第三章 3 等可能事件的概率-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

等可能事件的概率 前面我们用事件发生的频率来估计该事件发生的概率，但得到的往往只是 概率的估计值。那么，还有没有其他求概率的方法呢？ 思考·交流 1.一个袋中装有5个球，分别标有1,2,3,4,5这五个号码，这些球除 号码外都相同，混合均匀后任意摸出一个球 会出现摸到1号球、摸到2号球 (1)会出现哪些可能的结果？ 摸到3号球、摸到4号球、摸到 相。不、 5号球这5种不同可能的结果。 (2)每种结果出现的可能性相同吗？猜一猜它们的概率分别是多少。 2.前面我们提到的掷硬币、掷骰子和摸球的游戏有什么共同的特点？与同 件进行交流克器个李灯能袋来只有有限个（2）李可统性：年 个可能的结果出现的可能性相同C 设一个试验的所有可能的结果 有n种，每次试验有且只有其中的 你还能举出一些结果 一种结果出现。如果每种结果出现 是等可能的试验吗？ 的可能性相同，那么我们就称这个 你是如何判断试验结 试验的结果是等可能的。 果是等可能的？ 尝试·思考 在上面“思考·交流”中，你认为“摸出的球的号码不超过3”这个事件 的概率是多少？你是怎样想的？ 从袋子中任意摸出一个球，所有可能的结果有5种：摸出的球的号码分别 是1,2,3,4,5。因为这些球除号码外都相同，所以每种结果出现的可能性相同。 “摸出的球的号码不超过3”这个事件包含其中的3种结果：摸出的球的 号码分别是1,2,3。所以 P(摸出的球的号码不超过3)=。 72 教材笔记数学七年级下册BS 一般地， 概率是一个比值，没有单位，它的值 在0和1之间（包括0和1）】 如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那 么事件A发生的概率为P(A)=。 该公式为古典桡型的概率计算 公式 例任意掷一枚质地均匀的骰子。 (（1)掷出的点数大于4的概率是多少？ (2)掷出的点数是偶数的概率是多少？ 解：任意掷一枚质地均匀的骰子，所有可能的结果有6种：掷出的点数分 别是1,2,3,4,5,6。因为骰子是质地均匀的，所以每种结果出现的可能性 相同。 (1)掷出的点数大于4的结果只有2种：掷出的点数分别是5,6。所以 P(掷出的点数大于4)=2=1。 6=3° (2)掷出的点数是偶数的结果有3种：掷出的点数分别是2,4,6。所以 P(掷出的点数是数)-名=分，° 例如，掷出的点悬小于5的概率、掷出的点数是 你还能求哪些 事件的概率？ 3的倍数的概率、掷出的点数不是6的概率等。 1.可能会出现A,B,C,D,E五种不同的 随堂练习 结果，它们是等可能的。 1.将A,B,C,D,E这五个字母分别写在5张同样的纸条上，并将这些 纸条放在一个盒子中。混合均匀后从中任意抽取一张，会出现哪些可能 的结果？它们是等可能的吗？ 一副扑克牌一共有54张牌，包括4种花色的牌、1张大王和1张小王。 其中花色有梅花、方块、红桃、黑桃，每种花色各有13张 2.一副扑克牌，任意抽取其中的一张，抽到大王的概率是多少？抽到3的 概率是多少？抽到方块的概率是多少？请你解释一下，抽到大王的机会 比抽到3的机会小。2P(抽到大王)=：P(抽到3)=是=品 P(抽到方块)=是。国为<易，所以抽到大王的机会北抽到3的机会小。 54 第三章概率初步 73 (（1)一个袋中装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，任意 摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ 并不是任意事件都是等可能的 21 摸出的球不是红球就是白球，所以摸到红球和摸到白球 的可能性相同，也就是，P(摸到红球)= 红球有2个，而白球有3个，将每一个球都编上号码，1 号球（红色）、2号球（红色）、3号球（白色）、4号球（白色）、· 5号球（白色），摸出每一个球的可能性相同，共有5种等可 能的结果。摸到红球可能出现的结果为摸出1号球或2号球， 共有2种等可能的结果。所以，P(摸到红球)=。 小颖说的有道理。 你认为小明和小颖谁说的有道理？ (2)小明和小颖一起做游戏。在一个装有2个红球和3个白球（每个球 除颜色外都相同)的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖 获胜，这个游戏对双方公平吗？在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方 公平的？与同伴进行交流。P(小明我雅)=子，P(小颗我胜)=子，两人 获胜的概率不同，因此游戏对双方不公平。在一 尝试·思考 个双人游戏中，游戏对双方公平是指双方获胜的 概率相同。 利用一个口袋和4个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏。 口秦中有2个红球，2个白球。 (1)使得摸到红球的概率是2， 摸到白球的概率也是； (2)使得摸到红球的概率是)，摸到白球和黄球的概率都是4。 口袋中有2个红球，1个白球，1个黄球。 74 教材笔记数学七年级下册BS 思考交流 你能选取8个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗？ 你能选取7个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗？ 选取8个球时，口袋中有4个红球，4 你是怎样设计的？与同伴进行交流。个白球，或4个红球，2个白球，2个 黄球。选取7个球，无法设计满足所 随堂练习 述条件的游戏。 1.某班有22名男生和18名女生，将每名学生的姓名写在完全相同的纸条上， 放在盒子中混合均匀，从中任意抽取1张纸条，抽取到男生姓名的概率 是多少？ 1 20°1 关系：都有40种等可能的结果，其中所求事件的 20。 结果最为2，因此所来事件的概率相同，各为0 2.一个袋中装有22个红球和18个白球，这些球除颜色外都相同，从中任 意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？这个问题与第1题有什么关系？ 解决与转盘有关的概率计算问题时，一般先确定转盘被等分成了几份， 再根据相应事件发生所占的份数与总份数的比值来计算概率的大小。 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘， 并将转盘等分成20个扇形，像图3-6那样涂上颜色。商场 规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会。 如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客 就可以分别获得100元、50元、20元的购物券。 图3-6 (1)自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共 有多少种？这些结果是等可能的吗？20种，是等可能的。 (2)某顾客购物消费120元，获得一次转动转盘的机会。他获得100元、 50元、20元购物券的概率分别是多少？他能获得购物券的概率是多少？ 111 7 尝试·思考 20105 0° 红 1209 图3-7所示的是一个可以自由转动的转盘。转动转盘，当 白 转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？ 与图形有关的概率计算公式： 图3-7 事件A发生的所有可能的结果所组成的图形的长度（或面积、体积) P(A)= 所有可能的结果所组成的图形的长度（或面积、体积）》 第三章概率初步 75 先把白色区域等分成2份（如图3-8)， 红 这样转盘被等分成3个扇形，其中1个是红色， 120 2个是白色，所以将本来不是古典概型的问题 白 转化成了古典概型的问题 P(落在红色区域)=3： 图3-8 P(落在白色区域)=2 0 〉有道理，理由略。 你认为小颖的做法有道理吗？说说你的理由。 思考…交流 红 图3-9所示的是一个可以自由转动的转盘。转动转盘，当 110° 转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？ 白 你有什么求解方法？与同伴进行交流。 图3-9 P（落在红色区域)= 11 361 回顾·反思 P(落在白色区域)= 25 36° 求等可能事件的概率时有什么需要注意的事项？你积累了哪些经验？ 首先，要判断试验为古典概型，即同时具备“有限性”和“等可能性”这两个基 本特点，缺一不可；其次，用古典概型的概率计算公式计算概率时，关键是计算 试验中所有等可能的结果总数和所求事件中可能出现的结果最；最后，一些本来 不是古典概型的问题，可以经过适当处理转化为古典概型的问题加以解决。 随堂练习 1.（1)如图所示，一个转盘被等分成16个扇形。请为该 转盘设计一个涂色方案，使得自由转动这个转盘， 当它停止时，指针落在红色区域的概率是？ (1)答案不唯一，只要红色区域占6份 即可，这6份不一定要连在一起。 (2)请赛举出两个随机事件，它们发生的概率也，是层。 (第1题) （2)略。 2.请设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域 的概率是尽：落在白色区城的概率是8，落在黄色区城的撇车是4 2.转盘被分成8个相同的扇形，其中3份涂成红色，3份涂成白色，2份 涂成黄色。（答案不难一，合理即可） 76 教材笔记数学七年级下册BS 习题3.3 >知识技能 )共有6种等可能的结果 1.任意掷一枚质地均匀的骰子。 (1)掷出的点数小于4的概率是多少？ (2)掷出的，点数是奇数的概率是多少？ (3)掷出的，点数是7的概率是多少？0。 (4)掷出的，点数小于7的概率是多少？1。 2.一道单项选择题有A,B,C,D四个备选答案，从中任意选一个答案，答案 正确的概率是多少？4。 3.在7张完全相同的卡片上分别写上数字1,1,2,2,3,4,5，从中任意抽 出一张。求： (1)抽出标有数字3的卡片的概率； (2)抽出标有数字1的卡片的概率；号。 (3)物出标有数字为奇数的卡片的概率。号。 4.一个袋中装有5个红球、4个白球和3个黄球，每个球除颜色外都相同。从 中任意摸出一个球，则： P(摸到红球)= 12 1 P(摸到白球)= 3 5.摸到红球和摸到白球的概率不 1 P(摸到黄球)= 4 相等。改变球的数量的方法不难 一，如可以从袋中拿走2个白球。 5.一个袋中装有3个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同。从中任意摸出 一个球，摸到红球和摸到白球的概率相等吗？如果不相等，请通过改变袋中 红球或白球的数量，使摸到红球和摸到白球的概率相等。 要使摸到红球和摸到白球的概率相等，则红球和白球的数量应相同 6,任意掷一枚质地均匀的服子，掷出的点数为6的概率是石。请通过改变服子 每个面上的点数，使掷出的点数为6的概率是号。 6.只要使质地均匀的散子的6个面中恰好有2个面上刻的点数是6即可。 第三章概率初步 77 7.如图所示的是三个可以自由转动的转盘。转动转盘，分别计算转盘停止时， 1323 指针落在红色区域的概率。4,8,2 转盘内扇形的圆 ←“ 心角度数不同 不能直接根据相 应事件发生所占 红 红 的份裁与总份裁 白 白 115 的比值去计算 78° 白 135° 率的大小， 要 135° 蓝 蓝 167° P3= 115° 合扇形圆心角度 (2)P2= 135° 360° 数进行思考 1) 90° 3600 (3) P1= 360° (第7题) 8。如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的 “雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能 埋藏1颗“地雷”。小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字 3,它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域， 设为A区域)中埋藏着3颗“地雷”。为了尽可能不踩中“地雷”， (第8题) 小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上？ 8.在A区城内，踩中“地雷”的概率为日；在A区城外，共有10-3=7（颗） “地雷”，A区域外共有81-9=72（个）小方格，所以在A区域外，踩中“地 雷”的能率为石国为>7所以为了尽可能不综中“地雷”，小明的第二 8 步应踩在A区域外的小方格上。 >数学理解 0略。 9.请举出一些事件，它们发生的概率都是 10.用10个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏。 (1)使得摸到红球的概率是，摸到白球的概率也是； 10.（1)10个球中有5个红球，5个白球。 (2)使得摸到红球的概率是写，模到白球和黄球的概率都是？。 （2)10个球中有2个红球，4个白球，4个黄球。 11.小明和小颖用一副去掉大王、小王的扑克牌做抽牌游戏：小明从中任意抽 取一张牌（不放回)，小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁抽到的牌面大谁 就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2,3,4,5,6,7,8,9,10，J,Q, K,A,且牌面的大小与花色无关)。然后两人把抽到的牌都放回，重新开始 游戏。放回选取和不放回选取是两种完全不同的选取方式，一般来说，被 回选取可能有重复的事件结果，不放回选取则不可能有重复的事件 结果，计算时要注意这两种选取方式的不同造成的结果的差异 78教材笔记数学七年级下册BS (1)现小明已经抽到的牌面为4，然后小颖抽牌，那么小明获胜的概率是多 少？小穎获胜的概率又是多少P(小明疾雅)=景，P(小颗获雅)=。 ǒ (2)若小明已经抽到的牌面为2，情况又如何？若小明已经抽到的牌面为 A呢？ p(小明骏胜)=0，P(小叛失雅)=贺=将。 (小明衣胜)-经-引9P(小预夜胜)=0。 12.（1)请设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域 的概率是号，落在白色区城的概率是}，落在黄色区城的概率是弓。 12.（1)把转盘分成9等份，其中红色4份，白色3份，黄色2份。 (答案不难一，合理即可) ※（2)请设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区 域的概率是骨，落在白色区域的概率是是，落在黄色区域的概率是。 你能完成这一任务吗？ (2)不能。因为层+昌+骨=是>1，而机率最大值为1， 所以不能设计这样的转盘。 >问题解决 13.小明所在的班有40名同学，从中选出一名同学为家长会做准备工作。请你 设计一种方案，使每一名同学被选中的概率都相同。 13.将40名同学的名宇分别写在40张相同的纸签上，随机抽取一张，抽 出写有谁的名字的纸签就选中谁。（答案不唯一，合理即可） 14.如图所示，一个转盘被等分成12个扇形。 (1)请为该转盘设计一个涂色方案，使得自由转动这个转盘， 当它停止时，指针落在红色区找的概率是了 14.（1)将其中的4个扇形涂成红色。 (2)对于（1)，你还有其他的涂色方案吗？你是怎样设 (第14题) 计这些涂色方案的？ （2)略。 红色区域的位置不影响指针落在红色区域的概率的大小，但红色 区域的面积会影响指针落在红色区域的概率的大小 第三章概率初步 79