专题02：导数中含参数单调性的讨论【4个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高二数学下学期人教A版选择性必修第二册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【专题02：导数中含参数单调性的讨论】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：一个零点型】 【练方法】 知识梳理 导函数为一次函数或可化为一次函数，仅存在一个零点 核心：一次函数的零点由斜率与截距决定，需讨论与的情况 本质：通过导数零点划分定义域，分析原函数单调性 解题思路 1.求导：得到，整理为一次函数形式 2.分类讨论： 若：，判断符号，确定单调区间 若：令，得唯一零点 3.列表/穿根：分析与时的符号，确定单调性 名师点睛 一次函数零点唯一，无需担心多解情况，重点是斜率为0的特殊情形 若导函数为常数函数（），原函数在定义域内单调，无极值点 书写结论时需明确：单调递增/递减区间，极值点及极值 （25-26高二·全国·假期作业）设函数，．求函数的单调区间．经典例题1例题 （2026高三·全国·专题练习）已知函数，，当时，讨论函数的单调性.经典例题2例题 （2026高三·天津·专题练习）已知，小试牛刀1 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． （2026高三·全国·专题练习）已知函数．小试牛刀2 (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； （2026高三·北京·专题练习）已知函数．讨论的单调区间；小试牛刀3 【题型2：可因式分解型】 【练方法】 知识梳理 导函数为二次函数或高次多项式，可因式分解为的形式 核心：通过因式分解快速找到所有零点，再按零点大小排序，划分区间讨论单调性 常见形式：二次函数分解为 解题思路 1.求导：得到，尝试因式分解 2.求零点：令，解得所有零点 3.排序：将零点按从小到大顺序排列，划分定义域为若干子区间 4.定符号：选取区间内测试点，判断符号，确定单调性 5.得结论：写出单调区间与极值 名师点睛 因式分解是关键，优先尝试十字相乘法、提取公因式、分组分解 若二次函数判别式，导函数恒正/恒负，原函数单调 零点排序后，用“穿针引线法”快速判断各区间导数符号，提升效率 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，，经典例题1例题 (1)若函数与在处的切线垂直，求a的值． (2)讨论函数的单调性并写出单调区间． （25-26高二上·重庆·期末）已知函数，其中．经典例题2例题 (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． （25-26高二·全国·假期作业）已知函数．求的单调区间小试牛刀1 （25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论函数的单调性．小试牛刀2 （25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数，且．小试牛刀3 (1)求的值； (2)讨论的单调性． 【题型3：不可因式分解型】 【练方法】 知识梳理 导函数无法因式分解（如、等超越函数形式） 核心：通过二次求导分析的单调性与最值，进而判断零点个数 本质：将视为新函数，用导数研究其性质，再反推原函数单调性 解题思路 1.求导：得到，发现无法因式分解 2.二次求导：计算，分析的单调性 3.找最值：根据符号，找到的极值点与最值 4.判零点：结合的极限行为与最值，判断零点个数及位置 5.划区间：根据零点划分定义域，分析单调性 名师点睛 不可因式分解时，二次求导是核心手段，不要强行尝试因式分解 需关注定义域边界与无穷远处的极限，避免遗漏零点或误判符号 若恒正/恒负，原函数单调；若存在零点，则按零点划分区间讨论 （2025高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调区间.经典例题1例题 （2026高三·全国·专题练习）已知函数，，讨论函数的单调性；经典例题2例题 （25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论函数的单调性.小试牛刀1 （25-26高二·全国·假期作业）已知函数，求函数的单调区间.小试牛刀2 （25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数，其中．小试牛刀3 (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【题型4：双零点型】 【练方法】 导函数为二次函数或可化为二次函数，存在两个不同零点 核心：需讨论二次函数的开口方向、判别式、零点与定义域的关系 常见形式：（），时存在两个不同零点 解题思路 1.求导：得到 2.讨论判别式： ：恒正/恒负，原函数单调 ：令，得两个零点（） 3.讨论零点位置：判断是否在定义域内 4.划区间：根据零点与定义域的关系，划分区间分析符号 5.得结论：确定单调区间与极值 名师点睛 双零点问题需三级讨论：判别式→开口方向→零点与定义域的位置关系 若二次项系数含参数，需先讨论的情况（退化为一次函数，即题型1） 书写结论时需分类清晰，避免遗漏“无零点”或“零点不在定义域内”的情况 （25-26高二·全国·假期作业）已知函数．若，讨论的单调性；经典例题1例题 （25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论的单调性．经典例题2例题 （25-26高二·全国·假期作业）已知函数.讨论的单调性.小试牛刀1 （25-26高三上·福建福州·期中）已知函数．小试牛刀2 (1)讨论的单调性； (2)当时，设的极大值是，求的最小值． （2025·湖北武汉·三模）已知函数.小试牛刀3 (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 课后过关真题模拟检测 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 3．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 4．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数 （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足. (注：是自然对数的底数) 5．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 6．（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 7．（2026·河北·模拟预测）已知函数． (1)若的图象在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)讨论的单调区间． 8．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 9．（2025·广东·模拟预测）已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性； (3)若，为自然对数的底数，证明：. 10．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 11．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 12．（2025·新疆·模拟预测）已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 13．（2025·浙江绍兴·三模）已知函数，． (1)若在处的切线方程为，求实数m的值； (2)讨论的单调性. 14．（2025·江苏南京·二模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线； (2)讨论函数的单调性. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【专题02：导数中含参数单调性的讨论】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：一个零点型】 【练方法】 知识梳理 导函数为一次函数或可化为一次函数，仅存在一个零点 核心：一次函数的零点由斜率与截距决定，需讨论与的情况 本质：通过导数零点划分定义域，分析原函数单调性 解题思路 1.求导：得到，整理为一次函数形式 2.分类讨论： 若：，判断符号，确定单调区间 若：令，得唯一零点 3.列表/穿根：分析与时的符号，确定单调性 名师点睛 一次函数零点唯一，无需担心多解情况，重点是斜率为0的特殊情形 若导函数为常数函数（），原函数在定义域内单调，无极值点 书写结论时需明确：单调递增/递减区间，极值点及极值 （25-26高二·全国·假期作业）设函数，．求函数的单调区间．经典例题1例题 【答案】答案见解析 【分析】先求导并提取公因子，再根据参数的不同取值和讨论导数的符号，进而确定函数的单调区间. 【详解】因为，则， 当时，则， 即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间； 当时，由可得，由可得. 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2026高三·全国·专题练习）已知函数，，当时，讨论函数的单调性.经典例题2例题 【答案】答案见解析 【分析】先求导，分、两种情况讨论的正负性即可. 【详解】当时，，定义域为， 得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2026高三·天津·专题练习）已知，小试牛刀1 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数，求切点处切线的方程； （2）利用导数，分类讨论函数的单调性. 【详解】（1）当时，，定义域为 ，则， 又， 则切线的斜率， 所求切线方程为，即． （2）函数的定义域为， ． ①当时， ，在上单调递增． ②当时， 令，即，解得：， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． ③当时， 令，解得， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． （2026高三·全国·专题练习）已知函数．小试牛刀2 (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分、分别讨论即可. 【详解】（1）若，则， 所以．又， 所以， 故曲线在处的切线方程为， 即； （2）的定义域为，． 当时，， 故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2026高三·北京·专题练习）已知函数．讨论的单调区间；小试牛刀3 【答案】答案见解析 【分析】求导，分与讨论即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【题型2：可因式分解型】 【练方法】 知识梳理 导函数为二次函数或高次多项式，可因式分解为的形式 核心：通过因式分解快速找到所有零点，再按零点大小排序，划分区间讨论单调性 常见形式：二次函数分解为 解题思路 1.求导：得到，尝试因式分解 2.求零点：令，解得所有零点 3.排序：将零点按从小到大顺序排列，划分定义域为若干子区间 4.定符号：选取区间内测试点，判断符号，确定单调性 5.得结论：写出单调区间与极值 名师点睛 因式分解是关键，优先尝试十字相乘法、提取公因式、分组分解 若二次函数判别式，导函数恒正/恒负，原函数单调 零点排序后，用“穿针引线法”快速判断各区间导数符号，提升效率 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，，经典例题1例题 (1)若函数与在处的切线垂直，求a的值． (2)讨论函数的单调性并写出单调区间． 【答案】(1)； (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）分别求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直条件列式求解. （2）由（1）中函数的导数，按分类求出导函数值为正为负的解集即可. 【详解】（1）函数，求导得， 函数，求导得，由函数与在处的切线垂直， 得，即，所以. （2）函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （25-26高二上·重庆·期末）已知函数，其中．经典例题2例题 (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先代入求出函数值与导数值，得到切点坐标和切线斜率，再用点斜式写成切线方程； （2）先求导并对导数因式分解，再根据时两个临界点的大小关系分情况讨论，确定函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，， 又由得， 所以切线方程为，即. （2）当时，， 令得或， ①若，即，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减； ②若，即，则当时，恒成立（当且仅当时取等号），单调递增； ③若，即，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上，当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时， 的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增 区间是和，单调递减区间是. （25-26高二·全国·假期作业）已知函数．求的单调区间小试牛刀1 【答案】答案见解析 【分析】求导，然后对、、分别讨论，利用导数判断可得答案. 【详解】函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. （25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论函数的单调性．小试牛刀2 【答案】答案见解析 【分析】，对分，和讨论单调性即可. 【详解】，， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，或时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，或时，；时，， 所以在上单调递增；在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数，且．小试牛刀3 (1)求的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，结合代入求解即可； （2）整理可得，分类讨论二次项系数和两根大小，利用导数分析原函数单调性. 【详解】（1）因为，则， 可得，解得. （2）由（1）可知， （i）当时，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当，即时， 令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； ②当，即时，则，可知在上单调递减； ③当，即时，令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【题型3：不可因式分解型】 【练方法】 知识梳理 导函数无法因式分解（如、等超越函数形式） 核心：通过二次求导分析的单调性与最值，进而判断零点个数 本质：将视为新函数，用导数研究其性质，再反推原函数单调性 解题思路 1.求导：得到，发现无法因式分解 2.二次求导：计算，分析的单调性 3.找最值：根据符号，找到的极值点与最值 4.判零点：结合的极限行为与最值，判断零点个数及位置 5.划区间：根据零点划分定义域，分析单调性 名师点睛 不可因式分解时，二次求导是核心手段，不要强行尝试因式分解 需关注定义域边界与无穷远处的极限，避免遗漏零点或误判符号 若恒正/恒负，原函数单调；若存在零点，则按零点划分区间讨论 （2025高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调区间.经典例题1例题 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的导数，再按分类求解的单调区间. 【详解】函数的定义域为，求导得， 令，由，得，此时，在上单调递增； 当，即时，方程的两根为，， 当时，，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，当时，，当或时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增. （2026高三·全国·专题练习）已知函数，，讨论函数的单调性；经典例题2例题 【答案】答案见解析. 【分析】先求函数定义域，对函数求导，讨论、时导数的符号，进而确定区间单调性. 【详解】函数的定义域为，求导得到， 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，令，即，解得， 当和时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减；在上单调递增； （25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论函数的单调性.小试牛刀1 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的导数，对m进行分类讨论即可得结果. 【详解】已知，函数定义域为R， 可得， 当时，，所以在R上单调递减； 当时，因为是开口向上的二次函数，且， 若，即时，，所以；所以在R上单调递减； 若，即时，此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，因为是开口向下的二次函数，且， 此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为增函数， 在上为减函数； 综上所述，当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，函数在和上为增函数， 在上为减函数. （25-26高二·全国·假期作业）已知函数，求函数的单调区间.小试牛刀2 【答案】答案见解析 【分析】先确定函数定义域，求导后根据分子二次函数的判别式对参数分情况讨论导数符号，进而确定函数的单调区间. 【详解】函数的定义域为， 求导得，方程中，， 当时，，，函数在上单调递增； 当时，，方程的二根为， 当时，由根与系数的关系可知且，故两根均为负数， 因此有，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为. （25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数，其中．小试牛刀3 (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可得答案； （2）利用导数含参讨论函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． （2）已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 【题型4：双零点型】 【练方法】 导函数为二次函数或可化为二次函数，存在两个不同零点 核心：需讨论二次函数的开口方向、判别式、零点与定义域的关系 常见形式：（），时存在两个不同零点 解题思路 1.求导：得到 2.讨论判别式： ：恒正/恒负，原函数单调 ：令，得两个零点（） 3.讨论零点位置：判断是否在定义域内 4.划区间：根据零点与定义域的关系，划分区间分析符号 5.得结论：确定单调区间与极值 名师点睛 双零点问题需三级讨论：判别式→开口方向→零点与定义域的位置关系 若二次项系数含参数，需先讨论的情况（退化为一次函数，即题型1） 书写结论时需分类清晰，避免遗漏“无零点”或“零点不在定义域内”的情况 （25-26高二·全国·假期作业）已知函数．若，讨论的单调性；经典例题1例题 【答案】答案见解析 【分析】求导函数，再因式分解得，得到两根，对两根比较大小分三种情况讨论单调性； 【详解】因为，定义域为， 所以， 当时，令，得，． （ⅰ）若，即， 则当或时，， 当时，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅱ）若，即时， 则当或时，； 当时，； 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅲ）若，即时，，在上单调递增． 综上所述，当时， 的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． （25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论的单调性．经典例题2例题 【答案】答案见解析 【分析】求导得，分两种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性． 【详解】， （1）当时，恒成立，令，解得，令，解得， 在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，令，解得，， ① 当时，，令，解得或， 令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，，令，解得或， 令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增,在上单调递减． （25-26高二·全国·假期作业）已知函数.讨论的单调性.小试牛刀1 【答案】答案见解析 【分析】首先求导得到，再分类讨论，，，情况的单调性即可. 【详解】， ， ， ， ， ， ①当时，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； ②当时，由，得，， （ⅰ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； （ⅱ）当时，，，在单调递增； （ⅲ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； 综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减； ②当时，在，单调递增，在单调递减； ③当时，在单调递增； ④当时，在，单调递增，在单调递减. （25-26高三上·福建福州·期中）已知函数．小试牛刀2 (1)讨论的单调性； (2)当时，设的极大值是，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数分析函数单调性； （2）利用（1）中结论求出的极大值从而求出，对求导，利用导数讨论单调性求最小值． 【详解】（1），定义域为， 求导得， ，令，解得或， 当时，，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，，令，解得或，令，解得， 在上单调递减，在，上单调递增， 当时，，令，解得或，令，解得， 在上单调递减，在，上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增． （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在，上单调递增， 当时，取得极大值，即， 则， ，， 令得，解得，即， 令得，解得或（舍去），即， 在上单调递减，在上单调递增， ， 的最小值为． （2025·湖北武汉·三模）已知函数.小试牛刀3 (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，因式分解得到，分和进行讨论，再细分为，和，求出函数单调区间. 【详解】（1）时，，， ，故， 所以在点处的切线方程为， 即； （2）的定义域为R， ， 若，恒成立，令得，令得， 的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，令得或， 当，即时，令得或， 令得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当，即时，恒成立， 所以的单调递增区间为R，无单调递减区间； 当，即时，令得或， 令得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上：若，的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 课后过关真题模拟检测 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 3．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可； (2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论. 【详解】(1)由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； (2)若选择条件①： 由于，故，则， 而， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 若选择条件②： 由于，故，则， 当时，，， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. 当时，构造函数，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 注意到，故恒成立，从而有：，此时： ， 当时，， 取，则， 即：， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用． 4．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数 （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足. (注：是自然对数的底数) 【答案】(1)见解析 (2)； (3)证明见解析. 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性； (2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围； (3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立. 【详解】(1)， ①若，则，所以在上单调递增； ②若， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上可得，时，的单调递增区间为,无减区间； 时，函数的单调减区间为，单调增区间为. (2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解， 令，则， 记， 记， 又，所以时，时，， 则在单调递减，单调递增，， . 即实数的取值范围是. (3)[方法一]【最优解】： 有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数. 由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为， ， 注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，又由知， ， 要证，只需， 且关于的函数在上单调递增， 所以只需证， 只需证， 只需证， ，只需证在时为正， 由于，故函数单调递增， 又，故在时为正， 从而题中的不等式得证. [方法二]：分析+放缩法 有2个不同零点，不妨设，由得（其中）． 且． 要证，只需证，即证，只需证． 又，所以，即． 所以只需证．而，所以， 又，所以只需证． 所以，原命题得证． [方法三]： 若且，则满足且，由（Ⅱ）知有两个零点且． 又，故进一步有． 由可得且，从而．． 因为， 所以， 故只需证． 又因为在区间内单调递增，故只需证，即，注意时有，故不等式成立． 【整体点评】本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法， 方法一：直接分析零点，将要证明的不等式消元，代换为关于的函数，再利用零点反代法，换为关于的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围. 方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！ 方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为与0比较大小，代入函数放缩得到结论. 5．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和. 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性； (2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得：， 导函数的判别式， 当时，在R上单调递增， 当时，的解为：， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增， 当时，在，上 单调递增，在上单调递减. (2)由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：, 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：, 与联立得， 化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得, ， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和. 【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根. 6．（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】(1)利用导数的几何意义求解； (2)利用导函数研究函数的单调性. 【详解】（1）当时，， ，则， 又，∴曲线在点处的切线方程为． （2），， ，，由，得，由，得． 的单调递增区间为，单调递减区间为． 7．（2026·河北·模拟预测）已知函数． (1)若的图象在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)讨论的单调区间． 【答案】(1)， (2)答案见解析. 【分析】（1）由导数的意义结合点斜式方程可得； （2）求导后分的取值讨论可得. 【详解】（1）由题意可得， 因为的图象在点处的切线方程为， 所以，即， 解得，所以 所以. （2）， 因为， 令可得或， ，当时，可得当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，当时，即时，即由不等式可解得时， 可得当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； ，当时，恒成立，单调在单调递增； ，当时，当时，，单调递减； 时，，单调递增， 综上， 当时，当时，单调递减；时，单调递增； 当时，单调在递增； 当时，当，时，单调递增；当时，单调递减； 当时，当时，单调递减；当时，单调递增. 8．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义得，再结合条件得，即可求解； （2）由，分和两种情况，利用导数与函数的单调性间的关系，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 又曲线在处的切线与直线垂直，则，解得. （2）易知，又， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得到（舍）或， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 9．（2025·广东·模拟预测）已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性； (3)若，为自然对数的底数，证明：. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据零点的定义直接求解可得； （2）利用导数的正负判断函数的单调性； （3）要证的不等式转化为，再构造函数用导数证明可得. 【详解】（1）若，则，得或（舍），所以. 所以的零点为. （2）若，，函数的定义为， 所以，令，得或， 即或. ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）因 ，要证， 只需证，即， 令，， 因此只需证即可. ， 再令，则 因，所以，得，即， 所以在上单调递增，且，. 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即. 所以在有唯一零点，且当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以对，都有成立. 所以，成立. 10．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分和求解即可. 【详解】（1）当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． （2）． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 11．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数分析函数的单调性； （2）根据题意结合（1）中的单调性分析可得，运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且， 若，则，可知函数在内单调递增； 若，令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，函数在内单调递增； 若，函数在内单调递减，在内单调递增. （2）因为函数有两个零点， 若，函数在内单调递增，可知函数至多有一个零点，不合题意； 若，函数在内单调递减，在内单调递增， 且当趋近于0或时，函数趋近于， 可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 12．（2025·新疆·模拟预测）已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）求导，根据垂直关系可得求解. （2）求导，讨论时，，得，当时，，当时， ，即可结合导函数的正负，确定函数的单调性， （3）构造，判断是奇函数，进而得的对称中心为，根据对称性可得，进而根据函数的单调性得解. 【详解】（1）， 因为函数的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，解得． （2）当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增； 当时，令，得，， 当时，，， 所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增； 当时，恒成立，所以在单调递减； 当时，，，所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增； 综上所述，时，在单调递减，在单调递增； 当时，在，单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在，单调递减，在单调递增． （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 令，， 是奇函数，则的对称中心为， 恒成立， ，即，，则． 13．（2025·浙江绍兴·三模）已知函数，． (1)若在处的切线方程为，求实数m的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意和切线方程列方程求解实数的值． （2）首先求出，分类讨论利用导数的符号求出函数的单调性. 【详解】（1）由，． 依题意， ， 解得 . （2）的定义域为，， 当时，恒有 ，故在上单调递减， ②当时，令，得， 由，得；由，得， 故在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 14．（2025·江苏南京·二模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出导数，按，，，分类讨论即得函数的单调性. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. 1 学科网（北京）股份有限公司 $