2026年中考数学一轮复习高频考点专练18 全等三角形（讲义+练习+测试）(广东专用)

高频考点专练18 全等三角形 （4个知识点+7个题型+1个专练+验收卷） 一、全等三角形的性质与判定 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 3、三角形全等的判定 （1）边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等． （2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等． （3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． （4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等． （5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换． 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换． （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换． （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换． 二、全等三角形的模型 1．平移模型 把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 2．轴对称模型 将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 3．旋转模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 4．一线三等角模型 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角．这个模型称为一线三等角模型． （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 5．截长补短模型 该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明．其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段． （1）截长： 在较长线段上截取一段等于某一短线段， 再证剩下的那一段等于另一短线段． 如图， 求证BE+DC=AD； 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 6．倍长中线模型 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形（SAS），并将已知条件中的线段和角进行转移． 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE， 1）连接EC，则∆ABD≌∆ECD，ABCE 2）连接BE，则∆ADC≌∆EDB，ACBE 7．手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型．因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”． 如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE=α．结论：△BAD≌△CAE． 8．半角模型 当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型．解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题． 如图：已知∠2=∠AOB，OA=OB 三、垂直平分线及角平分线的性质与判定 1.垂直平分线的概念 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． 2.垂直平分线的性质 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 3.垂直平分线的判定 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 4.角平分线的性质定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 5.角平分线的判定定理 角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 四、尺规作图类型 1．尺规作图的要求 只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹． 2．五种基本尺规作图 作一条线段等于已知线段 步骤：1．作射线OP； 2．在OP上截取OA=a，OA即为所求线段 作角的平分线 步骤：1．以点O为圆心，任意长为半径画弧， 分别交OA．OB于点N．M； 2．分别以点M．N为圆心，大于MN的长为半径作弧，相交于点P； 3．画射线OP，OP即为所求角平分线 作线段的垂直平分线 步骤：1．分别以点A．B为圆心，以大于AB的长为半径，在AB两侧作弧； 2．连接两弧交点所成直线即为所求线段的垂直平分线 作一个角等于已知角 步骤：1．在∠α上以点O为圆心．以适当的长为半径作弧， 交∠α的两边于点P．Q； 2．作射线O′A； 3．以O′为圆心．OP长为半径作弧，交O′A于点M； 4．以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N； 5．过点N作射线O′B，∠BO′A即为所求角 过一点作已知直线的垂线 步骤：1．在直线另一侧取点M； 2．以P为圆心，以PM为半径画弧，交直线于A．B两点； 3．分别以A．B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，交M同侧于点N；4． 连接PN，则直线PN即为所求垂线 步骤：1．以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，交直线于A．B两点； 2．分别以点A．B为圆心，以大于AB长为半径向直线两侧作弧，交点分别为M．N； 3．连接MN，MN即为所求垂线 3．根据基本作图作三角形 类型 图示 已知三角形的三边，求作三角形 已知三角形的两边及其夹角，求作三角形 已知三角形的两角及其夹边，求作三角形 已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形 4．根据基本作图作圆 类型 图示 过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆） 作三角形的内切圆 类型1 全等三角形的性质 【例题】 1．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式】 2．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图：，那么的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26八年级上·广东·月考）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，，且点共线，若的面积为，则（    ） A． B． C．2 D． 类型2 全等三角形的性质与判定 【例题】 5．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在和中， ，，，求证：． 【变式】 6．（2025·广东广州·中考真题）如图，，，．求证：． 7．（2025·广东广州·一模）如图，已知，，求证：． 8．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，且，．求证：． 9．（25-26八年级上·广东东莞·月考）如图，已知，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，与中，，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 类型3 结合尺规作图的全等问题 【例题】 11．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】 12．（22-23八年级下·广东深圳·期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 13．（24-25八年级上·广东汕头·月考）（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 14．（24-25八年级上·广东汕头·月考）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 类型4 倍长中线模型 【例题】 16．（25-26八年级上·广东广州·期中）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是___________（用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是___________（直接填空）． 【变式】 17．（25-26八年级上·广东云浮·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________． （2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 18．（25-26八年级上·广东汕头·月考）【方法呈现】 （1）如图1：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为___________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 （2）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长； 【构建联系】 （3）如图3，在中，，，点是线段上的一点，点在延长线上的一点， 且，连接，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 19．（25-26八年级上·广东东莞·期中）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围； 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）王老师又提出新的问题：是的中线，且，，试说明：． 第二小组经过合作交流，给出如下解决思路： ①如图，延长到F，使；②连接，证明． 接着王老师提示同学们：已得，下面只需说明，就能证得． 请根据以上提示完成“”的证明． 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 类型5 垂线模型 【例题】 20．（22-23八年级上·广东江门·月考）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【变式】 21．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 22．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 类型6 角平分线的性质与判定 【例题】 23．（2025·广东河源·模拟预测）如图，在中，，平分，，，则的面积是（    ） A．10 B．5 C．3 D．2 【变式】 24．（2025·广东东莞·三模）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是（   ） A． B． C． D． 25．（2025·广东阳江·二模）如图，在Rt中，平分，垂足为点，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 26．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是（　　） A．25 B．84 C．42 D．21 27．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中，平分，且，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，中，，是的平分线，，垂足为．若，，则的长度为（    ） A．10 B．6 C．4 D．2 29．（2025·广东广州·二模）如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为8，则四边形的面积为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 类型7 线段垂直平分线 【例题】 30．（25-26八年级上·广东东莞·期末）三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，使，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式】 31．（2025·广东深圳·二模）下列尺规作图中，点到三角形三个顶点的距离相等的是（    ） A． B． C． D． 32．（2025·广东惠州·一模）如图，在中，进行以下操作：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，E；②作直线交边于点O，交于点H；③连接．已知，周长为16，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 33．（2025·广东汕头·一模）如图在中，边，的垂直平分线交于点D，连结，，若，则（    ） A． B． C． D． 满分：90分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共24分） 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ） A．21 B．14 C．13 D．9 2．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 6．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、解答题（共66分） 9．（2025·西藏·中考真题，9分）如图，，．求证：． 10．（2025·福建·中考真题，9分）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 11．（2025·陕西·中考真题，9分）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 12．（2025·四川乐山·中考真题，9分）如图，已知线段、相交于点，，．求证：． 13．（2025·江苏淮安·中考真题，9分）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 14．（2025·重庆·中考真题，9分）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 15．（2025·四川达州·中考真题，12分）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 全等三角形验收卷 满分：110分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共45分） 1．如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（    ） A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE 2．如图，在中，，一定不可能经过点的是（    ） A．边的中线 B．边的垂线 C．边的平行线 D．边的垂直平分线 3．如图，在中，．观察图中的尺规作图痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　） A．平分 B． C． D． 5．如图，在三角形纸片中，，将折叠，使得边落在射线上，折痕为，将纸片展开．再将折叠，使得边落在射线上，折痕为，点的对应点为．若以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（   ） A．4 B． C．9 D．11 7．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 8．下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 9．已知，用尺规作图在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 11．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（   ）    A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 12．在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 13．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，连接，交于点，以点为圆心，的长为半径作的弧恰好经过点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接，若， 则（    ） A．64° B． C． D． 14．如图，在中，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧分别交线段于E点，F点，连接，以点D为圆心，线段长为半径画弧交线段于G点，以点G为圆心线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心线段长为半径所画弧于H点，作射线交于点I，则的大小为（　　） A． B． C． D． 15．如图，在中，，，在外的中，，，连接，转动使的延长线与线段相交于点M，点M为中点，连接，下列几人的结论： 甲同学说：为直角三角形且； 乙同学说：的长是的长的2倍； 丙同学说：与的面积相等． 其中正确的是（   ） A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．丙的说法正确 D．三人的说法都正确 二、解答题（共65分） 16．（9分）如图，在四边形中，与相交于点E．求证：． 17．（9分）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 18．（9分）如图，在和中，，，．求证：． 19．（9分）如图，在中，，，．    (1)尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的长． 20．（9分）如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上． （1）求证：； （2）求证：． 21．（10分）【发现】如图1，线段，，相交于点，为的中点．求证： ； 【应用】如图2，有一块不规则的土地，，点，分别在和上，以为分割线，把土地分给了甲、乙二人，现经甲、乙二人协商，想把分割线变为最短，且保证甲、乙二人的土地面积不变，请给出你的方案，并证明方案的正确性． 22．（10分）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点专练18 全等三角形 （4个知识点+7个题型+1个专练+验收卷） 一、全等三角形的性质与判定 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 3、三角形全等的判定 （1）边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等． （2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等． （3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． （4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等． （5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换． 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换． （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换． （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换． 二、全等三角形的模型 1．平移模型 把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 2．轴对称模型 将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 3．旋转模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 4．一线三等角模型 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角．这个模型称为一线三等角模型． （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 5．截长补短模型 该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明．其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段． （1）截长： 在较长线段上截取一段等于某一短线段， 再证剩下的那一段等于另一短线段． 如图， 求证BE+DC=AD； 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 6．倍长中线模型 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形（SAS），并将已知条件中的线段和角进行转移． 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE， 1）连接EC，则∆ABD≌∆ECD，ABCE 2）连接BE，则∆ADC≌∆EDB，ACBE 7．手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型．因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”． 如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE=α．结论：△BAD≌△CAE． 8．半角模型 当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型．解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题． 如图：已知∠2=∠AOB，OA=OB 三、垂直平分线及角平分线的性质与判定 1.垂直平分线的概念 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． 2.垂直平分线的性质 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 3.垂直平分线的判定 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 4.角平分线的性质定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 5.角平分线的判定定理 角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 四、尺规作图类型 1．尺规作图的要求 只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹． 2．五种基本尺规作图 作一条线段等于已知线段 步骤：1．作射线OP； 2．在OP上截取OA=a，OA即为所求线段 作角的平分线 步骤：1．以点O为圆心，任意长为半径画弧， 分别交OA．OB于点N．M； 2．分别以点M．N为圆心，大于MN的长为半径作弧，相交于点P； 3．画射线OP，OP即为所求角平分线 作线段的垂直平分线 步骤：1．分别以点A．B为圆心，以大于AB的长为半径，在AB两侧作弧； 2．连接两弧交点所成直线即为所求线段的垂直平分线 作一个角等于已知角 步骤：1．在∠α上以点O为圆心．以适当的长为半径作弧， 交∠α的两边于点P．Q； 2．作射线O′A； 3．以O′为圆心．OP长为半径作弧，交O′A于点M； 4．以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N； 5．过点N作射线O′B，∠BO′A即为所求角 过一点作已知直线的垂线 步骤：1．在直线另一侧取点M； 2．以P为圆心，以PM为半径画弧，交直线于A．B两点； 3．分别以A．B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，交M同侧于点N；4． 连接PN，则直线PN即为所求垂线 步骤：1．以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，交直线于A．B两点； 2．分别以点A．B为圆心，以大于AB长为半径向直线两侧作弧，交点分别为M．N； 3．连接MN，MN即为所求垂线 3．根据基本作图作三角形 类型 图示 已知三角形的三边，求作三角形 已知三角形的两边及其夹角，求作三角形 已知三角形的两角及其夹边，求作三角形 已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形 4．根据基本作图作圆 类型 图示 过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆） 作三角形的内切圆 类型1 全等三角形的性质 【例题】 1．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应角相等． 根据全等三角形对应角相等即可求解． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴边的夹角相等， ∴， 故选：A． 【变式】 2．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图：，那么的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 3．（25-26八年级上·广东·月考）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全等三角形的对应角相等得到的度数，再根据三角形的内角和定理求解的度数即可． 【详解】，， ， ， ． 4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，，且点共线，若的面积为，则（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质、完全平方公式、算术平方根等知识，数形结合是解题的关键． 设，且，根据得，，则，由的面积为，得，再进一步得到，即可得到答案． 【详解】解：设，且， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 类型2 全等三角形的性质与判定 【例题】 5．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在和中， ，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】根据证明即可．本题考查了全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ∵， ∴． 【变式】 6．（2025·广东广州·中考真题）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，进而根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴ 7．（2025·广东广州·一模）如图，已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：在与中， ∴ ∴ 8．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由平行线的性质得到，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴． 9．（25-26八年级上·广东东莞·月考）如图，已知，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用； （1）由可得，因为，，根据三角形全等的条件“边角边”即可求证； （2）根据三角形的内角和可知的度数，由（1）中的全等可知，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，与中，，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明全等的方法，在直角三角形里，先考虑用即可解决问题； （2）先根据直角三角形中两个锐角互余可得，再由（1）的全等可得到，即可求出答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形的全等的判定和性质，角度的计算，直角三角形中两个锐角互余等知识点，解决此题的关键是熟练掌握证明全等的方法． 类型3 结合尺规作图的全等问题 【例题】 11．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 【变式】 12．（22-23八年级下·广东深圳·期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项B、D，结合全等三角形的判定方法可判定选项A、D． 【详解】解：由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：A． 13．（24-25八年级上·广东汕头·月考）（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 【答案】（1）或；（2）见详解 【分析】（1）题考查了三角形内角和定理、直角三角形性质以及角平分线性质，要注意分类讨论． （2）题考查尺规作图以及全等三角形的判定与性质，通过尺规作图构造全等三角形，再利用全等三角形性质得出对应角相等． 【详解】解：（1）当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； 当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； （2） 如图，以为圆心，长为半径画弧，交的一边为；再以为圆心，长为半径画弧，交的另一边为，连接；即为所求作的三角形． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确应用三角形内角和定理和直角三角形的性质． 14．（24-25八年级上·广东汕头·月考）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【答案】任务1：①见解析 ；②； 任务2：①90； ②． 【分析】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 【详解】解：任务一： ①如图1中，即为所求； ②依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ②， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 类型4 倍长中线模型 【例题】 16．（25-26八年级上·广东广州·期中）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是___________（用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是___________（直接填空）． 【答案】 / 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，证明是关键． ①利用证明即可； ②根据三角形三边关系得到，由得到答案． 【详解】解：①是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ②∵， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 【变式】 17．（25-26八年级上·广东云浮·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________． （2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）（2）见解析（3）结论：．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明即可解决问题． 【详解】解：（1）；理由如下： ∵是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，且， ， ， ， ． （2）解：如图，延长到，使得，连结，． ∵在中，是边上的中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， 在中，， ，， ． （3）解：结论：． 理由：延长到，使得． ， ， ，        ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．（25-26八年级上·广东汕头·月考）【方法呈现】 （1）如图1：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为___________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 （2）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长； 【构建联系】 （3）如图3，在中，，，点是线段上的一点，点在延长线上的一点， 且，连接，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 【答案】（1）；（2）6；（3）见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． （1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）过点D作，根据全等三角形的判定和性质得出，，求解即可； （3）证明，得出；延长，截取，连接，证明，得出，，证明，根据等腰三角形的性质得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交的延长线于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 延长，截取，连接，如图所示： ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·广东东莞·期中）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围； 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）王老师又提出新的问题：是的中线，且，，试说明：． 第二小组经过合作交流，给出如下解决思路： ①如图，延长到F，使；②连接，证明． 接着王老师提示同学们：已得，下面只需说明，就能证得． 请根据以上提示完成“”的证明． 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，构造三角形全等是解题的关键． （1）延长到E，使得，连接，通过三角形全等把、、转化在中，利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； （2）延长到F，使，连接，证明，得，，再证明，得，就能证得； （3）延长到F，使，连接，证明，再证明，得，从而结论成立． 【详解】解：（1）延长到E，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长到F，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长到F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∵与互补， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型5 垂线模型 【例题】 20．（22-23八年级上·广东江门·月考）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 【变式】 21．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1； (2)证明见解析； (3)或6． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 22．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3） 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 类型6 角平分线的性质与判定 【例题】 23．（2025·广东河源·模拟预测）如图，在中，，平分，，，则的面积是（    ）    A．10 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过D点作于E点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：过D点作于E点，如图，    ∵平分，，， ∴， ∴的面积． 故选：B． 【变式】 24．（2025·广东东莞·三模）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故选：C． 25．（2025·广东阳江·二模）如图，在Rt中，平分，垂足为点，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及线段的和差关系，根据角平分线的性质得出，再利用线段的和差关系可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 26．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是（　　） A．25 B．84 C．42 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握此性质定理是关键；连接，作于E，于F，则，由的周长是21，求得，再由即可求解． 【详解】解：连接，作于E，于F，如图， ∵分别平分和， ∴， ∵的周长是21， ∴， ∴ ． 故选：C． 27．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中，平分，且，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点、交的延长线于点，证明得，再结合直角三角形两锐角互余可求解． 【详解】解：过点作于点、交的延长线于点， ∴， ∵平分，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即一定等于． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，中，，是的平分线，，垂足为．若，，则的长度为（    ） A．10 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线的性质得出，易证，得到，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 29．（2025·广东广州·二模）如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为8，则四边形的面积为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证明三角形全等，是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一，证明，结合图形得出四边形的面积，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    等腰直角三角形中，为边上中点， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴四边形的面积， ∵的长为8， ∴， ∴四边形的面积， 故选：B． 类型7 线段垂直平分线 【例题】 30．（25-26八年级上·广东东莞·期末）三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，使，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，灵活运用“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”这一性质是解题的关键．根据该性质得出满足的点是三边垂直平分线的交点． 【详解】三条高线的交点（垂心）：主要与高线相关； 三条角平分线的交点（内心）：是三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等； 三条中线的交点（重心）：是三角形的重心，将每条中线分为的两段； 三边垂直平分线的交点（外心）：是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等（即）， 要使，集贸市场应建在三边垂直平分线的交点处． 故选：． 【变式】 31．（2025·广东深圳·二模）下列尺规作图中，点到三角形三个顶点的距离相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．先判断点为三角形三边的垂直平分线的交点，然后按做线段垂直平分线的方法对各选项进行判断． 【详解】解：点到三角形三个顶点的距离相等， 所以点为三角形三边的垂直平分线的交点， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 32．（2025·广东惠州·一模）如图，在中，进行以下操作：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，E；②作直线交边于点O，交于点H；③连接．已知，周长为16，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，先根据作图得出垂直平分，然后根据线段平分线的性质得出，，结合周长为16可求出，然后结合即可求解． 【详解】解：由作图知：垂直平分， ∴，， ∵周长为16， ∴，即， ∴， 又， ∴的周长为， 故选D． 33．（2025·广东汕头·一模）如图在中，边，的垂直平分线交于点D，连结，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质，正确作出辅助线是解题关键．连接并延长交于点，首先根据垂直平分线的性质可得，进而可得，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，同理可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接并延长交于点， ∵边，的垂直平分线交于点，， ∴， ∴， ∴，同理可得， ∴． 故选：A． 满分：90分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共24分） 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 2．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 4．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 6．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出和的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后通过求出的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 7．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【详解】解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 8．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 二、（共66分） 9．（2025·西藏·中考真题，9分）如图，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 10．（2025·福建·中考真题，9分）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ． 在和中， ， ， ． 11．（2025·陕西·中考真题，9分）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．（2025·四川乐山·中考真题，9分）如图，已知线段、相交于点，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法及性质是解题的关键． 根据“边角边”证明，再由全等三角形对应边相等即可证明． 【详解】证明：∵线段、相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13．（2025·江苏淮安·中考真题，9分）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 14．（2025·重庆·中考真题，9分）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 【答案】第一步：作图见解析；第二步：①；②；③ 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 【详解】解：第一步：作图如下： ； 第二步：证明：，， ． 在和中， ， ． , 平分． 15．（2025·四川达州·中考真题，12分）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】(1)；全等三角形的对应角相等 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【详解】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 全等三角形验收卷 满分：110分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共45分） 1．如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（    ） A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE 【答案】D 【分析】根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果． 【详解】解：∵OB平分∠AOC ∴∠AOB=∠BOC 当△DOE≌△FOE时，可得以下结论： OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF． A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确； B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确； C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确； D答案中，若∠ODE=∠OFE， 在△DOE和△FOE中， ∴△DOE≌△FOE（AAS） ∴D答案正确． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键． 2．如图，在中，，一定不可能经过点的是（    ） A．边的中线 B．边的垂线 C．边的平行线 D．边的垂直平分线 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等判断即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 边的垂直平分线一定不经过点， 故选：D． 3．如图，在中，．观察图中的尺规作图痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等等知识点，由题意得直线是的垂直平分线，推出，；求出即可求解； 【详解】解：由尺规作图知，直线是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ． 故选：B 4．如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的任一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 由题中折叠可知，为线段的垂直平分线，可得到，即可求解． 【详解】解：由题中折叠可知，为线段的垂直平分线， ，故C正确，符合题意， 其余选项均不能证明，不符合题意， 故选：C． 5．如图，在三角形纸片中，，将折叠，使得边落在射线上，折痕为，将纸片展开．再将折叠，使得边落在射线上，折痕为，点的对应点为．若以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，逐项分析，即可解答． 【详解】如解图，连接，由题意，分别为，的平分线， ， ， ， ， ， 选项A正确，不符合题意； ， ， ， ， ∴， ， ， ， 选项B正确，不符合题意， ， ， ， ∴点与点重合，即， D选项正确，不符合题意． 无法判断与长度关系，故C选项错误． 6．如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（   ） A．4 B． C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等形的判定和性质，勾股定理，三角形三边数量关系的计算是关键． 如图所示，连接，由三角形三边数量关系得到，，证明，，，，，在中，，点在外部，即，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O 在中，， ∴，即， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，， 点在外部，即， ∴， 故选：C ． 7．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 8．下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 【答案】B 【分析】本题为关于全等三角形判定定理，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，是否满足三角形的判定定理是解答本题的关键．根据“”可判断Ⅰ，根据“” 可判断Ⅱ． 【详解】解：Ⅰ可以根据“”来作出完全相同的三角形，Ⅱ可以根据“”来作出完全相同的三角形． 故选：B． 9．已知，用尺规作图在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键． 在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线． 【详解】解：∵， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴作线段的垂直平分线， ∴选项符合题意， 故选：． 10．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，根据角平分线的性质，，以及直角三角形锐角互余即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 无法证明， 故选：A． 11．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（   ）    A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定的条件． 方案一：由题意可知，是对应边，，进而求得，由判定两个小三角形全等，方案一：√； 方案二：由题意可知，，进而求得，所以其对应边应该是和，而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等，方案二：×；即可得解． 【详解】解：方案一：如图1所示，   ，，， ， 是对应边，由判定两个小三角形全等， 故方案一：√； 方案二：如图2所示，   ，，， ，所以其对应边应该是和， 而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等， 故方案二：×； 综上所述，方案一：√、方案二：×． 故选：D． 12．在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过A作于点D，过作于点， ∵， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴，即； 综上，的值为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 13．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，连接，交于点，以点为圆心，的长为半径作的弧恰好经过点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接，若， 则（    ） A．64° B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图基本作图，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定，正确的理解题意是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， 由题意得，直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ∴ ∵ ， ∵， ， ， ， ， 故选：B． 14．如图，在中，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧分别交线段于E点，F点，连接，以点D为圆心，线段长为半径画弧交线段于G点，以点G为圆心线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心线段长为半径所画弧于H点，作射线交于点I，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，三角形内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，得到是解题的关键． 由作图可证明，则可证明，再由平行线得到同位角相等，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：由作图可知， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 15．如图，在中，，，在外的中，，，连接，转动使的延长线与线段相交于点M，点M为中点，连接，下列几人的结论： 甲同学说：为直角三角形且； 乙同学说：的长是的长的2倍； 丙同学说：与的面积相等． 其中正确的是（   ） A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．丙的说法正确 D．三人的说法都正确 【答案】D 【分析】延长，过点A作于点F，证明，得出，，，证明，得出，，，得出为直角三角形且，故甲说法正确；根据，，得出，故乙说法正确；根据，，即可证明，故丙说法正确． 【详解】解：延长，过点A作于点F，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴为直角三角形且，故甲说法正确； ∵，， ∴，故乙说法正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故丙说法正确； 综上分析可知：三个人的说法都正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 二、解答题（共65分） 16．（9分）如图，在四边形中，与相交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】直接利用SSS证明△ACD≌△BDC，即可证明． 【详解】解：在△ACD和△BDC中， ， ∴△ACD≌△BDC（SSS）， ∴∠DAC=∠CBD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS的方法． 17．（9分）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ． 在和中， ， ， ． 18．（9分）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ． 19．（9分）如图，在中，，，．    (1)尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质和勾股定理．核心素养表现为几何直观和推理能力． （1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）过点作于点．由勾股定理求得．由角平分线的性质，可得，证明，则，得到．在中，，列方程即可求出答案． 【详解】（1）解：尺规作图如图所示．   ； （2）过点作于点． 在中，，，， 由勾股定理求得． 由角平分线的性质，可得， ∵ ， ， ． 在中，， 即， 解得． 20．（9分）如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）通过两角和等于，然后通过等量代换即可证明； （2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明． 【详解】证明：（1）在等腰直角三角形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）连接． 由平移的性质得． ∴， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴． 由（1）得， ∴， ∴，∴． 【点睛】本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质． 21．（10分）【发现】如图1，线段，，相交于点，为的中点．求证： ； 【应用】如图2，有一块不规则的土地，，点，分别在和上，以为分割线，把土地分给了甲、乙二人，现经甲、乙二人协商，想把分割线变为最短，且保证甲、乙二人的土地面积不变，请给出你的方案，并证明方案的正确性． 【答案】[发现]见解析；[应用]见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的各种判定方法是解题关键． [发现]由中点定义得，由平行线的性质得、，根据即可证得； [应用] 取的中点，过点作于点，延长交于点，线段为新的分割线．利用两条平行线间垂线段最短，则此时分割线为最短，根据即可证得，可得，从而证明方案的正确． 【详解】[发现] 证明：∵为中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴． [应用] 解：如图，取的中点，过点作于点，延长交于点， 线段为新的分割线， 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴根据两条平行线间垂线段最短，此时分割线为最短， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴甲分割出去的土地的面积等于补还给甲的土地的面积，甲和乙的土地面积没有发生改变． 22．（10分）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $