福建厦门大学附属科技中学2026届高三下学期限时训练3数学试题

厦门大学附属科技中学2026届高三（下）限时训练3（3.13） 数学试题 （整理：邢昭良） 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人准考证号、姓名是否一致． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. “City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（ ） A. 2124种 B. 2148种 C. 2352种 D. 2420种 7. 已知函数（且）在上有唯一零点，则的范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16 B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 C. 已知随机变量 ，若 ，则 D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次． 10. 函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 我国知名品牌小米公司的具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线（、为常数，且）.则下列有关曲线的说法中正确的是（ ） A. 对任意的且，曲线总关于轴和轴对称 B. 当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为 C. 当，时，曲线与坐标轴的交点个数为个 D. 当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知函数，且为偶函数，则的值为________. 13. 已知圆，其中为坐标原点，直线与圆交于点，则的面积的最大值为______． 14. 在中，，（），若当面积取最大值时，，则________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，若，， （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的平面角的正弦值. 16. 的内角所对的边分别为，， （1）求角的大小; （2）若，的延长线交于点，且，求的面积. 17. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 18. 已知抛物线的焦点为.抛物线上一点满足，为直线上的动点，过作曲线的两条切线，，其中为切点． （1）求抛物线的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最小值． 19. 将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”．若各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列” （1）分别判断以下数列是否存在“完美互补子列”，并说明理由： A：1，2，3，4；B：2，，，，，． （2）数列一共项，且满足，，． （i）求证：当和时，都存在“完美互补子列”； （ii）设共有对“完美互补子列”，求证：． 厦门大学附属科技中学2026届高三（下）限时训练3（3.13） 数学试题 （整理：邢昭良） 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人准考证号、姓名是否一致． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）． 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）不可信． 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明如下： 设， ， ， 由得，故切线：，即， 同理可得切线： ， 在两条切线，则，所以直线，即， 因，故，故直线恒过定点. （法二） 当直线斜率存在时，设， 联立，得 设，，， ，，， 由得故切线，即 同理切线， 联立得，故， 代入直线得， 直线，所以恒过定点 当直线斜率不存在时，由对称性知，直线，也过定点 综上：直线恒过定点. （3） 【19题答案】 【答案】（1）存在“完美互补子列”，不存在. （2）（i）当时，因为， 所以…. 不妨令中的各项为：，； 中的各项为：. 则与中所有项的和均为. 所以时，数列存在“完美互补子列”. 当时，只需将中，中的移到中， 将放入中，将放入中，此时与中的和均在原来的基础上增加了， 所以，数列存在“完美互补子列”. （ii）当时，数列有对“完美互补子列”， 对的一对“完美互补子列”，比如： 中的各项为：，； 中的各项为：. ①将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； ②将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； ③将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； 所以时的一对“完美互补子列”，时，都至少有三对“完美互补子列”与之对应. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $