精品解析：四川泸州市龙马潭区尹吉甫学校2025-2026学年八年级下学期 3月综评数学试题

2025-2026学年八年级下学期开学3月综评数学试题 一．选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确． 1. 王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. 维生素D的主要作用是调节钙、磷代谢，促进肠内钙磷吸收和骨质钙化，维持血钙和血磷的平衡等．《中国居民膳食指南》中指出：成人每天维生素D摄入量最大值为，，则数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的外角，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点N，Q．若，则的周长为（ ） A. 8或14 B. 12或10 C. 8或10 D. 10或14 7. 如图，是的中线，为的中点，已知的面积是12，则的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，．若，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 如图，甲、乙、丙三位同学作线段的垂直平分线．其中作法正确的（ ） A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙 D. 甲、乙、丙 10. 若关于的分式方程的解为，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 11. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，，则阴影部分的面积为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 12. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如，即，均为“和谐数”．在不超过的正整数中，所有“和谐数”之和等于（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 13. 点关于x轴对称的点的坐标为_______． 14. 分解因式：2x2﹣8=_______ 15. 若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 16. 已知分式的值为0，小虎说应该有，但老师却说他的答案是错误的，你觉得正确答案是_____． 17. 在平面直角坐标系中，，，C是x轴上一点，连接，．当的值最小时，C的坐标为____． 三．解答题（18-19题每题8分，20-22题每题10分，23-25题每题12分） 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，于点D，E为上一点，连接交于点F，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上． （1）作出关于y轴对称的； （2）写出关于x轴对称的的顶点、的坐标； （3）在y轴上有一点P，满足，请直接写出点P的坐标． 22. “走，去永州，品道州脐橙”，道州脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．2023年11月29日在“道州脐橙”品牌推介活动上，某水果批发商用40000元购进一批道州脐橙后，供不应求，该水果批发商又用90000元购进第二批这种道州脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元． （1）该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱多少元？ （2）若两次购进的道州脐橙按同一价格售出，两批脐橙全部销售完后，获利不低于17000元，则销售单价至少是多少元？ 23. 阅读材料： 海伦公式出现在古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）的《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两本书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式是阿基米德（，约公元前287—前212）发现的，但习惯成自然，我们仍称之为海伦秦九韶公式： 如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积为 ． 下面我们对海伦公式进行证明． 分析：从三角形最基本的计算公式入手，运用勾股定理推导出海伦公式． 证明：如图，设，，，，，，，． 根据勾股定理，得 解方程组得 ， ① ② 于是 （1）阅读材料中的解方程组得①______． （2）[理解证明]利用问题（1）中公式与模仿阅读材料从②开始再次证明海伦秦九韶公式． （3）[尝试应用]如图，在中，，，，请你用海伦秦九韶公式求的面积． 24. 如图，某校有一块长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形草坪，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． （1）用含a，b的代数式表示需要硬化的面积并化简； （2）若，，硬化成本为每平方米50元，则完成硬化共需多少钱 在学习了“三角形的证明”一章后，小颖对特殊三角形进行了如下研究： 如图1，和都是等边三角形． 25. 【探究发现】 （1）与是否全等?若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 【拓展运用】 26. （2）若B、C、E三点不在一条直线上，，，，求的长． 27. （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且和的边长分别为2和3，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期开学3月综评数学试题 一．选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确． 1. 王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：选项A中，∵ ，不满足两边之和大于第三边， ∴ 不能组成三角形，符合题意； 选项B中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意； 选项C中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意； 选项D中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意． 3. 维生素D的主要作用是调节钙、磷代谢，促进肠内钙磷吸收和骨质钙化，维持血钙和血磷的平衡等．《中国居民膳食指南》中指出：成人每天维生素D摄入量最大值为，，则数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选B ． 4. 计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 5. 如图，是的外角，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵，， ． 故选：C． 6. 在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点N，Q．若，则的周长为（ ） A. 8或14 B. 12或10 C. 8或10 D. 10或14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得：，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可得到答案． 【详解】解：当点在点左侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴； 当点在点的右侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴ ； 综上所述，的周长为10或14， 故选：D． 7. 如图，是的中线，为的中点，已知的面积是12，则的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的中线，可求出的面积，再根据为的中点，即可求出的面积，即可求解． 【详解】解：∵是的中线，的面积是12， ∴的面积是的面积的一半，即， ∵为的中点， ∴的面积是的面积的一半，即． 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍，结合图形直观解答． 8. 如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，．若，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，利用含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，甲、乙、丙三位同学作线段的垂直平分线．其中作法正确的（ ） A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙 D. 甲、乙、丙 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的判定，根据作图与线段的垂直平分线的判定方法可得答案． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的判定： 甲、乙、丙三位同学作线段的垂直平分线都正确； 故选：D 10. 若关于的分式方程的解为，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了已知分式方程的解求参数，将代入分式方程，求解的值即可． 【详解】解：由题意得 , 解得， 故选：D． 11. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，，则阴影部分的面积为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，、、分别是、的中点，进一步利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：点是的中点， ， 、、分别是、的中点， ，， ∴， ，且， ， 即阴影部分的面积为． 12. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如，即，均为“和谐数”．在不超过的正整数中，所有“和谐数”之和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，一元一次不等式的应用，由，解得，可得在不超过的正整数中，“和谐数”共有个，依此列式计算即可求解，弄清题中“和谐数”的定义是解题的关键． 【详解】解：设相邻的两个奇数为，， 则，解得：， ∴时，，， 则在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为： ， 故选：． 二．填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 13. 点关于x轴对称的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据横坐标不变，纵坐标变成相反数计算即可，熟练掌握对称点的坐标特点是解题的关键． 【详解】∵点关于x轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 14. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 15. 若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【答案】1 【解析】 【详解】解：因为二次三项式的二次项系数为，一个因式为，所以设另一个因式为，则， 展开等式右侧得：， 比较多项式两边同类项的系数，可得：， 解得， 代入得． 16. 已知分式的值为0，小虎说应该有，但老师却说他的答案是错误的，你觉得正确答案是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，先求解使分子为0的x的值，再排除使分母为0的x的值，即可得到正确结果. 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：. 17. 在平面直角坐标系中，，，C是x轴上一点，连接，．当的值最小时，C的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直与坐标轴的直线上点的坐标特征，解一元一次方程，解题的关键是掌握垂直于x轴的直线上的点，纵坐标相等． 根据题意得出当轴时，取最小值，则，则当点A、B、C三点在同一条直线上时，推出轴，列出方程，求出a的值，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴点A在直线上，点B在直线上， ∵C是x轴上一点， ∴当轴时，取最小值，则， ∴当点A、B、C三点在同一条直线上时，的值最小时， 此时，则轴， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 三．解答题（18-19题每题8分，20-22题每题10分，23-25题每题12分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根、立方根、去绝对值运算、实数的混合运算分别计算即可得到答案． 【详解】解：原式 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： = ， 当时， 原式． 20. 如图，在中，于点D，E为上一点，连接交于点F，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可求出，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 由勾股定理得：， ． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上． （1）作出关于y轴对称的； （2）写出关于x轴对称的的顶点、的坐标； （3）在y轴上有一点P，满足，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求． （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特点写出点、的坐标即可． （3）根据求出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴点P的坐标或． 22. “走，去永州，品道州脐橙”，道州脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．2023年11月29日在“道州脐橙”品牌推介活动上，某水果批发商用40000元购进一批道州脐橙后，供不应求，该水果批发商又用90000元购进第二批这种道州脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元． （1）该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱多少元？ （2）若两次购进的道州脐橙按同一价格售出，两批脐橙全部销售完后，获利不低于17000元，则销售单价至少是多少元？ 【答案】（1）该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱80元 （2）销售单价至少是98元 【解析】 【分析】（1）设该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱x元，则第二批道州脐橙每箱元，根据某水果批发商用40000元购进一批道州脐橙后，供不应求，该水果批发商又用90000元购进第二批这种道州脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设销售单价是m元，根据两批脐橙全部销售完后，获利不低于17000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱x元，则第二批道州脐橙每箱元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱80元； 【小问2详解】 解：设销售单价是m元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：销售单价至少是98元． 23. 阅读材料： 海伦公式出现在古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）的《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两本书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式是阿基米德（，约公元前287—前212）发现的，但习惯成自然，我们仍称之为海伦秦九韶公式： 如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积为 ． 下面我们对海伦公式进行证明． 分析：从三角形最基本的计算公式入手，运用勾股定理推导出海伦公式． 证明：如图，设，，，，，，，． 根据勾股定理，得 解方程组得 ， ① ② 于是 （1）阅读材料中的解方程组得①______． （2）[理解证明]利用问题（1）中公式与模仿阅读材料从②开始再次证明海伦秦九韶公式． （3）[尝试应用]如图，在中，，，，请你用海伦秦九韶公式求的面积． 【答案】（1） （2） 于是 ； （3） 【解析】 【分析】本题题型属于阅读理解型分式的加减运算，利用二次根式的性质化简，解题的关键是通过阅读理解材料中所给的定义以及概念，再运用材料中的知识点解决对应的问题即可． （1）将代入求解即可； （2）仿照②的运算方法求解即可； （3）根据海伦秦九韶公式求解即可． 【小问1详解】 将代入得， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，，， ∴ ∴的面积． 24. 如图，某校有一块长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形草坪，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． （1）用含a，b的代数式表示需要硬化的面积并化简； （2）若，，硬化成本为每平方米50元，则完成硬化共需多少钱 【答案】（1） （2）7000元 【解析】 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）用长方形的面积减去中间正方形的面积，得出结果即可； （2）根据，，求出活动场地的面积，然后再求出硬化需要的费用即可． 【小问1详解】 解：由图得，阴影面积为： ； 【小问2详解】 解：把，代入得：（平方米）， 即阴影部分的面积为平方米， 完成硬化共需要的费用为： （元）， 答：完成硬化共需元钱． 在学习了“三角形的证明”一章后，小颖对特殊三角形进行了如下研究： 如图1，和都是等边三角形． 25. 【探究发现】 （1）与是否全等?若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 【拓展运用】 26. （2）若B、C、E三点不在一条直线上，，，，求的长． 27. （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且和的边长分别为2和3，直接写出的长． 【答案】25. 全等，理由是： 和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， 26. 27. 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）依据等式的性质可证明，然后依据可证明； （2）由（1）知：，利用勾股定理计算的长，可得的长； （3）过点A作于F，先根据平角的定义得，利用特殊角的三角函数可得和的长，最后根据勾股定理可得的长． 【25题详解】 略 【26题详解】 解：由（1）得：， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，，， ， ； 【27题详解】 解：如图，过点A作于F， B、C、E三点在一条直线上， ， 和都是等边三角形， ， ， 在中，， ，，， 在中，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $