8.3 实数及其简单运算（分层题型专练，7夯基题型+6进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章 实数 8.3 实数及其简单运算 （分层题型专练） 题型一 无理数的判断 1．下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是整数，属于有理数； B、开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； C、是有限小数，属于有理数； D、，是整数，属于有理数． 2．下列各数中，是无理数的为（   ） A． B． C．3.3 D． 【答案】B 【分析】根据无理数和有理数的定义判断选项即可，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称． 【详解】解：A选项是整数，属于有理数； B选项是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； C选项3.3是有限小数，可化为分数，属于有理数； D选项是分数，属于有理数． 所以无理数的是B． 3．在实数，3.13113113，中，无理数有_____ 个． 【答案】2 【详解】解：在实数，3.13113113，中，无理数有，，共2个． 4．在（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有___________个． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：在（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有（每两个1之间0的个数逐次增加1），共2个， 故答案为：2． 题型二 实数的分类 1．是（    ） A．分数 B．有理数 C．无理数 D．有限小数 【答案】C 【分析】本题考查了无理数和有理数，掌握有理数和无理数的概念是解题的关键．根据无理数和有理数的定义分析，判断 为无理数． 【详解】解：∵ 是无理数，且 4 是有理数，无理数除以非零有理数的结果仍为无理数， ∴ 是无理数． 故选：C． 2．在数，，0，中有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数和无理数的定义逐个判断，即可求解． 【详解】解：根据有理数和无理数的定义，可知和为无理数，0和为有理数， 有理数有2个． 3．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，有理数包含整数和分数，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵无理数的定义为无限不循环小数，有理数包括整数与分数； A、是无限不循环小数，属于无理数； B、是整数，属于有理数； C、是分数，属于有理数； D、是整数，属于有理数． 故选：A． 4．下列各数中，不是无理数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数是无限不循环小数这一核心概念． 逐一分析各选项，判断其是否为无限不循环小数；、、均为无限不循环小数，是无理数；是有限小数，属于有理数，不是无理数． 【详解】解：A、是无限不循环小数，是无理数，此选项不符合题意； B、是无限不循环小数，故也是无限不循环小数，是无理数，此选项不符合题意； C、，是有限小数，属于有理数，不是无理数，此选项符合题意； D、是无限不循环小数，是无理数，此选项不符合题意． 故选：． 5．下列各数中：1.2， ， 0， ，1.010010001，，，0.35，，正分数的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的分类，正分数是指大于0的分数，包括有限小数、无限循环小数和百分数等，但排除整数、无理数和负数，据此解答即可． 【详解】解：1.2（有限小数）、1.010010001（有限小数）、、0.35（有限小数）是正分数； 是无理数，不是分数；0是整数；是负数；是负数；是整数，不是分数， ∴正分数有4个． 故选：B． 6．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数和有理数的分类，关键是掌握各个知识点． 根据实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，即可解答． 【详解】解：按定义分：实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，故A符合题意． 故选：A． 7．在下列数，，，0， ，中，非负数有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查非负数的判断，掌握好非负数的概念是关键． 非负数包括正数和零，逐个判断即可． 【详解】解：非负数包括正数和零， 根据非负数的定义，题干的数中属于非负数的是：，，0，，一共有4个． 故选：C． 8．已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】 ①③ ⑤⑥ ②④ 【分析】该题考查了实数的分类，整数包括正整数、负整数和零；分数是有理数中不是整数的部分，包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数；据此求解即可． 【详解】解：①0是整数；②是无理数，因为是无理数，除以3后仍为无理数；③是整数；④是无理数，因为是无理数，除以2后仍为无理数；⑤是无限循环小数，属于分数；⑥是分数． 故整数有①③，分数有⑤⑥，无理数有②④． 故答案为：①③；⑤⑥；②④． 9．下列各数①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦（每两个5之间依次增加1个2）其中是非负整数的有______，正分数是______（填序号） 【答案】 ② ④⑥ 【分析】本题考查了有理数的分类，解题关键是熟练掌握实数的分类、分数的定义，从而完成求解． 根据有理数的分类、分数的定义进行分析，即可得到答案． 【详解】解：，， ∴非负整数为：②； 正分数为：④⑥. 故答案为：②； ④⑥． 10．已知下面六个数：，100，，，，．若其中无理数有x个，整数有y个，负数有z个，则___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了实数的分类，求代数式的值．根据实数的分类，可得x，y，z的值，再代入计算，即可求解． 【详解】解：在，100，，，，中， 无理数有，整数有100，负数有，， ，，． ∴． 故答案为：4 题型三 实数的相关性质 1．实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是与其相加等于零的数，判断即可． 【详解】解：实数的相反数是其符号取反后的结果，原数为，其相反数为， 选项中只有A项为，B项为原数本身，C、D项涉及倒数，与相反数无关， 故选：A． 2．的相反数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数， 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 3．实数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的运算，实数的性质，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴实数的倒数是， 故选：D． 4．下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【答案】D 【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意； B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意； C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可． 5．的绝对值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，实数的性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 6．下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的定义性质，根据实数的定义和性质，判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A、0没有倒数，故A错误； B、实数由有理数和无理数组成，故B正确； C、负数没有平方根，故C错误； D、0既不是正实数也不是负实数，故D错误， 故选：B． 7．（1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：（1）的倒数是 ； 故答案为：； （2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于， ∴； 故答案为：； （3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为； 故答案为：，，． 8．_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，实数的性质．根据负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：， 故答案为：． 9．若没有平方根，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方根的意义，实数的性质，根据负数没有平方根得出，即可求出m的取值范围，再判断的取值范围，最后根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵没有平方根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 实数与数轴 1．如图，数轴上点N表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得点N表示的数大于3且小于4，再根据无理数的估算方法求出四个选项中的数的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，点N表示的数大于3且小于4， ∵， ∴， ∴点N表示的数可能是． 2．数轴上表示1，的点分别为A，B，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数，即可解答． 【详解】解：∵数轴上表示1，的点分别为A，B， ∴线段的长为． 3．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 【详解】解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 4．如图，数轴上点表示的数可能是__________．（写出一个满足条件的无理数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握如何估算无理数．观察数轴可知：点表示的数是大于且小于，然后写出一个满足这个范围的无理数即可． 【详解】解：观察数轴可知：点表示的数是大于且小于， 满足这个条件的无理数为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 5．点，，，在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是__． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算及数轴上点的坐标特征，关键是通过不等式确定目标实数的取值范围，再对应到数轴上的点．首先估算的取值范围，进而推导的范围，最后匹配数轴上的点． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，即， ∴， 观察数轴可知，点在负数区域，点、在大于1的区域，只有点在0到之间的正数区域，故表示的点是； 故答案为：． 6．将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点B处，以点B为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点 （1）点C在刻度尺上对应的数为______； （2）若点A与点C所表示的数是一对相反数，则点B在数轴上所对应的数为______． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握实数的性质和数轴知识 （1）利用数轴知识解答； （2）利用数轴知识和实数的性质解答． 【详解】解：（1）根据题意得点C在刻度尺上对应的数为 ； 故答案为：； （2）， 点A与点C所表示的数分别是，， ， 点B在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 题型五 比较实数的大小 1．下列实数中最小的是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用实数比较大小的规则：负数小于0，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可求解 【详解】解：∵ 正数大于0，0大于所有负数， ∴ 最小的数在负数，，中， ∵，，， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ 四个实数中最小的是 2．在四个数中，最大的数是（   ） A．-3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先区分正数与负数，负数小于正数，再比较两个正数的大小即可确定最大数． 【详解】解：∵， ∴， ∵正数大于负数， ∴中，最大的数为； 故选：C． 3．实数与的大小关系是（    ） A． B． C．一样大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查平方根与立方根的计算及实数的大小比较，关键是先计算出两个实数的值，再进行大小比较． 【详解】解：， ∴，即， ∵， ． 故选：A． 4．比较实数的大小：________． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，通过比较π与3的大小关系，利用绝对值大的反而小可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 5．比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 通过比较平方即可比较两数的大小． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 6．比较大小：_____2（填“”、“”或“”号）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握作差法是解题的关键．利用作差法求得两数之差，再根据无理数的估算，判断两数之差比0小还是比0大，即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 7．比较大小：_____2．（填＞、＝或＜） 【答案】< 【分析】本题考查实数的大小比较，核心思路是利用平方的方法比较两个正数的大小．可以将整数转化为与左边分数同分母的形式，再比较分子的大小；也可通过平方法，利用“正数的平方大则原数大”的规律判断． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴； 故答案为：． 题型六 无理数的估算 1．估计的值介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过比较平方数的大小关系，确定的整数范围． 【详解】解∵， 即， ∴． 故选：A． 2．估计在哪两个相邻整数之间（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是找出与15相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的单调性确定范围． 找出小于15和大于15的最接近的完全平方数，分别求出它们的算术平方根，即可确定所在的相邻整数区间． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， 故选：C． 3．计算的结果，下列说法正确的是（  ） A．值介于4和5之间 B．值介于5和6之间 C．值介于6和7之间 D．值介于7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查立方根的估算，关键是找到与被开方数相邻的两个完全立方数，利用立方根的单调性确定其取值范围． 【详解】解：∵，，， ∴， 即， 故选：B． 4．已知整数m满足，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，只需确定介于哪两个连续整数之间，即可求出整数m的值． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴， ∵，m为整数， ∴， 故选：C． 5．满足的整数的值可以是_____．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】先估算出无理数的大致取值范围，再找出落在给定范围内的整数，任选一个作答即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． ∵，且为整数， ∴满足条件的整数为，，，，． 题型七 实数的混合运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 2．下列选项正确的是（   ） A．的平方根是 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 【答案】D 【分析】本题需根据平方根、算术平方根、立方根的定义，以及实数的除法运算，解题关键在于需熟练掌握相关定义．根据知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、，4的平方根是，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，即有理数除以无理数的商不一定是无理数，原说法错误，不符合题意； D、，原说法正确，符合题意． 故选：D． 3．计算的结果是____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根，先计算算术平方根和立方根，再根据有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴原式． 故答案为：． 4．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算乘方和算术平方根，再进行有理数减法运算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．计算：________． 【答案】 【分析】先判断绝对值内的符号，再展开计算即可． 本题主要考查了实数的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 故答案为：． 6．计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的运算，掌握先分别计算平方根、立方根、绝对值，再进行加减运算是解题的关键． 先计算平方根、立方根和绝对值，再进行实数加减运算． 【详解】解：，，， 所以原式 ． 故答案为：． 7．计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 题型一 实数在程序设计中的应用 1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，程序设计与实数运算，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 依据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：取的算术平方根，结果为． 是有理数， ∴再取算术平方根，结果为，是无理数， 故． 故选：B． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键． 根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，3的平方根是，是无理数，输出为y， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：B． 3．按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，先计算的结果，若结果大于或等于2，则把结果取算术平方根输出，若结果小于2，则把所得的结果作为新数输入，再计算判断即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 4．根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，读懂题意是解题的关键．根据流程图逐步求解即可． 【详解】解：∵当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵是无理数，退出循环， ∴输出． 故答案为：． 5．按如图所示的流程操作，当输入时，输出的值是______；当输出的值等于4时，输入的负数是______． 【答案】 8 【分析】本题考查了流程图与实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先判断正负，再根据流程图计算即可． 【详解】解：当输入时，， ， ； 当输出的值等于4时，， 输入的负数是， 故答案为：8，． 题型二 实数中与整数部分有关的运算 1．是的小数部分，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先确定的整数部分，再根据小数部分的定义求解． 【详解】解：∵，，， ∴的整数部分为3， ∴， ∴． 故选：B． 2．已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 【答案】B 【分析】本题考查的是估算无理数的大小．先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，m，n是连续的两个整数， ∴， ∴． 故选：B． 3．已知a是的立方根，b是的整数部分，则的平方根为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根与算术平方根、无理数的估算，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．先根据立方根的性质求出的值，再根据无理数的估算可得的值，然后根据平方根的性质求解即可得． 【详解】解：∵a是的立方根， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴， 则的平方根是． 故选：C． 4．如果的整数部分为，则的值为_____． 【答案】3 【分析】本题考查无理数的估算，注意找出最接近的整数范围是解决本题的关键． 由得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴的整数部分． 故答案为：3． 5．若，且a、b是两个连续的整数，则的值为_______． 【答案】256 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求代数式的值；估算 的范围，确定b的值，再代入求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．若，其中x是整数，且，求________． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 先估算出，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为12，     ∵x是整数，且， ∴， ∴． 故答案为： 题型三 新定义下的实数运算 1．对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是(    ) A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是 D．立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，平方根、算术平方根、立方根的定义．先根据新定义运算求出的值，再结合平方根、算术平方根、立方根的定义判断选项 【详解】解：∵ ∴ ∵实数范围内，负数没有平方根与算术平方根，故A、B选项错误 又∵ ∴的立方根是，故C选项错误，D选项正确 故选：D． 2．规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数，例如：，，，，．则的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查取整函数，熟练掌握无理数大小比较的方法，弄清定义是解题的关键． 由，再根据定义进行运算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 3．定义一种新的加法运算法则：，其中a，b，c，d均为实数．若，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查实数的运算，理解题中所定义的新运算，并能建立关于和的方程是解题的关键． 根据新运算的定义，将已知条件转化为方程求解. 【详解】解：∵ , ∴ , , ∴ , . 故选：B． 4．规定一种新运算：，那么________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算和新定义，利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 5．定义运算“”，使得（，），如，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，读懂新定义并正确运用是解题的关键． 根据定义运算，将，代入公式计算． 【详解】解：由定义，得． 故填：． 6．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】D 【分析】此题考查了实数的混合运算，新定义的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义的运算法则和实数的混合运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 7．定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则____________． 【答案】83 【分析】此题考查了实数的新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先根据所给的定义，求出的值为，再求出的值即可． 【详解】解：∵ ． ∴ 故答案为：83． 8．定义新运算“⊕”：若，例如，，， 则 ___． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，有理数四则混合运算，解题关键是理解新定义运算． 先比较与的大小，与的大小，与1的大小，根据新定义，将转化为，再计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 题型四 实数运算中的规律问题 1．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 2．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，在计算1、 ，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是，表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 表示的数是，表示的数是5，， 可知以，两个数一环出现， ∵， ∴， 故选：A． 3．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理解范例给出的方法，再使用相同的方法进行计算． 【详解】解：设，则， 所以，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解数列的求和方法是解题的关键． 4．某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数；③：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（   ） A．0.01 B．0.1 C． D．100 【答案】A 【分析】本题主要结合计算器的使用考查规律，根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论．找到规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得各步显示的数如下： 第一步：，第二步：，第三步：； 第四步： ，第五步：，第六步：； 第七步：，第八步：，第九步：； …… 所以显示的数是六步一个循环， ∵， ∴按了第2020下后荧幕显示的数与第四步相同，所以显示的数是0.01． 故选：A． 5．我们知道，付老师又用计算器求得：、，，则计算：（2024个3，2024个4）______． 【答案】（2024个5） 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得规律（n个3，n个4）的值为（n个5），据此规律求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，（n个3，n个4）的值为（n个5）， ∴（2024个3，2024个4）的值为（2024个5）， 故答案为：（2024个5）． 6．小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则_______． 【答案】73 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：73． 7．将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是______． 【答案】19 【分析】本题考查实数数字类规律，从题中实数的排列方式中找到规律是解决问题的关键．根据题中所给的实数排列方式，找到规律求解即可得到答案． 【详解】解：将实数按如图方式进行有规律排列，观察发现，具有如下规律： ①第行有个数； ②每行最后一个数字的绝对值等于行数； ③奇数行的最后一个为正； ④偶数行的最后一个为负； ∴第19行有个数， ∴根据如上规律可知，第19行的第37个数是19． 故答案为：． 题型五 实数运算与实际应用 1．一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【答案】C 【分析】根据实数的乘法解决此题． 【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克． 该饮料中蛋白质的含量不少于克． 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键． 2．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 3．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 【答案】D 【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可． 【详解】依题意，还在自出生后的天数是： 2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算． 4．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 5．五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为________元． 【答案】25.2 【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可． 【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶 合计费用为：元 第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶 合计费用为：元 故选择第二种更划算，最低费用为25.2元 故答案为：25.2． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键． 6．我们常用的数是十进制，十进制数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9如十进制3245＝3×103+2×102+4×101+5×100在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1．如二进制110＝1×22+1×21+0×20，相当于十进制数中的6；二进制110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20，相当于十进制数中的53．（注意：非零有理数的零次幂都为1即a0＝1（a≠0）） （1）二进制中的1011等于十进制中的数是_____； （2）十进制中的100等于二进制中的数是_____． 【答案】 11 1100100 【分析】（1）根据题中所给例子直接可求 （2）用100除以2，得到结果再除以2，一直运算到最后，取每次的余数即可． 【详解】解：（1）1011＝1×23+0×22+1×21+1×20＝11， 故答案为11； （2） ∴十进制中的100等于二进制中的数是1100100， 故答案为1100100． 【点睛】本题为材料理解题，理解十进制和二进制的相互转化的法则是解题的关键． 7．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 8．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 9．设三角形的三边分别为，，，则有下列三角形面积公式成立： ①，其中（海伦公式） ②（秦九韶公式）． 已知一个三角形的三边，，分别为，，，选用一个公式求这个三角形的面积． 【答案】． 【分析】把，，分别代入公式②，计算算术平方根即可． 【详解】解：将，，代入公式②，得， = ． 10．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 题型六 根据数轴判断式子的正负性或化简 1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是根据对应点的位置得出，然后依次判断每个选项即可． 【详解】解：根据实数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知：， A．，选项错误，不符合题意； B．，选项错误，不符合题意； C．，选项错误，不符合题意； D．，选项正确，符合题意； 故选：D． 2．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，判断式子正负，实数的运算，由数轴得到，，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由数轴得：，， ∴， ∴，故选项不符合题意； B、由数轴得：，， ∴，， ∴，故选项不符合题意； C、由数轴得：， ∴，， ∴，故选项不符合题意； D、由数轴得：， ∴，， ∴，故选项符合题意； 故选：D． 3．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值以及实数及其运算．观察数轴得到实数，，的取值范围，根据实数的运算法则进行判断即可 【详解】解：∵，∴，故A选项不符合题意； ∵，∴，故B选项符合题意； ∵，，∴，故C选项不符合题意； ∵，∴，故D选项不符合题意． 故选：B 4．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，求一个数的算术平方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故选B． 5．实数在数轴上的位置如图所示， 则化简的结果为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数与数轴，正确得出各式的符号是解题关键． 直接利用数轴上的位置进而得出，，再利用绝对值的性质以及算术平方根的性质化简得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，， 则 ． 故答案为：． 6．已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简： ________． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，化简绝对值，整式的加减，利用绝对值的性质化简绝对值是解题的关键．根据点的位置，可得,，根据绝对值的性质化简绝对值，然后可得答案． 【详解】解：根据数轴可得，,， ∴ ∴ 故答案为：． 7．已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根和立方根，整式的加减运算，数轴的知识，解题的关键是得到，，． 利用数轴得到，，，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义化简，然后计算即可． 【详解】由图可知，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 1．我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（    ） A．4 B．2 C．0 D．-2 【答案】D 【分析】根据推出、的关系，再结合集合性质求解、的值，最后求的值即可． 【详解】解：∵集合，由集合互异性得，， ∴，， 又∵，集合，且， ∴ ∴，即 ∵，此时，， 由集合互异性得，故，， 又∵与元素对应相等，得， ∴， ∵，两边同除以得， ∴， ∴，即D选项符合题意． 【点睛】理解集合中元素的互异性、无序性是解题的关键． 2．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对2026逐步进行操作： ∵ ， ∴ ，可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果； ∵，可得第四次操作结果； 因此对2026只需进行4次操作后变为2． 3．对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当时，______； （2）当时，______． 【答案】 2 / 【分析】（1）根据给定的变换规则，先计算再计算即可； （2）先计算前几次变换的结果，归纳得到循环周期，再根据总项数和周期计算总和． 【详解】（1）当时，， ； （2）当时， ， ， ， 因此结果每3个数为一个循环周期， 一个周期内的和为， ， ． 4．定义新的运算：对于任意的有理数a，b，都有，，如，时，，．下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则的最小值为7． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算的理解和计算、代数式求值、解方程、绝对值最值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据新定义运算法则、代数式求值、解方程、绝对值最值逐项判断即可． 【详解】解：①当时，， ， ∴成立，符合题意； ②化简方程：左边， 右边，则， 解得：，成立，符合题意； ③当时，，， 则可化为，表示数为 b的 点到表示数和3的点的距离之和，最小值为7，且当时取等号，符合题意； 综上三个说法都正确． 故选D． 5．观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 【答案】（为正整数） 【分析】本题考查了数字类规律探究根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解．通过观察给定等式，发现每个等式均符合相同规律，即根式部分的结构和简化形式具有一致性，从而归纳出用正整数表示的一般等式． 【详解】解：根据等式的规律可得：（为正整数） 故答案为：（为正整数）． 6．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根、求代数式的值、数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点的间的距离公式计算即可得出结果； （2）由（1）可得，将其代入所求式子计算即可得出结果； （3）根据非负数的性质求出，，再求出的值，再根据算术平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根为． 7．如图，已知点，将点绕点顺时针旋转得到点．此时我们就称点是点关于点的旋转点，记作．如，． (1)__________；，__________； (2)如果，那么__________； (3)点表示的数是，点表示的数为，如果（点在点右侧），，那么__________． 【答案】(1)；2 (2) (3)2或4 【分析】本题考查了旋转点的定义，数轴中点公式的应用，线段和与差的计算，以及一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解旋转点的本质是点 M 是线段的中点． （1）根据旋转点的定义求解即可； （2）根据旋转点的定义，可转化为点 M 是线段的中点，再由中点公式求解即可； （3）先根据表示出点D表示的数，再根据，再表示出点B表示的数，根据列式求解即可． 【详解】（1）解：点2绕点顺时针旋转得到点． ∴； 点绕点顺时针旋转得到点2． ∴； 故答案为：；2； （2）解：∵， 记作点A表示的数为，点M表示的数为x，点B表示的数为， 由中点公式可得，， 解得； 故答案为：； （3）解：∵点表示的数是，点表示的数为， 又∵， ∴点表示的数是， ∵，点在点右侧， ∴点表示的数是， ∵， ∴，化简可得， 当时，解得； 当时，解得； 综上，或． 故答案为：2或4． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 实数 8.3 实数及其简单运算 （分层题型专练） 题型一 无理数的判断 1．下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各数中，是无理数的为（   ） A． B． C．3.3 D． 3．在实数，3.13113113，中，无理数有_____ 个． 4．在（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有___________个． 题型二 实数的分类 1．是（    ） A．分数 B．有理数 C．无理数 D．有限小数 2．在数，，0，中有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各数中，不是无理数的是（  ） A． B． C． D． 5．下列各数中：1.2， ， 0， ，1.010010001，，，0.35，，正分数的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 7．在下列数，，，0， ，中，非负数有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 9．下列各数①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦（每两个5之间依次增加1个2）其中是非负整数的有______，正分数是______（填序号） 10．已知下面六个数：，100，，，，．若其中无理数有x个，整数有y个，负数有z个，则___________． 题型三 实数的相关性质 1．实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．的相反数是（    ） A． B． C． D．3 3．实数的倒数是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 5．的绝对值是（   ） A． B．2 C． D． 6．下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 7．（1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 8．_____． 9．若没有平方根，则_____． 题型四 实数与数轴 1．如图，数轴上点N表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 2．数轴上表示1，的点分别为A，B，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 3．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上点表示的数可能是__________．（写出一个满足条件的无理数即可）． 5．点，，，在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是__． 6．将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点B处，以点B为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点 （1）点C在刻度尺上对应的数为______； （2）若点A与点C所表示的数是一对相反数，则点B在数轴上所对应的数为______． 题型五 比较实数的大小 1．下列实数中最小的是（　　） A． B．0 C． D． 2．在四个数中，最大的数是（   ） A．-3 B． C． D．2 3．实数与的大小关系是（    ） A． B． C．一样大 D．无法确定 4．比较实数的大小：________． 5．比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 6．比较大小：_____2（填“”、“”或“”号）． 7．比较大小：_____2．（填＞、＝或＜） 题型六 无理数的估算 1．估计的值介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．估计在哪两个相邻整数之间（　　） A． B． C． D． 3．计算的结果，下列说法正确的是（  ） A．值介于4和5之间 B．值介于5和6之间 C．值介于6和7之间 D．值介于7和8之间 4．已知整数m满足，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．满足的整数的值可以是_____．（写出一个即可） 题型七 实数的混合运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列选项正确的是（   ） A．的平方根是 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 3．计算的结果是____． 4．计算：______． 5．计算：________． 6．计算：____________． 7．计算：． 题型一 实数在程序设计中的应用 1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 3．按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为___________． 4．根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 5．按如图所示的流程操作，当输入时，输出的值是______；当输出的值等于4时，输入的负数是______． 题型二 实数中与整数部分有关的运算 1．是的小数部分，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 3．已知a是的立方根，b是的整数部分，则的平方根为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．如果的整数部分为，则的值为_____． 5．若，且a、b是两个连续的整数，则的值为_______． 6．若，其中x是整数，且，求________． 题型三 新定义下的实数运算 1．对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是(    ) A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是 D．立方根是 2．规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数，例如：，，，，．则的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 3．定义一种新的加法运算法则：，其中a，b，c，d均为实数．若，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．规定一种新运算：，那么________． 5．定义运算“”，使得（，），如，则的值是_____． 6．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 7．定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则____________． 8．定义新运算“⊕”：若，例如，，， 则 ___． 题型四 实数运算中的规律问题 1．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 2．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（　　） A． B． C． D． 4．某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数；③：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（   ） A．0.01 B．0.1 C． D．100 5．我们知道，付老师又用计算器求得：、，，则计算：（2024个3，2024个4）______． 6．小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则_______． 7．将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是______． 题型五 实数运算与实际应用 1．一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 2．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 3．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 4．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 5．五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为________元． 6．我们常用的数是十进制，十进制数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9如十进制3245＝3×103+2×102+4×101+5×100在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1．如二进制110＝1×22+1×21+0×20，相当于十进制数中的6；二进制110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20，相当于十进制数中的53．（注意：非零有理数的零次幂都为1即a0＝1（a≠0）） （1）二进制中的1011等于十进制中的数是_____； （2）十进制中的100等于二进制中的数是_____． 7．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 8．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 9．设三角形的三边分别为，，，则有下列三角形面积公式成立： ①，其中（海伦公式） ②（秦九韶公式）． 已知一个三角形的三边，，分别为，，，选用一个公式求这个三角形的面积． 10．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 题型六 根据数轴判断式子的正负性或化简 1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 3．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(   ) A． B． C． D． 4．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 5．实数在数轴上的位置如图所示， 则化简的结果为_______． 6．已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简： ________． 7．已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简______． 1．我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（    ） A．4 B．2 C．0 D．-2 2．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 3．对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当时，______； （2）当时，______． 4．定义新的运算：对于任意的有理数a，b，都有，，如，时，，．下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则的最小值为7． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 6．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 7．如图，已知点，将点绕点顺时针旋转得到点．此时我们就称点是点关于点的旋转点，记作．如，． (1)__________；，__________； (2)如果，那么__________； (3)点表示的数是，点表示的数为，如果（点在点右侧），，那么__________． 学科网（北京）股份有限公司 $