专题05 一元二次方程及其应用（含答案）分层基础练 2026年中考数学第一轮复习

2026年中考数学 专题05一元二次方程及其应用 班级：　　　姓名：　　 　学号： 一、选择题 1．(人教九上习题改编)若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2．(人教九上习题改编)用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 3．(2025乌当区模拟)方程的解是( ) A. B. C. ， D. ， 4．(2025河南改编)一元二次方程的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5．方程的解是( ) A. B. C. D. 6．(2025北京)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为( ) A. B. C. 1 D. 4 7．(2025湖北省卷)一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 8．(2025云南)某书店今年3月份盈利6 000元，5月份盈利6 200元.设该书店每月盈利的平均增长率为.根据题意，下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 9．(2025南明区模拟)若一元二次方程的一个根是，则另一个根是( ) A. 4 B. 1 C. 0 D. 10．(新考法 数学文化)(2025黔南州模拟)《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面尺，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 二、填空题 11．（2019·江苏徐州·中考真题）方程的根为________． 12．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 13．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 14．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 15．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________ 16．（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是______． 17．（2025·河南濮阳·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是________． 18．（2025·云南·模拟预测）这是一道婚礼上的方程，新郎需要在现场把这个方程解出来，才能迎接新娘．请根据你解方程的过程完成填空：这个方程是______（类型）方程，需要______，就像检验新郎是否是真心一样．其中的第一个根______代表着一生不辜负爱妻，第二个根______代表着否则你将一无所有． 19．(2025新疆改编)若关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是　　　　. 20．(2025白云区模拟)已知为方程的根，那么代数式的值为　　　　. 三、解答题 21．(2025花溪区模拟)解方程：. 22．(2025威海)如图，某校有一块长，宽的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度. 23．(新考法 选择条件开放) 设一元二次方程.在下面的四组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程. ，； ，； ，； ，. 24．(2025达州节选)为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件. (1) 设该款巴小虎吉祥物降价元，则每天售出的数量是　　　　件； (2) 为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，使文旅公司每天的利润是630元. 25．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 26．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 27．（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？ 28．(2025云岩区模拟)根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是( ) 0 1 2 5 A. B. C. D. 29．(2025广安)已知方程的两根分别为和，则代数式的值为　　　. 30．(新考法 数学文化)(2025花溪区模拟) 数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有　 　　　　人.” 31．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 32．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 33．（2025·四川达州·二模）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系．当降价5元时，工厂每天的利润为多少元？ (2)当每千克降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元/千克？ 参考答案 一、选择题 1. B　【解析】根据题意，得k－3≠0，∴k≠3. 2. B　【解析】x2＋8x＋7=0，移项得x2＋8x=－7，配方得x2＋8x＋16=－7＋16，整理得(x＋4)2=9. 3. D　【解析】(x－2)(x＋3)=0，可得x－2=0或x＋3=0，解得x1=2，x2=－3. 4. A　【解析】∵a=3，b=－2，c=0，∴Δ=(－2)2－4×3×0=4＞0，∴该方程有两个不相等的实数根. 5. A 6. C　【解析】∵关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1=0有两个相等的实数根，∴Δ=0且a≠0，∴22－4a=0且a≠0，∴a=1. 7. D 8. A　【解析】设该书店每月盈利的平均增长率为x，由题意得，6 000(1＋x)2=6 200，故选A. 9. D　【解析】∵一元二次方程为x2＋5x＋4=0，∴此方程的两根之和为－5，∵方程的一个根为－1，∴方程的另一个根为－4. 10. D 二、填空题 11．， 12． 13． 14．2 15． 16．/ 17． 18． 分式 验根 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 即， 解得：， 检验：当时，， 当时，， 所以原方程的解为； 这个方程是分式方程，需要验根，就像检验新郎是否是真心一样．其中的第一个根代表着一生不辜负爱妻，第二个根代表着否则你将一无所有． 故答案为：分式；验根；； 19. a＞1 20. 2 025　【解析】∵m是方程x2＋3x－1 012=0的根，∴m2＋3m－1 012=0，∴m2＋3m=1 012，∴2m2＋6m＋1=2(m2＋3m)＋1=2×1 012＋1=2 025. 三、解答题 21. 解：移项，得x2－4x=－3， 配方，得x2－4x＋4=－3＋4， ∴(x－2)2=1， 即x－2=1或x－2=－1， ∴原方程的解为x1=3，x2=1. (一题多解法) 解法一：∵a=1，b=－4，c=3， ∴b2－4ac=(－4)2－4×1×3=4＞0， ∴x==， ∴原方程的解为x1=3，x2=1； 解法二：原方程可化为(x－1)(x－3)=0， ∴x－1=0或x－3=0， ∴x=1或x=3， ∴原方程的解为x1=1，x2=3. 22 解：设小路的宽度为x m， 由题意，得(20－4x)(14－4x)=24×9， 整理得2x2－17x＋8=0， 解得x=或x=8(不符合题意，舍去). 答：小路的宽度为m. 23. 解：∵使这个方程有两个不相等的实数根， ∴Δ=b2－4ac=b2－4c＞0，即b2＞4c， ∴②③均可， 选②解方程，则这个方程为x2＋3x＋1=0， ∴x==， ∴x1=，x2=. 选③解方程，则这个方程为x2＋3x－1=0， ∴x==， ∴x1=，x2=. (任意写出一种即可) 24. 解：(1)(60＋10x)； (2)设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得(40－30－x)(60＋10x)=630， 整理可得x2－4x＋3=0， 解得x1=1，x2=3， ∵要让利于游客， ∴x=1舍去， ∴该款巴小虎吉祥物应该降价3元，使文旅公司每天的利润是630元. 25．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（舍去） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元， 由题意得：， 解得：，， 因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意 则， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． 26．(1) (2)【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， ，即， ， 因降价百分率，故， 得， 答：该款帐篷价格每次下降； （2）解：设每套涨价元，则月销售量减少套， 此时，每套盈利：元；月销售量：套 则月销售利润为， 解得或， 当时，涨价元，时，涨价元， 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元． 27．【详解】解：设每件玩具应降价元． 根据题意得，， 整理得，，即， 解得． 答：每件玩具应降价元． 28. A 29. 29　【解析】∵方程x2－5x－24=0的两根分别为a，b，∴a＋b=5，a2－5a－24=0，∴a2－5a=24，∴a2－4a＋b=(a2－5a)＋(a＋b)=24＋5=29. 30. 19　【解析】设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据题意，得=10x，整理，得x2－19x=0，解得x1=0(不符合题意，舍去)，x2=19，∴这群人共有19人. 31．【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 32．【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 33．【详解】（1）解：由题意得： ， ∵要求保证盈利， ∴， 解得， ∴， 当时，， 答：工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系式为．当降价5元时，工厂每天的利润为9750元． （2）解：， 由二次函数的性质可知，当时，的值最大，最大值为9800， 答：当每千克降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元． （3）解：由题意得：， 解得或， ∵要求让利于民， ∴， ∴定价为（元/千克）， 答：定价应为43元/千克． 2026中考数学1 学科网（北京）股份有限公司 $