2 图4-16 图4-17 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点 之间的线段叫作三角形的角平分线。如图4-17，线段AD是△ABC的一条角平 分线。三角形的角平分线与角的平分线的区别：三角形的角平分线是一条线段，可 以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线，不可以度量。 90 教材笔记数学七年级下册BS 操作·交流 (1)在纸上画一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位 置关系？与同伴进行交流。 (2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？画一 画，折一折，并与同伴进行交流。 也可以利用数学软件探 索任意三角形三条中线 的位置关系。 图4-18 (3)如图4-18，用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，怎样确定 这个点的位置呢？ 支起三角形卡片的支点就是该三角形卡片的重心 三角形的三条中线交于一点。这个点称为三角形的重心。 思考·交流 请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点。三角形的三条高呢？你是 怎么做的？与同伴进行交流。 三角形的三条角平分线交于一点。这个点称为三角形的内心 这个点称为三角 三角形的三条高所在的直线交于一点。形的垂≤ 不同三角形的三条高所在直线的交点位置情况如下： 02 图1 图2 图3 (1)如图1，直角三角形的三条高所在直线的交点（点O1)是直角三角形的顶点。 (2)如图2，锐角三角形的三条高所在直线的交点（点O2)在三角形内。 (3)如图3，纯角三角形的三条高所在直线的交点（点O3)在三角形外。 第四章三角形91 随堂练习 根据“三角形三个内角的和等于180°”及角平分线的定义求解即可 1.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，BD是△ABC的一条角平分线， 求∠ABD的度数。∠ABD=29°。 (第1题) 2.分别指出图中△ABC的三条高。 y D D - B E E ,-(1) (2) 三条高分别为AB,BD,CB。(第2题)三条高分别为BF,AD,CE。 习题4.1 >知识技能 根据“三角形三个内角的和等于180°”列方程求解即可 1.如图，求△ABC各内角的度数。30°，60°，90°。 A 2.在下面的空白处，分别填入“锐角”“钝角”或“直角”： 3x° (1)如果三角形的三个内角都相等，那么这个三 人2x0 角形是锐角三角形； x°C B (2)如果三角形的一个内角等于另外两个内角之 (第1题) 和，那么这个三角形是直角三角形； 92教材笔记数学七年级下册BS 设我大锐角为”，则x+号=90 (3)如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形是钝角三角形。 3.在直角三角形中，较大锐角是较小锐角的2倍，求较大锐角的度数。60°。 4.如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足是D。 (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说 出它们的直角边和斜边。 4.（1)有3个直角三角形，分别是△ABC, A D △ACD,△BCD,直角边和斜边略。 (2)∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？ (第4题) (2)∠1和∠A互余，∠2和∠A相等。 5.下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形吗？实际摆一摆， 先比较最长小棒的长度与其他两根小棒 验证你的结论。的长度之和的大小，再进行判断 5.只有（1)与(3)能摆成三角形。（验证略) (1)3cm,4cm,5cm; (2)8cm,7cm,15cm; (3)13cm,12cm,20cm; (4)5 cm,5 cm,11 cmo 6.如图，在△ABC中，BC边上的高是AF,AB边上的高是CE;在 △BCE中，BE边上的高是CE,EC边上的高是 BE;在△ACD中， AC边上的高是DC,CD边上的高是AC 根据三角形的高线的 定义求解即可 D B F (第6题) )AD平分∠BAC 7.在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是△ABC的一条角平分线，求 ∠ADB的度数。105°。 8.下图中，△ABC的BC边上的高画得对吗？AB边上的高呢？若不对，请改正。 8.(1)对。(2)不对，正确的画法如图所示。 A A G AB边上的高CG G B C边上的高AG AB边上的高BG 过点A向BC边所 (1) (2) 在的直线作垂线 (第8题) 第四章三角形 93