通过构建“三线八角”解决平行线间的拐点问题2025-2026学年人教版数学七年级下册

通过构建“三线八角”解决平行线的拐点问题 摘要：平行线的拐点问题是平行线与相交线的难点，也是初中生第一次遇到作辅助线的常规模型。本文通过用构建“三线八角”的方式剖析平行线的拐点问题，化未知为已知，讲明拐点问题的常规解法，逢“拐点”作平行，构造三角形等辅助线出现的原因。 关键词：平行线；三线八角；辅助线 在常规的教学中，我们更多的在强调遇到拐点问题作辅助线的方法，而忽视了为什么这样做的原因，将问题公式化。学生大多通过记忆模型来解题此类题目，导致学生后期遇到需要辅助线的图形时过于死板和局限。 本文追根朔源，帮助学生认识到解决平行线的本质事实上是在构建“三线八角”，帮助学生寻找到此类问题的思维通法。 1、 追根朔源——平行线相关概念整理 2、 化未知为已知——“一拐点”问题解决策略 拐点问题事实上是由多条截线或截线的一部分相交组成，我们可以通过“作截线或被截线的方法”来构建或寻找出多个“三线八角”模型，化未知为已知，利用平行线的判定和性质来解决问题。本文将通过例题的方式进行进一步的说明。 例1 已知AB∥CD，点E,F分别位于直线AB,CD上，点P是平行线内一点，连接EP和FP. （1） ∠EPF,∠BEP,∠DFP有什么关系？ （2） ∠EPF,∠AEP,∠CFP有什么关系？ 解：（1）解法一：构造被截线 过点P作PM∥AB，根据“平行同一直线的两条直线互相平行”，得到PM∥CD，则有两个关于平行线的三线八角模型，如图所示： 图1 图2 根据“两直线平行，内错角相等”，由图1可得∠BEP=∠MPE，由图2可得∠DFP=∠MPF.则有∠EPF=∠MPE+MPF=∠BEP+∠DFP. 解法二：构造截线 延长EP交CD于点M，则构造出关于平行线AB∥CD的三线八角模型。根据“两直线平行，内错角相等”，有∠BEP=∠FMP；根据“三角形内角和为180°”，有∠FMP+∠DFP=180°—∠FPM；根据“邻补角互补”，有∠EPF=180°—∠FPM；则有∠EPF=∠BEP+∠DFP. （2）∠EPF,∠AEP,∠CFP有什么关系？ 解法一：构造被截线 过点P作PN∥AB，根据“平行同一直线的两条直线互相平行”，得到PN∥CD，则有两个关于平行线的三线八角模型，如图所示： 图1 图2 根据“两直线平行，同旁内角互补”，由图1可得∠AEP+∠MPE=180°，由图2可得∠CFP+∠MPF=180°；则有∠AEP+∠MPE+∠CFP+∠MPF=360°，即∠EPF+∠AEP+∠CFP=360°. 解法二：构造被截线 延长EP交CD于点M，则构造出关于平行线AB∥CD的三线八角模型。根据“两直线平行，同旁内角互补”，有∠AEP=180°—∠FMP；根据“邻补角互补”，有∠CFP=180°—∠PFM,有∠EPF=180°—∠FPM；根据“三角形内角和为180°”，有∠PFM+∠FMP+∠FPM=360°；则有∠EPF+∠AEP+∠CFP=540°—∠PFM—∠FMP—∠FPM=540°—360°=180°. 例2 已知AB∥CD，点E,F分别位于直线AB,CD上，点P是平行外一点，连接EP和FP.问：∠EPF,∠AEP,∠CFP有什么关系？ 解法一：构造被截线 过点P作PM∥AB，根据“平行同一直线的两条直线互相平行”，得到PM∥CD，则有两个关于平行线的三线八角模型，如图所示： 图1 图2 根据“两直线平行，内错角相等”，由图1可得∠AEP=∠MPE，由图2可得∠CFP=∠MPF；则有∠EPF=∠MPE—∠MPF=∠AEP—∠CFP. 解法二：寻找截线 由图不难发现，图中已经存在关于平行线AB∥CD的三线八角模型。所以在此解法中，我们不需要再做辅助线。根据“两直线平行，同位角相等”，有∠CFP=∠EGP；根据“邻补角互补”，有∠AEP=180°—∠GEP；根据“三角形内角和为180°”，有∠EGP+∠EPF=180°—∠GEP；则有∠AEP=∠EGP+∠EPF=∠CFP+∠EPF 3、 由浅入深——“多拐点”问题解决策略 例3 已知AB∥CD，试解决下列问题： （1）∠A＋∠C= （2）∠A＋∠E＋∠C= （3）∠A＋∠E＋∠F＋∠C= （4）试探究∠A＋∠E＋∠F＋…＋∠N＋∠C = 图1 图2 图3 图4 解法：构造被截线 由前文可得我们可以直接过拐点作平行线来构造被截线，易得： （1）∠A＋∠C=180° （2）∠A＋∠E＋∠C=360°，本例题主要对图3和图4进行分析。 如图可作关于图3和图4的辅助线 图3 图4 通过图3辅助线可以将图形分解为3个三线八角模型，故可得四个角的和为180°×3=540°. 通过图4辅助线可以将图形分解为（n-1）个三线八角模型，故可得n个角的和为180°（n-1）. （3）∠A＋∠E＋∠F＋∠C=540° （4）∠A＋∠E＋∠F＋…＋∠N＋∠C =180°（n-1） 4、 归纳小结 面对平行线的拐点问题，我们需要知道构建三线八角是出发点，构建（寻找）截线和被截线是途径，“逢拐点，作平行”和“延长某条线段”是作此类题型的方法总结。题目灵活多变，我们需要紧抓本质，及时选择最合适的辅助线。 学科网（北京）股份有限公司 $