15.3可化为一元一次方程的分式方程题型突破2025-2026学年华东师大版八年级下册（十大题型）

15.3可化为一元一次方程的分式方程题型突破2025-2026学年华东师大版八年级下册（九大题型） 题型一：识别分式方程 1．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 4．下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 题型二：解分式方程 1.解分式方程：． 2．解方程． 3．解方程： (1)；(2)． 4．解方程： (1)；(2)． 5．解分式方程： (1)(2) 题型三：分式方程的增根与无解 1．关于x的分式方程有增根，则增根为（ ） A．x=1 B．x=－1 C．x=3 D．x=－3 2．若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 3．若关于x的方程有增根，则________. 4．若关于x的分式方程无解，则 ． 5．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的解是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 题型四：分式方程的特殊解 1．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 2．已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 3．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 题型五：分式方程与方程、不等式结合问题 1．若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 2．如果关于的方程有非负整数解，且关于y的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的和为（    ）． A．－7 B．－8 C． D． 3．关于的方程有整数解，且使关于的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数的值的和是 ． 4．若关于的不等式组，有解且至多有三个整数解，关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 题型六：分式方程的解新定义问题 1．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 2．对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围 ． 3．定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 4．定义新运算“*”，规定，若的解为正数，则m的取值范围是 ． 5.现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 题型七：分式方程应用题之工程问题 1.某市地铁修建工程中，需铺设一条2000米的钢轨，施工队原计划每天铺设x米，为减少工程周期，实际每天比原计划多铺设150米，结果提前三天完工，用方程表示问题中的数量关系为（　　） A．﹣＝3 B．﹣＝3 C．﹣＝3 D．﹣＝3 2．某工程队要对一条长3千米的人行道进行改造，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，每天比原计划多改造10米，结果所用时间比原计划少十分之一，求实际每天改造多少米？设实际每天改造x米，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前20天完成了任务，则原计划每天绿化的面积为多少万平方米．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，依题意可列方程 　　． 4．完成一件工程，甲单独完成比乙单独完成可以少10天，两人合作10天后，还剩下工程的未完成，设甲单独完成需要x天，则根据题意列出的方程是 　 　． 5.据气象预报，3月15日凌晨至夜间，全省大部有暴雨，并伴有短时强降雨天气．某工程队提前对一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．求原计划每天铺设路面多少米？ 题型八：分式方程应用题之行程问题 1.某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　） A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝ D．﹣＝ 2.一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是xkm/h，根据题意所列方程是（　　） A．＝+1 B．+1＝ C．＝+1 D．+1＝ 3.已知甲车辆行驶360km与乙车辆行驶480km所用的时间相同，乙车辆的速度比甲车辆的速度快20km/h．问甲、乙两车辆的速度各是多少？设甲车辆速度为xkm/h，根据题意，可列方程为 　　． 4.汽车从甲地出发开往相距500km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后以原来速度的2倍匀速行驶，比原计划提前20min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．若设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，则根据题意列方程为　　． 5.A，B两地相距60km．甲骑自行车从A地出发2小时后，乙骑摩托车从A地出发追赶甲．已知乙的速度是甲的速度的3倍，且甲乙同时到达B地，求甲、乙的速度． 题型九：分式方程应用题之销售问题 1.某书店分别用400元和500元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多10套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2.某文具店购进A，B两种款式的书包，其中A种书包的单价比B种书包的单价低10%．已知店主购进A种书包用了810元，购进B种书包用了600元，且所购进的A种书包的数量比B种书包多20个．设文具店购进B种款式的书包x个，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．某商厦进货员预测一种应季衬衫能够畅销市场，就用10000元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用22000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍．但单价贵了4元，求这两批衬衫的购进单价，若设第一批衬衫购进单价为x元，则所列方程为 　　． 4．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．若这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是 　　元？（利润率＝×100%） 5.某商场准备购进A，B两款净水器，每台A款净水器比B款净水器的进价少600元，用36000元购进A款净水器的台数是用27000元购进B款净水器台数的2倍，A，B两款净水器每台售价分别是1350元、2100元．请解答下列问题： （1）A，B两款净水器每台进价各是多少元？ （2）若该商场用6万元资金全部用于购进A和B两款净水器，购进B款净水器不超过8台，设购进A款净水器a台，则该商场有几种进货方案？ （3）在（2）条件下，为促进销售，商场推出每购买一台净水器可抽奖一次，中奖顾客赠送同款净水器滤芯一个．A，B两款净水器每个滤芯的进价分别是400元、500元．如果这批净水器全部售出，除去奖品的费用后仍获利5250元，那么两款净水器滤芯共赠送多少个？请直接写出答案． 【答案】 15.3可化为一元一次方程的分式方程题型突破2025-2026学年华东师大版八年级下册（九大题型） 题型一：识别分式方程 1．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3．下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 4．下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 5．在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】D 题型二：解分式方程 1.解分式方程：． 【答案】 【详解】解：， 等式两边同时乘以，去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 经检验是原方程的解． ∴原方程的解是． 2．解方程． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同时乘以最简公分分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，当时，， 是分式方程的解． 3．解方程： (1)；(2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解 ： 方程两边同乘，得， 解这个整式方程，得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得， 解这个整式方程，得． 检验：当时，． 所以，是原分式方程的增根． 所以，原分式方程无解． 4．解方程： (1)；(2)． 【答案】(1)(2)无解． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； （2）解：， ， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是增根， 即分式方程无解． 5．解分式方程： (1)(2) 【答案】(1)无解(2) 【详解】（1）解： 方程的两边同乘以， 得： 整理得：；解得： 经检验是方程的增根． 所以原分式方程无解． （2）解： 方程两边同乘以，得： ，解得 经检验是原分式方程的根． 题型三：分式方程的增根与无解 1．关于x的分式方程有增根，则增根为（ ） A．x=1 B．x=－1 C．x=3 D．x=－3 【答案】A 2．若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 【答案】C 3．若关于x的方程有增根，则________. 【答案】5 4．若关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】 5．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的解是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)a的值为3或9 【详解】（1）解：把代入原方程得： 解得： ∴a的值是18 （2）方程两边同乘得： 解得： ∵原分式方程有增根 ∴ 解得：或 ∴或(舍去) 即： ∴a的值是3． （3）由(2)知： 当时原方程无解，则或(舍去) 即： 当时原方程无解，则 ∴综上所述，当a的值为3或9时，原分式方程无解． 题型四：分式方程的特殊解 1．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 2．已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 3．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 4．关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 5．已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 【答案】 题型五：分式方程与方程、不等式结合问题 1．若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 2．如果关于的方程有非负整数解，且关于y的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的和为（    ）． A．－7 B．－8 C． D． 【答案】C 3．关于的方程有整数解，且使关于的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数的值的和是 ． 【答案】14 4．若关于的不等式组，有解且至多有三个整数解，关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】6 题型六：分式方程的解新定义问题 1．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 2．对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围 ． 【答案】且 3．定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 4．定义新运算“*”，规定，若的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 5.现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 题型七：分式方程应用题之工程问题 1.某市地铁修建工程中，需铺设一条2000米的钢轨，施工队原计划每天铺设x米，为减少工程周期，实际每天比原计划多铺设150米，结果提前三天完工，用方程表示问题中的数量关系为（　　） A．﹣＝3 B．﹣＝3 C．﹣＝3 D．﹣＝3 【答案】B。 2．某工程队要对一条长3千米的人行道进行改造，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，每天比原计划多改造10米，结果所用时间比原计划少十分之一，求实际每天改造多少米？设实际每天改造x米，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A。 3．某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前20天完成了任务，则原计划每天绿化的面积为多少万平方米．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，依题意可列方程 　　． 【答案】﹣＝20。 4．完成一件工程，甲单独完成比乙单独完成可以少10天，两人合作10天后，还剩下工程的未完成，设甲单独完成需要x天，则根据题意列出的方程是 　 　． 【答案】10（）+＝1。 5.据气象预报，3月15日凌晨至夜间，全省大部有暴雨，并伴有短时强降雨天气．某工程队提前对一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．求原计划每天铺设路面多少米？ 【答案】解：设原计划每天铺设路面x米，则提高工作效率后每天铺设路面（1+25%）x米， 依题意得：+＝13， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天铺设路面80米． 题型八：分式方程应用题之行程问题 1.某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　） A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝ D．﹣＝ 【答案】D。 2.一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是xkm/h，根据题意所列方程是（　　） A．＝+1 B．+1＝ C．＝+1 D．+1＝ 【答案】C。 3.已知甲车辆行驶360km与乙车辆行驶480km所用的时间相同，乙车辆的速度比甲车辆的速度快20km/h．问甲、乙两车辆的速度各是多少？设甲车辆速度为xkm/h，根据题意，可列方程为 　　． 【答案】＝。 4.汽车从甲地出发开往相距500km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后以原来速度的2倍匀速行驶，比原计划提前20min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．若设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，则根据题意列方程为　　． 【答案】﹣＝。 5.A，B两地相距60km．甲骑自行车从A地出发2小时后，乙骑摩托车从A地出发追赶甲．已知乙的速度是甲的速度的3倍，且甲乙同时到达B地，求甲、乙的速度． 【答案】解：设甲的速度是xkm/h，则乙的速度是3xkm/h， 依题意得：﹣＝2， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意， ∴3x＝3×20＝60． 答：甲的速度是20km/h，乙的速度是60km/h． 题型九：分式方程应用题之销售问题 1.某书店分别用400元和500元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多10套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C。 2.某文具店购进A，B两种款式的书包，其中A种书包的单价比B种书包的单价低10%．已知店主购进A种书包用了810元，购进B种书包用了600元，且所购进的A种书包的数量比B种书包多20个．设文具店购进B种款式的书包x个，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B。 3．某商厦进货员预测一种应季衬衫能够畅销市场，就用10000元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用22000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍．但单价贵了4元，求这两批衬衫的购进单价，若设第一批衬衫购进单价为x元，则所列方程为 　　． 【答案】2×＝。 4．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．若这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是 　　元？（利润率＝×100%） 【答案】200。 5.某商场准备购进A，B两款净水器，每台A款净水器比B款净水器的进价少600元，用36000元购进A款净水器的台数是用27000元购进B款净水器台数的2倍，A，B两款净水器每台售价分别是1350元、2100元．请解答下列问题： （1）A，B两款净水器每台进价各是多少元？ （2）若该商场用6万元资金全部用于购进A和B两款净水器，购进B款净水器不超过8台，设购进A款净水器a台，则该商场有几种进货方案？ （3）在（2）条件下，为促进销售，商场推出每购买一台净水器可抽奖一次，中奖顾客赠送同款净水器滤芯一个．A，B两款净水器每个滤芯的进价分别是400元、500元．如果这批净水器全部售出，除去奖品的费用后仍获利5250元，那么两款净水器滤芯共赠送多少个？请直接写出答案． 【答案】解：（1）设A款净水器每台x元，B款净水器每台（x+600）元， 根据题意得，＝2×， 解得：x＝1200， 经检验x＝1200是原方程的根， 此时x+600＝1800， 答：A款净水器每台进价是1200元，B款净水器每台进价是1800元； （2）∵购进A款净水器a台， ∴购进B款净水器台， 根据题意得：≤8， 解得：a≥38， ∵a，都是正整数， ∴a＝47，44，41，38；＝2，4，6，8； ∴该商场有4种进货方案； （3）①当A款净水器购进47台，B款净水器购进2台时， 47×（1350﹣1200）+2×（2100﹣1800）﹣5250＝2400 （元）， 400×6+0＝2400 （元）， ∴A款净水器赠送6个，B款净水器赠送0个，两款净水器滤芯共赠送6个； ②当A款净水器购进44台，B款净水器购进4台+， 44×（1350﹣1200）+4×（2100﹣1800）﹣5250＝2550 （元）， 由于400、500不管以多少整数倍相加都不等于2550，故不符合题意； ③当A款净水器购进41台，B款净水器购进6台， 41×（1350﹣1200）+6×（2100﹣1800）﹣5250＝2700 （元）， 400×3+500×3＝2700（元）， ∴A款净水器赠送3个，B款净水器赠送3个，两款净水器滤芯共赠送6个； ④当A款净水器购进38台，B款净水器购进8台， 38×（1350﹣1200）+8×（2100﹣1800）﹣5250＝2850 （元）， 由于400、500不管以多少整数倍相加都不等于2850，故不符合题意； 综上所述，两款净水器滤芯共赠送6个． 学科网（北京）股份有限公司 $