第二章 2 探索直线平行的条件-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

探索直线平行的条件 在日常生活中，人们经常用到平行线。如图2-13，装修工人要在墙上钉木条， 如果木条b与竖直木条垂直，那么木条a与竖直木条所成的角为多少度时，才 能使木条a与木条b平行？90°。 指木条a所 在的直线与 木条b所在 的直线平行 图2-13 图2-14 如图2-14，如果木条b不与竖直木条垂直呢？ 操作·交流 (1)如图2-15，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b,c,转动木条a。 如图2-16，在转动木条α的过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系， 你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？木条a何时与木条b平行？ 与同伴进行交流。从不平行到平行，再到不平行。 当∠1=∠2时，木 条a与木条b平行。 ∠1>∠2 ∠1=∠2 ∠1<∠2 山用三根木条构造 两条直线被第三 ① ② ③ 条直线所截模型 图2-15 图2-16 (2)改变图2-15中∠1的大小，按照（1)中的方式再做一做。∠1与∠2 的大小满足什么关系时，木条α与木条b平行？与同伴进行交流。 当∠1=∠2时，木 条a与木条b平行。 第二章相交线与平行线 41 如图2-17，具有∠1与∠2这样位置关系的角称为 线 同位角(corresponding angles）)。∠3与∠4也是同位角。 在图2-17中，找出其他的同位角。∠5与∠6，∠7与∠8。 (2械截线 少在裁线的同旁，两条被裁 P 线的同侧，形如字母“F” 图2-17 》以“三线八角”模型为前提 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简述为：同位角相等，两直线平行。 两直线平行，用符号“∥”表示。例如，直线a与直线b平行，记作a∥b。 尝试·思考 读作“平行于” 也可以记作b∥a (1)你能借助三角尺画平行线吗？小明按如图2-18所示的方法画出了已 知直线的平行线，请说明其中的道理。同位角相等，两直线平行。 图2-18 (2)如图2-19，你能过直线AB外一点C画直 线AB的平行线吗？能画出几条？能，只能画出1条。 A B 图2-19 a前提 强调存在性和唯一性 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 注意：一条直线的平行线有无数条，加上限制条件 “过直线外一点”后，这条直线的平行线只有一条。 42 教材笔记数学七年级下册BS 操作·思考 在图2-20中，分别过点C和D画直线AB的平 行线EF和GH,那么EF与GH有怎样的位置关系？ EF与GH平行。 B D 图2-20 平行线具有传递性 平行于同一条直线的两条直线平行。 也就是说：如果b∥a,c∥a,那么b∥c（如图2-21)。 图2-21 随堂练习 我出点阵中相等的同位角，即可我出互相平行的线段←、 1.找出下面，点阵（点阵中相邻的四个点构成正方形)中互相平行的线段。 1.AB∥CD,EF∥GH。 G B ●。了●。了。。 、3- 同位角 C一D D 人)对顶角 (第1题) (第2题)》 2.如图，∠1=∠2=55°，直线AB与CD平行吗？平行。 3.对于同一平面内的三条直线a,b,c,如果a与b平行，c与a相交， 那么c与b的位置关系是相交还是平行？请画图说明。画图略。 相交。上 第二章相交线与平行线 43 李老师有一块小画板（如图2-22)，他想知道 它的上、下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间 2 画了一条线段AB。 李老师身边只有一个量角器，他通过测量某些 角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行， B 图2-22 你知道他是怎样做的吗？ 》在截线的两旁，两条被截线之间，形如字母“Z” 如图2-23，具有∠1与∠2这样位置关系的角称为内 l裁线 错角（alternate interior angles);具有∠l与∠3这样位置 B 关系的角称为同旁内角(interior angles on the same side)。 4被载线 在图2-23中，找出其他几组内错角和同旁内角。 在裁线的同侧， 图2-23 思考·交流 两条被裁线之 ∠3与∠4 ∠2与∠4 间，形如字母“U” (1)内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ (2)同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？与同伴进行交流。 注意： “三线八角”模型是同位角、内错角和同旁内角存在的前提 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两 条直线平行。 简述为：内错角相等，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这 两条直线平行。 简述为：同旁内角互补，两直线平行。 →注意是“互补”，不是“相等” 观察·交流 （1)如图2-24，三个相同 B D 的三角尺拼成一个图形，请找 出图中的一组平行线，并说明 你的理由。我出图中相等的同位角、 内错角或互补的同旁内 图2-24 角，进而我出平行线 44 教材笔记数学七年级下册BS (2)以下是小颖的思考过程，你能明白她的意思吗？ BC与AE是平行的。因为∠BCA与∠EAC是内错角， 而且相等。 (3)在图2-24中再找出一组平行线，说说你的理由，并与同伴进行交流。 思考·交流 截线 如图2-25，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直 线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢？与同伴进行 交流。 引入同位角、内酷角和同旁内角，将两条直线平行这 图2-25 一位置关系问题转化为相关角之间的数量关系问题。 尝试·思考 如图2-26，某公园的两条直道AB和CD交于点O,为 方便游客观赏，公园管理部门决定过小路CD上的点P,再 修建一条直道MN,并且使MN与AB平行。你能在图中画 B 出直道MN吗？ 图2-26 (1)过点P的直线有多少条？无数条。 (2)满足什么条件的直线才能与AB平行？ >根据平行线中谷角之间的位置关系及数量关系解题 如图2-27，已知点P在直线AB外，用尺规作直线MN,使MN经过点P, 且MN∥AB。 A B 图2-27 第二章相交线与平行线 45 作法与示范： 作法 示范 >作藏线 L.在直线AB上任取一点O,过点O,P作直线CD。 0 →两点确定一条直线 A B 作另一条 2.以点P为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧作 被裁线 M ∠DPN=∠DOB。 0 PN边所在的直线MN就是要作的直线。 构造“三线只角” 模型， ∠DPN和 ∠DOB是同位角 你能说说这样作的 道理吗？ 同位角相等，两直线平行。 随堂练习 1.观察右图并填空： (1)∠1与∠4是同位角； (2)∠5与∠3是同旁内角； (3)∠2与∠1是内错角。 P4 2.当图中各角分别满足下列条件时，你能判定 （第1题) 哪两条直线平行？ m 4 (1)∠1=∠4；a∥b。 10 同位角 (2)∠2=∠4；m∥l。 内错献 (第2题) (3)∠1+∠3=180°。n∥l。 >同旁内角 46 教材笔记数学七年级下册BS 习题2.2 >知识技能 1.找出下图中互相平行的直线。1.a∥b,m∥no 1309 )同旁内角 50n 509 同位角 (第1题) (第2题) 2.如果只有直尺，你能在图中的方格纸上画出平行线吗？你是怎么画的？略。 3.如图，一条街道的两个拐角∠ABC与∠BCD均为150°，街道AB与CD平行吗？ 为什么？3.平行。因为∠ABC与∠BCD是内酷角，而且相等。 D -------D B B (第3题) （第4题) >同旁内角分 >同位角< 4.如图，∠DAB+∠CDA=180°，∠ABC=∠1，直线AB与CD平行吗？为什么？ 直线AD与BC呢？ 4.AB∥CD,因为∠DAB与∠CDA是同旁内角，而且互补； AD∥BC,因为∠ABC与∠1是同位角，而且相等。 >数学理解 5.你能用一张形状不规则的纸（比如，如图所示的 四边形的纸)折出两条平行的直线吗？与同伴说说 你的折法。 5.能。例如，分别折出两条与纸的某边垂直 的折痕，所得的两条折痕就是互相平行的。 (第5题) 第二章相交线与平行线 47 6.图(1)是一种画平行线的工具。在画平行线之前，工人师傅往往要先调整一 下工具[如图（2)]，然后再画平行线[如图（3)]。请说明这种工具的 用法和其中的道理。6.用法略。道理不唯一，如同位角相等，两直线平行。 (1) (2) (3） 过直线1外一点C作1的平行线，（第6题） 只能作出一条，所以直线AB与直线BC是同一条直线 7.直线1的同侧有A,B,C三，点，如果A,B两点确定的直线L1与B,C两，点 确定的直线12都与1平行，那么A,B,C三点的位置关系如何？ 7.A,B,C三点在同一条直线上。 8.观察下面每幅图中的直线α，b,它们分别平行吗？如何验证它们是否平行呢？ 你有几种方法？8.它们分别平行。可以用推三角尺的方法进行验 证；也可以画出a,b的载线，通过比较同位角、 a b 内酷角或同旁内角的数量关系进行验证。 (1) (2) (3) (第8题) 9.利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一，点和已知直线平行”的直线。 请说明其中的道理。9.用“同位角相等，两直线平行”“内酷角相等，两 直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”均可解释。 由垂直的 定义知， 三条直线 形成的八 个角都是 (1) (2) (3) (4) 直角 、/ 该折痕与已（第9题）该折痕与步骤(2)】 知直线垂直 得到的折痕垂直 48教材笔记数学七年级下册BS