20.1 勾股定理及其应用 题型专练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版（2024）八年级下册 20.1 勾股定理及其应用 题型专练 【题型1】用勾股定理求边长 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18 cm，BC=24 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则BD的长为 A.15 cm B.16 cm C.18 cm D.20 cm 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BH平分∠ABC，BH＝6，P是边AB上一动点，则H，P之间的最小距离为（　　） A.2    B.3    C.4    D.6 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则BE=　　　　　　　. 【强化训练3】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD为BC边上的中线，若AC=5，AD=，求AB的长度. 【题型2】求坐标系中两点间距离或点的坐标 如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（　　） A.（8，5）    B.（4，5）    C.（4，3）    D.（3，4） 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(6，4)，以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，则点B的横坐标介于 A.5和6之间    B.7和8之间 C.10和11之间    D.8和9之间 如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（　　） A.（2，12）    B.（3，13）    C.（5，12）    D.（5，13） 如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（　　） A.（8，5）    B.（4，5）    C.（4，3）    D.（3，4） 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为(-，0)，点P的纵坐标为-1，则P点的坐标为　　　　　　　　　. 如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3），以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为 　    　． 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为(-，0)，点P的纵坐标为-1，则P点的坐标为　　　　　　　　　. 【题型3】折叠问题 如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（ ） A.2    B.      C.    D.4 如图，是一张纸片，，现将其折叠，点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A.      B.7    C.      D. 如图，在等腰直角中，，，点D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则     ． 如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若，求的长． 如图，在平面直角坐标系中，长方形纸片的边在x轴的正半轴上，点D与点O重合，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B，D两点重合，折痕为． (1)求证：； (2)求的长； (3)求折痕的长． 【题型4】线段间平方关系问题 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，则AC2+AB2+BC2的值为 A.8    B.2    C.4    D.2 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则a+b的值是(　　) A.9    B.8    C.7    D.6 如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　 　． 设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别是a，b及h.求证：. 【题型5】求图形面积 如图，∠AED=90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225，则以DE为直径的半圆的面积为 A.4π B.8π C.16π D.32π 如图，以直角三角形的各边为一边，在直角三角形的外侧作正方形，若正方形A，B的面积分别为9，25，则原直角三角形的面积为(　　) A.4    B.6 C.12    D.16 如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知AC=8，BC=6，其中阴影部分的面积是　　　　. 如图，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则正方形A、B、C、D的面积和是 　    　cm2． 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积. 【题型6】网格问题 学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　） A.    B.    C.    D. 【强化训练1】如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 A.      B. C.      D. 如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　） A.    B.    C.    D. 第27届LG杯世界棋王赛决赛将于2023年2月举行，这也是2023年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（　　） A.    B.    C.    D. 如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（　　） A.线段AB      B.线段BC      C.线段AC      D.线段BD 【题型7】求旗杆的高度 为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　） A.1.0米    B.1.2米    C.1.25米    D.1.5米 如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形ABCD是矩形，若对角线AC⊥EO，垂足是E，AB＝15cm，BC＝8cm，AE＝25cm，则CE＝（　　）cm． A.6    B.7    C.8    D.9 为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.2米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明CD正对门缓慢走到高门1.2米处时（即BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离AD等于（　　） A.0.5米    B.1.2米    C.1.3米    D.1.7米 为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　） A.1.0米    B.1.2米    C.1.25米    D.1.5米 【题型8】求梯子滑落的高度 如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　） A.2.5m    B.3m    C.1.5m    D.3.5m 【强化训练1】如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD的长为0.4米，求梯子顶端A下落了 A.0.4米    B.0.5米    C.0.6米    D.0.7米 如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 　    　米． 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　 　米． 如图，一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米. ①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？ 如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？ 【题型9】求水杯中筷子的高度 如图，钓鱼竿AB的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为2m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB转到AB′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为，则CC′的长为（　　） A.    B.    C.    D. 小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1m，1m，2m，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是（　　） A.2.6m    B.2.4m    C.2.2m    D.2m 如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（　　） A.2cm≤x≤5cm      B.2cm≤x≤3cm      C.4cm≤x≤5cm      D.9cm≤x≤12cm 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A.4≤a≤5      B.3≤a≤4      C.2≤a≤3      D.1≤a≤2 小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1m，1m，2m，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是（　　） A.2.6m    B.2.4m    C.2.2m    D.2m 【题型10】求台阶上毛毡的长度 某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于         ． 【题型11】选址使到两地距离相等 如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于 　    　km． 如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．则E应建在距A　    　km. 为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离． 【题型12】航海问题 如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，则（ ） A.5海里    B.海里      C.海里      D.海里 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东方向，以每小时16海里的速度航行．1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（　　） A.12海里    B.16海里    C.20海里    D.24海里 如图所示，一轮船以3海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以4海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 A.25海里    B.10海里 C.35海里    D.40海里 一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，则两船相距      ． 如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离12海里的处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，求我军巡逻艇的航行速度是多少？ 【题型13】受台风影响问题 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A.秒      B.16秒    C.秒    D.24秒 如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区 A.10    B.7    C.6    D.12 M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时． A.4    B.5    C.6    D.7 如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是      秒． 如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向320千米的B处，以24千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域． (1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； (2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 【题型14】最短路径问题 如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是(　　) A.3      B.3 C.      D.3 如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为 A.2      B.2 C.4      D.2 如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为 　     　． 一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　     　米． 游乐场有一个圆柱形的玩具吸引齐乐天，如图甲所示，从点A开始环绕圆柱有一架梯子，正好到达A点的正上方B点，已知圆柱的底面周长是12米，高AB为5米，则梯子最短是多少米呢？ 齐乐天想到圆柱的侧面展开图是长方形，如图乙所示，ABC是直角三角形，∠C＝90，AC＝12m，BC＝5m．根据两点之间线段最短，所以线段AB的长就是梯子的最短长度．于是齐乐天利用勾股定理求出了AB的长，解决了问题，你也来试试吧． （1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【题型15】其他实际问题 如图，一辆货车车厢底部离地面的高度AB为1.5 m，为了方便卸货，常用一块木板AC搭成一个斜面，已知BC的距离为2 m，则木板AC的长为 A.2 m      B.2.2 m      C.3 m      D.2.5 m 有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（即：水平距离BC＝6m）时，秋千踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD长为（　　）m． A.    B.    C.6    D. 如图是一台手机支架的示意图，AB，CD可分别绕点A，B转动，测得BD=5 cm，AB=12 cm，若AB⊥BD，DE⊥AP，垂足为点E，DE=AE，则点D到AP的距离为　　　cm. 两人从同一地点同时出发，一人以20 m/min的速度向北直行，一人以30 m/min的速度向东直行.10 min后他们相距多远（结果取整数）？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版（2024）八年级下册 20.1 勾股定理及其应用 题型专练（参考答案） 【题型1】用勾股定理求边长 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18 cm，BC=24 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则BD的长为 A.15 cm B.16 cm C.18 cm D.20 cm 【答案】A 【解析】 由勾股定理，得AB==30 (cm)， 根据图形折叠的性质可知AE=AC=18 cm，CD=DE，则BE=AB-AE=12(cm). 设BD=x cm，则CD=DE=BC-BD=(24-x)cm. 根据BD2=BE2+DE2，可得 x2=122+(24-x)2， 解得x=15， 所以BD=15 cm. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BH平分∠ABC，BH＝6，P是边AB上一动点，则H，P之间的最小距离为（　　） A.2    B.3    C.4    D.6 【答案】B 【解析】 解：过点H作HP⊥AB，即HP的长即可为H，P之间的最小距离， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BH平分∠ABC， ∴∠CBH＝＝30°，CH＝PH， ∴CH＝PH＝BH＝3，即H，P之间的最小距离为3． 故选：B． 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则BE=　　　　　　　. 【答案】 2-2 【解析】 ∵以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D， ∴CD=BC=2， ∵以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E， ∴AE=AD=AC-CD=4-2=2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB===2， ∴BE=AB-AE=2-2. 【强化训练3】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD为BC边上的中线，若AC=5，AD=，求AB的长度. 【答案】解　∵∠C=90°，AC=5，AD=， ∴CD===6， ∵AD为BC边上的中线， ∴BD=CD=6， ∴BC=12， ∴AB===13， 即AB的长度为13. 【题型2】求坐标系中两点间距离或点的坐标 如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（　　） A.（8，5）    B.（4，5）    C.（4，3）    D.（3，4） 【答案】C 【解析】 解：如图，过点A作AD⊥OB于点D， ∵OA＝AB＝5，OB＝8， ∴OD＝OB＝4． 在直角△OAD中，由勾股定理得：AD＝＝＝3． 故点A的坐标是（4，3）． 故选：C． 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(6，4)，以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，则点B的横坐标介于 A.5和6之间    B.7和8之间 C.10和11之间    D.8和9之间 【答案】B 【解析】 OB=OA===2，则B点横坐标为2， ∵<<，即7<2<8，∴B点的横坐标介于7和8之间. 如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（　　） A.（2，12）    B.（3，13）    C.（5，12）    D.（5，13） 【答案】A 【解析】 解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵B（﹣3，0），C（7，0）， ∴OB＝3，BC＝10， ∵AC＝AB＝13， ∴BD＝CD＝BC＝5， ∴AD=＝12． ∴OD＝BD﹣OB＝2， ∴A（2，12）． 故选：A． 如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（　　） A.（8，5）    B.（4，5）    C.（4，3）    D.（3，4） 【答案】C 【解析】 解：如图，过点A作AD⊥OB于点D， ∵OA＝AB＝5，OB＝8， ∴OD＝OB＝4． 在直角△OAD中，由勾股定理得：AD＝＝＝3． 故点A的坐标是（4，3）． 故选：C． 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为(-，0)，点P的纵坐标为-1，则P点的坐标为　　　　　　　　　. 【答案】 (-4，-1) 【解析】 过点P作PB⊥OA于点B(图略)， ∵点A的坐标为(-，0)， ∴OP=OA=， ∵点P的纵坐标为-1， ∴PB=1， ∴OB==4， ∴P点的坐标为(-4，-1). 如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3），以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为 　    　． 【答案】 /． 【解析】 解：∵点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3）， ∴AM=， ∵以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N， ∴AN=AM=， ∴则点N的坐标为． 故答案为：． 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为(-，0)，点P的纵坐标为-1，则P点的坐标为　　　　　　　　　. 【答案】 (-4，-1) 【解析】 过点P作PB⊥OA于点B(图略)， ∵点A的坐标为(-，0)， ∴OP=OA=， ∵点P的纵坐标为-1， ∴PB=1， ∴OB==4， ∴P点的坐标为(-4，-1). 【题型3】折叠问题 如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（ ） A.2    B.      C.    D.4 【答案】A 【解析】 ∵，，， ∴， ∵将沿翻折，使点A与点B重合， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 如图，是一张纸片，，现将其折叠，点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A.      B.7    C.      D. 【答案】C 【解析】 解：∵， ∴， 根据翻折可得：， 设，根据图形翻折可得∶，， 在直角三角形中，根据勾股定理可得∶， 解得， ∴； 故选C． 如图，在等腰直角中，，，点D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则     ． 【答案】 【解析】 解：过点D作于点H，则， ∵是翻折而成， ∴， ∵在等腰直角中，，，点D为的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，则, 在中， ∴，解得， 即, 故答案为： 如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若，求的长． 【答案】 （1）证明：由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由（1）可得，是等腰三角形，， ∴， ∴的度数为． （3）解：设，则， 在中，即，解得，， ∴． 如图，在平面直角坐标系中，长方形纸片的边在x轴的正半轴上，点D与点O重合，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B，D两点重合，折痕为． (1)求证：； (2)求的长； (3)求折痕的长． 【答案】 解：（1）∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴； （2）∵点B坐标为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）由（2）得：， ∴， ∴． 【题型4】线段间平方关系问题 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，则AC2+AB2+BC2的值为 A.8    B.2    C.4    D.2 【答案】A 【解析】 在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，∴AB2+AC2=BC2， ∴AC2+AB2+BC2=2BC2=2×4=8. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则a+b的值是(　　) A.9    B.8    C.7    D.6 【答案】A 【解析】 由题意可得1+ab×4=41， 解得ab=20， ∵a2+b2=41，∴(a+b)2-2ab=41， ∴(a+b)2=41+2ab=41+2×20=81， ∴a+b=9或a+b=-9(不符合题意，舍去)， 即a+b=9. 如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　 　． 【答案】 7 【解析】 解：由勾股定理可知OB＝，OC＝，OD＝ ∴OD2＝7． 设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别是a，b及h.求证：. 【答案】 证明：设斜边为c，根据勾股定理即可得出c=， ∵ab=ch， ∴ab=h,即a2b2=a2h2+b2h2， ∴， 化简得． 即. 【题型5】求图形面积 如图，∠AED=90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225，则以DE为直径的半圆的面积为 A.4π B.8π C.16π D.32π 【答案】B 【解析】 ∵∠AED=90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225， ∴DE2=AD2-AE2=289-225=64， ∴DE=8(负值已舍去)， ∴以DE为直径的半圆的面积为 ×π×=8π. 如图，以直角三角形的各边为一边，在直角三角形的外侧作正方形，若正方形A，B的面积分别为9，25，则原直角三角形的面积为(　　) A.4    B.6 C.12    D.16 【答案】B 【解析】 根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为=4， 则这个直角三角形的面积为××4=6. 如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知AC=8，BC=6，其中阴影部分的面积是　　　　. 【答案】 56 【解析】 如图，在Rt△ABC中，AB2=BE2=AC2-BC2=82-62=28， 在Rt△BEH中，BE2=EH2+BH2=28， ∴S阴影=S正方形ABED+S正方形EFGH+S正方形BHMN =AB2+EH2+BH2 =28+28 =56. 如图，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则正方形A、B、C、D的面积和是 　    　cm2． 【答案】 25 【解析】 解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 故正方形A，B，C，D的面积之和＝52＝25（cm2） 故答案为：25． 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积. 【答案】 解：根据勾股定理的几何意义， 可知SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=122+162+92+122=625． 【题型6】网格问题 学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　） A.    B.    C.    D. 【答案】C 【解析】 解：由勾股定理得：AC＝＝5， ∵BD⊥AC， ∴△ABC的面积＝AC×BD＝×4×4， ∴BD＝， 故选：C． 【强化训练1】如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 A.      B. C.      D. 【答案】C 【解析】如图所示，作AE⊥BC于点E， ∵AE=4，EC=3， ∴AC==5， S△ABC=BC·AE=AC·BD， 即×4×4=×5BD， 解得BD=. 如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　） A.    B.    C.    D. 【答案】C 【解析】 解：如图所示： S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC， ∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4 即×4×4＝×5×BD， 解得：BD＝． 故选：C． 第27届LG杯世界棋王赛决赛将于2023年2月举行，这也是2023年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（　　） A.    B.    C.    D. 【答案】D 【解析】 解：黑、白两棋子的距离＝． 故选：D． 如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（　　） A.线段AB      B.线段BC      C.线段AC      D.线段BD 【答案】B 【解析】 解：由图可得， AB＝＝， BC＝＝， AC＝＝， BD＝＝， 由上可得，线段长度为的是线段BC， 故选：B． 【题型7】求旗杆的高度 为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　） A.1.0米    B.1.2米    C.1.25米    D.1.5米 【答案】A 【解析】 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.4米，BE＝CD＝1.8米，ED＝BC＝0.8米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.4﹣1.8＝0.6（米）， 在Rt△ADE中，由勾股定理得到： AD＝＝＝1.0（米）， 故选：A． 如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形ABCD是矩形，若对角线AC⊥EO，垂足是E，AB＝15cm，BC＝8cm，AE＝25cm，则CE＝（　　）cm． A.6    B.7    C.8    D.9 【答案】C 【解析】 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°， 由勾股定理得，AC＝＝＝17（cm）， ∴CE＝AE﹣AC＝25﹣17＝8（cm）， 故选：C． 为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.2米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明CD正对门缓慢走到高门1.2米处时（即BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离AD等于（　　） A.0.5米    B.1.2米    C.1.3米    D.1.7米 【答案】C 【解析】 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.2米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝1.2米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.2﹣1.7＝0.5（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.3（米）， 故选：C． 为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　） A.1.0米    B.1.2米    C.1.25米    D.1.5米 【答案】A 【解析】 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.4米，BE＝CD＝1.8米，ED＝BC＝0.8米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.4﹣1.8＝0.6（米）， 在Rt△ADE中，由勾股定理得到： AD＝＝＝1.0（米）， 故选：A． 【题型8】求梯子滑落的高度 如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　） A.2.5m    B.3m    C.1.5m    D.3.5m 【答案】A 【解析】 解：设BO＝xm， 依题意得：AC＝0.5m，BD＝0.5m，AO＝2m． 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝22+x2， 在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， ∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， 解得：x＝1.5， ∴AB＝＝2.5（m）， 即梯子的长度AB为2.5m， 故选：A． 【强化训练1】如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD的长为0.4米，求梯子顶端A下落了 A.0.4米    B.0.5米    C.0.6米    D.0.7米 【答案】A 【解析】在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=22-1.22=2.56， ∴AC=1.6米， ∵BD=0.4米， ∴CD=1.6米. 在Rt△ECD中，EC2=ED2-CD2=22-1.62=1.44， ∴EC=1.2米， ∴AE=AC-EC=1.6-1.2=0.4(米). 即梯子顶端A下落了0.4米. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 　    　米． 【答案】 2.7 【解析】 解：如图， 根据题意得：AE＝DE， 在Rt△ABE中，AB＝1.5米，BE＝2米， ∴AE=（米）， 在Rt△CDE中，DE＝2.5米，CD＝2.4米， ∴CE=（米）， ∴BC＝BE+CE＝2+0.7＝2.7（米）， ∴小巷的宽度为2.7米， 故答案为：2.7． 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　 　米． 【答案】 9 【解析】 解：在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB＝＝＝15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD＝＝6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 如图，一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米. ①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？ 【答案】 解　①在Rt△AOB中， OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，则OB=1米. 所以梯子的底端B距墙角O1米. ②在Rt△COD中， OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15， 则OD≈1.77米.BD=OD-OB≈0.77(米). 所以梯子的顶端A沿墙下滑0.5米时，梯子的底端B并不是也外移0.5米，而是外移约0.77米. 如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？ 【答案】 解：由题意可知，梯子底端B移到点D处，此时BD=OD-OB. AB=2.6 m，AO=2.4 m，AC=0.5 m，AO⊥BO， 根据勾股定理可得OB===1（m）． 在Rt△COD中，OC=OA-AC=2.4-0.5=1.9(m)． OD====（m）． 所以BD=OD-OB=(m)． ∴如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B外移，而外移的距离不是0.5 m. 【题型9】求水杯中筷子的高度 如图，钓鱼竿AB的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为2m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB转到AB′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为，则CC′的长为（　　） A.    B.    C.    D. 【答案】A 【解析】 解：由题意可得：AB′＝AB＝6m，BC＝2m， 则AC＝＝＝4（m）， AC′＝＝＝3（m）， 故CC′的长为：AC﹣AC′＝4﹣3＝（m）． 故选：A． 小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1m，1m，2m，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是（　　） A.2.6m    B.2.4m    C.2.2m    D.2m 【答案】B 【解析】 解：如图： 根据勾股定理：AB2＝12+12＝2， AC2＝AB2+BC2＝2+4＝6， 故AC＝≈2.4， 故选：B． 如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（　　） A.2cm≤x≤5cm      B.2cm≤x≤3cm      C.4cm≤x≤5cm      D.9cm≤x≤12cm 【答案】B 【解析】 解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为15﹣12＝3（cm）， 由勾股定理得，长方体的对角线长为， 当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为15﹣13＝2（cm）， ∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是2cm≤x≤3cm， 故选：B． 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A.4≤a≤5      B.3≤a≤4      C.2≤a≤3      D.1≤a≤2 【答案】B 【解析】 解：设b是圆柱形的高， 当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短， 此时b就是圆柱形的高， 即b＝12； ∴a＝16﹣12＝4， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长， b＝＝13， ∴此时a＝3， 所以3≤a≤4． 故选：B． 小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1m，1m，2m，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是（　　） A.2.6m    B.2.4m    C.2.2m    D.2m 【答案】B 【解析】 解：如图： 根据勾股定理：AB2＝12+12＝2， AC2＝AB2+BC2＝2+4＝6， 故AC＝≈2.4， 故选：B． 【题型10】求台阶上毛毡的长度 某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 【答案】 680 【解析】 解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m）， 则地毯总长为12+5＝17（m）， 则地毯的总面积为17×2＝34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）． 故答案为：680． 某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 【答案】 680 【解析】 解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m）， 则地毯总长为12+5＝17（m）， 则地毯的总面积为17×2＝34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）． 故答案为：680． 如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于         ． 【答案】 【解析】 解：如图，由题意得：，， 所以． 故答案为：13． 【题型11】选址使到两地距离相等 如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于 　    　km． 【答案】 【解析】 解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km， ∴∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝2（km）， ∴BC＝＝＝（km）． 故学校与工厂BC之间的距离是km． 故答案为：． 如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．则E应建在距A　    　km. 【答案】 15 【解析】 解：设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，根据题意可得： ∵DE＝CE， ∴AD2+AE2＝BE2+BC2， 故102+x2＝（25﹣x）2+152， 解得；x＝15． 故答案为：15． 为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 【答案】 解：（1）如图所示，点E即为所求． （2）设， ∵， 又∵ ∴ 解得 ∴气站E距离A处． 小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离． 【答案】 解：由题意得：公里，公里，，， （公里）， 设公里，则公里， 在中，，即， 解得（公里）， 答：小渝家到见面地点的距离为公里． 【题型12】航海问题 如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，则（ ） A.5海里    B.海里      C.海里      D.海里 【答案】C 【解析】 解：如图所示，过点B作交于D，则， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴海里， ∴海里， 故选；C． 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东方向，以每小时16海里的速度航行．1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（　　） A.12海里    B.16海里    C.20海里    D.24海里 【答案】C 【解析】 解：由题意得，，， ∴． ∵海里，海里， ∴海里． 故选C． 如图所示，一轮船以3海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以4海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 A.25海里    B.10海里 C.35海里    D.40海里 【答案】B 【解析】 如图，设一轮船向东北方向航行到B，另一轮船向东南方向航行到C， 由题意得，AB=3×2=6(海里)，AC=4×2=8(海里)，∠BAC=90°， ∴BC==10(海里)， ∴离开港口2小时后，则两船相距10海里. 一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，则两船相距      ． 【答案】 【解析】 如图所示： 由题意可得：（海里），（海里）， ∴， 即是直角三角形， ∴（海里）． 故答案为：． 如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离12海里的处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，求我军巡逻艇的航行速度是多少？ 【答案】 解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， ∴海里， 在中，海里，海里， ∴海里， ∴我军巡逻艇的航行速度是海里/小时， 答：我军巡逻艇的航行速度是海里/小时． 【题型13】受台风影响问题 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A.秒      B.16秒    C.秒    D.24秒 【答案】B 【解析】 解：如图， 以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴ AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵ AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故答案选B. 如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区 A.10    B.7    C.6    D.12 【答案】B 【解析】 解：由题意，作图如下： 设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE=40x千米，BB′=20x千米， ∵BC=500km，AB=300km， ∴AC=400km， ∴AE=400-40x，AB′=300-20x， ∴AE2+AB′2=EB′2， 即（400-40x）2+（300-20x）2=2002， 解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）． 故答案为：B． M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时． A.4    B.5    C.6    D.7 【答案】A 【解析】 解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km 在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°， ∴ME=PM=120km， ∴EF=EH==90（km）， ∴FH=180km， ∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）． 故选：A 如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是      秒． 【答案】 18 【解析】 解： 如图，过点A作AC⊥ON于N， ∵∠MON＝30°，OA＝80米， ∴AC＝40米， 当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB＝50米， 由勾股定理得：（米）， 第一台拖拉机到D点时噪音消失， 所以CD＝30米， 由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响． 所以影响时间应是：90÷5＝18（秒）． 答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒． 故答案为：18． 如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向320千米的B处，以24千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域． (1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； (2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 【答案】 解：（1）A市会受到台风影响，理由如下： 如图，过A作AC⊥BF于C， 根据题意得：∠ABC=90°-60°=30°，AB=320km， ∴AC＝AB＝160km＜200km， ∴A市会受到台风影响； （2）过A作AD＝AE＝200km，交BF于点D，E，则DC＝CE， ∴km， ∵DC＝CE，A市气象站测得台风中心在A市正东方向320km的B处，以24千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动， ∴该市受台风影响的时间为：＝10（小时）． 【题型14】最短路径问题 如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是(　　) A.3      B.3 C.      D.3 【答案】C 【解析】 把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，C的最短距离为线段AC的长， 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=π， 所以AC==. 如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为 A.2      B.2 C.4      D.2 【答案】A 【解析】 如图，圆柱的侧面展开得到一个矩形， 矩形的长为×π×4=2π，宽为4， 因为S是BC的中点，所以SB=2，所以利用勾股定理可得最短距离为=2. 如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为 　     　． 【答案】 26cm 【解析】 解：如图所示，将长方体的侧面展开， AC＝2（5+7）＝24（cm），BC＝＝10（cm）， 由勾股定理可得，AB＝＝＝26（cm）， ∴所用细线最短为26cm， 故答案为：26cm． 一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　     　米． 【答案】 13 【解析】 解：如图所示： ∵AC＝12m，BC＝5m， ∴AB＝（m） 答：梯子最短需要13m． 故答案为：13． 游乐场有一个圆柱形的玩具吸引齐乐天，如图甲所示，从点A开始环绕圆柱有一架梯子，正好到达A点的正上方B点，已知圆柱的底面周长是12米，高AB为5米，则梯子最短是多少米呢？ 齐乐天想到圆柱的侧面展开图是长方形，如图乙所示，ABC是直角三角形，∠C＝90，AC＝12m，BC＝5m．根据两点之间线段最短，所以线段AB的长就是梯子的最短长度．于是齐乐天利用勾股定理求出了AB的长，解决了问题，你也来试试吧． 【答案】 解：如图所示， ∵∠C＝90，AC＝12m，BC＝5m， ∴AB＝＝＝13（cm）． 答：梯子最短是13米． （1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】 解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是： （cm）． （2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm， 所以最短路程为cm； （3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B＝＝13（cm）． 【题型15】其他实际问题 如图，一辆货车车厢底部离地面的高度AB为1.5 m，为了方便卸货，常用一块木板AC搭成一个斜面，已知BC的距离为2 m，则木板AC的长为 A.2 m      B.2.2 m      C.3 m      D.2.5 m 【答案】D 【解析】 在Rt△ABC中根据勾股定理得AC===2.5(m). 有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（即：水平距离BC＝6m）时，秋千踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD长为（　　）m． A.    B.    C.6    D. 【答案】B 【解析】 解：∵CE＝BF＝4m，DE＝1m， ∴CD＝CE﹣DE＝4﹣1＝3m， 在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，BC＝6m， 设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣3）m， 故x2＝62+（x﹣3）2， 解得：x=， 即绳索AD的长度是． 故选：B． 如图是一台手机支架的示意图，AB，CD可分别绕点A，B转动，测得BD=5 cm，AB=12 cm，若AB⊥BD，DE⊥AP，垂足为点E，DE=AE，则点D到AP的距离为　　　cm. 【答案】 【解析】 连接AD，如图， ∵AB⊥BD， ∴∠ABD=90°. ∴AD===13(cm)， ∵DE⊥AP， ∴∠AED=90°. ∴DE2+AE2=AD2. ∵AE=DE， ∴2DE2=AD2. ∴DE===(cm). ∴点D到AP的距离为 cm. 两人从同一地点同时出发，一人以20 m/min的速度向北直行，一人以30 m/min的速度向东直行.10 min后他们相距多远（结果取整数）？ 【答案】 解：设10 min后，OA=20×10=200（m），OB=30×10=300（m）， 两人相距AB=61（m）， ∴10 min后，两人相距361 m. 学科网（北京）股份有限公司 $