8.2 立方根（分层题型专练，3夯基题型+5进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章 实数 8.2 立方根 （分层题型专练） 题型一 立方根相关的概念理解 1．立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 2．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根 C．的立方根是 D．立方根是它本身的只有 3．是的（    ） A．算术平方根 B．平方根 C．立方根 D．立方 4．如果，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 5．式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 题型二 求一个数的立方根 1．27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 2．的立方根是（    ） A． B． C． D． 3．计算_________． 4．实数的立方根是______． 题型三 已知一个数的立方根求这个数 1．已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 2．已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 3．《西游记》主要讲述了唐僧师徒们西天取经，历经九九八十一难，最终取得真经的故事．其主要人物孙悟空战斗力强，他的武器金箍棒尤为厉害，若金箍棒的攻击力满足，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 4．如果一个数的立方根是，那么这个数是_______． 5．已知，则a＝____． 6．已知2-6n的立方根是-2，则n=________． 7．是的立方根，的立方根是，则______． 8．若是的立方根，则的立方根是______ 9．若一个数的平方根为，另一个数的立方根是，则这两个数的和是_______． 题型一 利用立方根的性质求解参数的值 1．若，则（   ） A．1 B． C． D．0 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若，则k的值为_________． 4．已知，则__________ 5．如果，则________． 题型二 利用立方根的性质解方程 1．已知，求x的值． 2．已知，求的值． 3．求下列各式中的值． (1) （2） 题型三 立方根中的规律问题 1．已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 2．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 3．按一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（    ） A． B． C． D． 4．已知，那么________． 5．已知，，，则______． 6．观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 7．观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 8．【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 题型四 立方根的实际应用 1．某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 2．南安拥有国家二类港口石井港，区位优势得天独厚，对台交流往来频繁，为企业的原料进口、产品出口及技术合作都提供了便利．已知该港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（   ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 3．随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（      ） A．50 B．60 C．70 D．40 4．已知球的体积公式为(为球的半径)，若某小球的体积为，则该小球的半径为___________． 5．如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是______．（注：球的体积计算公式为） 6．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵；， ∴是两位数， ∵59319的个位数是9， ∴的个位数是9． 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位数是3，所以． 阅读以上材料，的个位数是______； ______． 7．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 题型五 立方根与平方根的综合应用 1．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 2．下列说法正确的是（    ） A．5是25的一个平方根 B．8的立方根是 C．9的平方根是3 D．的平方根是 3．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 4．若都是实数，且，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为________． 6．若是的算术平方根，，则的立方根为________． 7．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 8．对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”．若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根． 1．已知，，且，则的计算结果为（   ） A． B． C． D． 2．已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 3．下面给出的结论中，①立方根等于算术平方根的是0；②在同一个平面内，经过一点可以画一条直线和已知直线平行；③；④若，则；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角；⑥经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直；⑦若ab，，那么；⑧是的平方根，其中不正确的说法有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 4．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________． 5．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 6．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 7．综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm的正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方体包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 实数 8.2 立方根 （分层题型专练） 题型一 立方根相关的概念理解 1．立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，注意正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．根据开立方的意义，可得答案． 【详解】解：立方根等于它本身的有，0，1． 故选：A． 2．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根 C．的立方根是 D．立方根是它本身的只有 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解题即可． 【详解】解：A：负数有立方根，故此选项不合题意； B：正数有且只有一个立方根，故此选项符合题意； C：的立方根是，故此选项不合题意； D：立方根是它本身的有和和，故此选项不合题意． 故选：B ． 3．是的（    ） A．算术平方根 B．平方根 C．立方根 D．立方 【答案】C 【分析】本题考查立方根，如果，那么叫做的立方根，这是解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】∵， ∴， 即是的立方根， 故选：C． 4．如果，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据立方根的定义化简，再判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了立方根的意义，解题的关键是掌握． 5．式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 题型二 求一个数的立方根 1．27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 若一个数的立方等于，即，则是的立方根，，且正数的立方根是正数， ∴ 的立方根是． 2．的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的性质求解． 【详解】解：， 故选：B． 3．计算_________． 【答案】 4 【分析】本题考查立方根的运算，先依据立方根的定义求出的值，再进行有理数的符号运算即可求解． 【详解】解：根据立方根的定义，由于， 因此， 则． 故答案为：4． 4．实数的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴实数的立方根是， 故答案为：． 题型三 已知一个数的立方根求这个数 1．已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵立方根是， ∴这个数为， 故选：A． 2．已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：一个数的立方根是， 这个数是， 故选：． 3．《西游记》主要讲述了唐僧师徒们西天取经，历经九九八十一难，最终取得真经的故事．其主要人物孙悟空战斗力强，他的武器金箍棒尤为厉害，若金箍棒的攻击力满足，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根和立方根的实际应用，由得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 4．如果一个数的立方根是，那么这个数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．根据和立方根的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴如果一个数的立方根是，那么这个数是， 故答案为：． 5．已知，则a＝____． 【答案】 【分析】根据立方根的定义知：若x3=a，则x=，由此解答即可． 【详解】解：∵， ∴a＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查立方根定义，理解立方根的意义是解答的关键． 6．已知2-6n的立方根是-2，则n=________． 【答案】 【分析】由2﹣6n的立方根是﹣2，可得2﹣6n＝﹣8，进而求出n的值． 【详解】解：因为2﹣6n的立方根是﹣2， 所以2﹣6n＝﹣8， 解得n， 故答案为：． 【点睛】本题考查立方根，理解立方根的意义是解决问题的前提，根据立方根的意义得到2﹣6n＝﹣8是正确解答的关键． 7．是的立方根，的立方根是，则______． 【答案】512 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义，分别求出a和b的值，再计算． 【详解】解：是的立方根， ， 解得， 的立方根是， ， 即， 解得， 则， 故答案为512． 8．若是的立方根，则的立方根是______ 【答案】 【分析】先求出的值，即可进一步求解． 【详解】解：∵是的立方根 ∴ 即 ∴ 的立方根是 故答案为： 【点睛】本题考查了立方根的相关计算．掌握相关定义是解题关键． 9．若一个数的平方根为，另一个数的立方根是，则这两个数的和是_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求出这两个数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴这两个数分别为9，， ∴这两个数的和为， 故答案为：1． 题型一 利用立方根的性质求解参数的值 1．若，则（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的概念，熟练掌握立方根的概念是解决本题的关键． 根据立方根的概念，若三次根号下的数等于1，则该数为1的三次方，由此可解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A ． 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解决此题的关键是正确的理解立方根的定义； 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3．若，则k的值为_________． 【答案】5 【分析】根据零的立方根既可以看作等于其本身，也可以看作等于其相反数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键． 4．已知，则__________ 【答案】或或 【分析】根据立方根等于本身的数有，然后列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵立方根等于本身的数有， ∴， 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：． 综合可得：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了立方根和平方根，解本题的关键是明确立方根等于本身的数是多少，会求一个数的平方根． 5．如果，则________． 【答案】 【分析】本题考查立方根的定义，掌握乘方的计算是解题的关键． 根据立方根的定义，可直接得出结果． 【详解】解：∵， 由于， 即， 故答案为：． 题型二 利用立方根的性质解方程 1．已知，求x的值． 【答案】，过程见解析 【分析】本题考查了利用开立方的形式解方程，解题关键是先转化再开立方． 本题先将方程转化为乘方形式，再开立方即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴x的值为． 2．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了立方根解方程． 将原式化为，进而开立方即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 3．求下列各式中的值． (1) （2） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了立方根的定义，算出的立方根，进而可求出； （2）本题考查了立方根的定义，将看作整体，算出的立方根，进而可求出； 【详解】（1） （1）解：， ， （2）解：， ， ． 题型三 立方根中的规律问题 1．已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．利用立方根的性质，得，代入已知近似值计算． 【详解】解：∵， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 2．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．按一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字排列规律探索，二次根式定义，弄清题中的数字规律是解题的关键．第个式子的前一项是奇数的算术平方根，可表示为，后一项是正整数的立方根，可表示为，由此即得答案． 【详解】根据规律可知，第个式子的前一项为，后一项为，所以第个式子是． 故选A． 4．已知，那么________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的性质．根据立方根的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： ． 5．已知，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 6．观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 7．观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 8．【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 题型四 立方根的实际应用 1．某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．先求得增大后的正方体的体积，然后依据立方根的性质求解即可． 【详解】解：小正方体的体积． 大正方体的体积． 所以大正方体的棱长． 故选：D． 2．南安拥有国家二类港口石井港，区位优势得天独厚，对台交流往来频繁，为企业的原料进口、产品出口及技术合作都提供了便利．已知该港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（   ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键． 通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 故选：D 3．随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（      ） A．50 B．60 C．70 D．40 【答案】A 【分析】根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，求出圆锥形土方的体积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积， ， ∴垃圾池的底面边长大约是米． 故选：A 【点睛】本题主要考查了立方根的应用，明确题意，理解垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积是解题的关键． 4．已知球的体积公式为(为球的半径)，若某小球的体积为，则该小球的半径为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，设出该小球的半径，再根据球的体积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵小球的体积为，即， ∴， 解得， ∴该小球的半径为， 故答案为：． 5．如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是______．（注：球的体积计算公式为） 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，解答本题的关键在于熟练掌握立方根的概念及运算．根据球的体积计算公式，进行求解即可． 【详解】解：设容器的半径是，则 ， 解得， 故答案为：． 6．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵；， ∴是两位数， ∵59319的个位数是9， ∴的个位数是9． 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位数是3，所以． 阅读以上材料，的个位数是______； ______． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了立方根的意义、数字变化的规律，熟练掌握题干中的解答方法是解题的关键．仿照题干中的解答步骤解答即可． 【详解】解：∵；， ∴是两位数， ∵19683的个位数是3， ∴的个位数是7． ∵；， ∴是两位数， ∵110592的个位数是2， ∴的个位数是8． 如果划去110592后面的三位592得到数110，而，， 由此确定的十位数是4， 所以， 所以． 故答案为：，； 7．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 题型五 立方根与平方根的综合应用 1．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键．先求出的立方根与的算术平方根，再求出其和即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴的算术平方根是， ∴． 故选：A． 2．下列说法正确的是（    ） A．5是25的一个平方根 B．8的立方根是 C．9的平方根是3 D．的平方根是 【答案】A 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根与立方根的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：25的平方根为，则5是25的一个平方根，故A符合题意； 8的立方根是2，故B不符合题意； 9的平方根是，故C不符合题意； ，它的平方根是，故D不符合题意； 故选：A． 3．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 4．若都是实数，且，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由算术平方根的意义可知6-x≥0,则x-6≤0,从而≤0，≥0. 【详解】∵6-x≥0, ∴x-6≤0, ∴≤0，≥0， ∴. 故选A. 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握负数没有算术平方根是解答本题的关键. 5．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为________． 【答案】1 【分析】利用算术平方根，以及立方根的定义求出a，b的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】根据题意得：a＝9，b＝8， ∴a−b＝9−8＝1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 6．若是的算术平方根，，则的立方根为________． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于、的方程，求出、的值，即可求解． 【详解】∵是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴的立方根为， 故答案为：． 7．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 8．对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”．若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根． 【答案】-2 【分析】根据和互为相反数，可得，从而得到，再由的平方根是它本身，可得，即可求解． 【详解】解：和互为相反数， ， ， 解得：， 的平方根是它本身， ， ， ， 的立方根是． 1．已知，，且，则的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平方根定义，立方根定义，已知字母的值求代数式的值，先求出x，y的值，再代入计算即可 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， 故选：A． 2．已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律题，求一个数的立方根，当时，则，，，，，则有以三个数为一组，不断循环，从而有，然后代入求出立方根即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时， ∴， ， ， ， ， ∴以三个数为一组循环， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．下面给出的结论中，①立方根等于算术平方根的是0；②在同一个平面内，经过一点可以画一条直线和已知直线平行；③；④若，则；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角；⑥经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直；⑦若ab，，那么；⑧是的平方根，其中不正确的说法有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据立方根与平方根的定义可以判断①③④⑧，根据平行线的性质与垂线的性质可以判断②⑥，根据邻补角与角平分线的定义可以判断⑤，根据平行线的性质可以判断⑦，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做 a的立方根． 【详解】解：①立方根等于算术平方根的是0和1，故①不正确， ②在同一个平面内，经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误； ③，故③不正确， ④若，则，故④不正确， ⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角，故⑤正确； ⑥同一平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直，⑥不正确， ⑦若ab，，那么，⑦正确 ⑧是的平方根，⑧不正确 有6个不正确， 故选C 【点睛】本题考查了立方根与平方根的定义，平行线的性质与垂线的性质，邻补角与角平分线的定义，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 4．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 5．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 6．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 【答案】(1)若，则叫的五次方根 (2) (3)，为任意实数 (4)或 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． 7．综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm的正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方体包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，特殊角的三角函数， 根据题意得，由四边形是矩形，可得，则再求出， 进而求出，然后根据体积公式可得答案． 【详解】解：∵长方体包装盒得底面积为288， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴该长方体包装盒得体积是． 学科网（北京）股份有限公司 $