精品解析：四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

字节精准教育联盟·AI智联 2026年春季学期寒假素养提升反馈调查 高二数学 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（ ） A 450 B. 480 C. 504 D. 618 3. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列求导数计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有个. A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 6. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 若双曲线：，，分别为左､右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 点的运动轨迹为双曲线的一部分 C. 若，，则 D. 不存点，使得取得最小值 8. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（　　） A. 和同一个函数 B. 不等式的解集是 C. 若命题为假命题，则实数的取值范围为 D. 设，且，则的最小值是 10. 已知函数最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 函数在区间上单调递增 D. 曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为4π 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（ ） A. 若为棱的中点，则平面截正方体所得截面为梯形 B. 若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C. 若为的中点，则平面 D. 若为侧面的中心，则过且与垂直的平面截正方体所得截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线，在双曲线右支上任意一点处作双曲线的切线，交在第一、四象限的渐近线分别于，两点，为坐标原点.当时，该双曲线的离心率为________________. 13. 在四面体中，为正三角形，平面且，若A，B，C，D均在半径为4的球O的球面上，则四面体的体积为________． 14. 现定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与互为“零度函数”.已知函数与在区间上互为“零度函数”，则的取值范围为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．其中15题13分，16~17题各15分，18~19题各17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角对边分别为，，. （1）求； （2）若，求的面积. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间及极值； （3）若集合恰有一个元素，直接写出的取值范围. 17. 已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； （3）记，，证明：． 18. 如图，在平面四边形ABCD中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿AC翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，求三棱锥的体积； （3）求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值． 19. 已知椭圆上有一点为的左、右焦点，连，若焦距为2，其三角形面积的最大值为，试回答下列问题 （1）求的标准方程以及离心率 （2）作直线的交点，已知有动直线交椭圆于C、D两点（在点的右边），设点，点的纵坐标分别为，且.设为左顶点，连RC，RD交于G、T两点（在的右边），若，则试证明过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 字节精准教育联盟·AI智联 2026年春季学期寒假素养提升反馈调查 高二数学 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若复数满足， 则， 故复数的虚部为. 2. 已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（ ） A. 450 B. 480 C. 504 D. 618 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可分为甲不是最后一名和不是第一名也不是最后一名，两种情况讨论，结合排列数公式，即可求解. 【详解】由题意，若甲是最后一名，有种不同的方法； 若甲不是第一名也不是最后一名，则， 所以6人的名次排列的不同方法的种数为中不同的排列方法. 故选：C. 3. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断.此题判断充分性时，需结合均值不等式；判断必要性时，用特殊值即可. 【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立； 当时，满足，但此时，必要性不成立． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 下列求导数计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可． 【详解】解：A．，正确，不符合题意； B．，错误，符合题意； C．，正确，不符合题意； D．，正确，不符合题意． 故选：B． 5. 由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有个. A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据三位数的各数位上的数之和能被3整除，这个三位数能被3整除，可以把0、1、2、3、4五个数字进行分类：（1）由0，1，2三个数组成三位数；（2）由0，2，4三个数组成三位数；（3）由1，2，3三个数组成三位数；（4）由2，3，4三个数字组成三位数，分别求出每类情况下能组成的三位数的个数，再用加法计算原理求解出本题. 【详解】根据能被3整除的三位数的特征，可以进行分类，共分以下四类： （1）由0，1，2三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数； （2）由0，2，4三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数； （3）由1，2，3三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数； （4）由2，3，4三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数，所以由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有个数. 【点睛】本题考查了排列与组合的应用、加法计数原理、乘法计数原理，掌握能被3整除的三位数的特征是解题的关键，考查了分类讨论思想. 6. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 7. 若双曲线：，，分别为左､右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 点的运动轨迹为双曲线的一部分 C. 若，，则 D. 不存在点，使得取得最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的方程直接写出渐近线方程判定A；由圆的切线长定理和双曲线的定义可求得的横坐标，可判定B；由双曲线的定义和余弦定理，利用等面积法求得的纵坐标，由正弦和求交点，求得的坐标，运用向量的坐标表示，可得，可判定C；若与关于y轴对称，结合双曲线的定义及对称性可得，可判定D. 【详解】由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误； 设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得， 由双曲线的定义可得：，即， 又，解得，则的横坐标为， 由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误； 由且，解得：， ∴，则， ∴，同理可得：， 设直线，直线，联立方程得， 设△的内切圆的半径为，则，解得，即， ∴， 由，可得，解得，故， C正确； 若与关于y轴对称，则且，而， ∴，故要使的最小，只需三点共线即可， 易知：，故存在使得取最小值，D错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：D选项求动点到两定点的距离最值，应用双曲线的定义及对称性将动点转移到两定点之间的某条曲线上，结合两定点间的线段最短求最小值． 8. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答. 【详解】在数列中，由，得， 则当时， ， 因此，显然满足上式， 所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确有（　　） A. 和是同一个函数 B. 不等式的解集是 C. 若命题为假命题，则实数的取值范围为 D. 设，且，则的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】由相同函数的定义可判断A，由分式不等式解法计算可判断B，由一元二次不等式的恒成立可判断C，由基本不等式乘1法可判断D. 【详解】对于A和定义域为，且，是同一个函数，故A正确； 对于B，不等式，即，即， 解得， 即不等式的解集是，故B错误； 对于C，若命题为假命题， 则为真命题 若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以， 解得，解得：， 综上实数的取值范围为，故C错误； 对于D，因为，由， 因，所以，当且仅当时，等号成立， 即的最小值是，故D正确． 故选：AD 10. 已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 函数在区间上单调递增 D. 曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为4π 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦函数的最小正周期公式并结合函数的平移规则判断A，直接求解函数值判断B，利用整体代入法判断C，将面积合理转化为矩形面积，利用矩形面积公式判断D即可. 【详解】对于A，由题意得的最小正周期为，则，解得， 则，将的图象向右平移个单位长度， 得到， 因为，所以，故A错误， 对于B，由题意得，故B正确， 对于C，令， 解得，当时，， 则函数在区间上单调递增， 即在区间上单调递增，故C正确， 对于D，结合正弦函数性质可得，函数在一个完整周期内， 则曲线与直线，，所围成封闭图形的面积转化如下， 变为一个长为，宽为2的矩形的面积，由矩形面积公式得，故D错误. 故选：BC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（ ） A. 若为棱的中点，则平面截正方体所得截面为梯形 B. 若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C. 若为的中点，则平面 D. 若为侧面的中心，则过且与垂直的平面截正方体所得截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积公式、线面平行的判定、线面垂直等知识逐项计算即可. 【详解】连接并延长交于，连接并延长，易得交于，连接，得截面，易得四边形为梯形（如图1），故A正确； 若为上一点，如图2因为，易证平面，所以点到平面的距离不变， 又的面积固定不变，所以三棱锥，即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图3，取的中点，连接，则，显然平面即为平面，且与平面相交，故C错误； 如图4，若为的中心，即为的中点，取的中点，连接，则. 易证，所以，又平面，所以平面，所以， 同理可证，进而可证平面，所以过且与垂直的平面截正方体所得截面为， 易求，所以的面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线，在双曲线右支上任意一点处作双曲线的切线，交在第一、四象限的渐近线分别于，两点，为坐标原点.当时，该双曲线的离心率为________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出双曲线C在点P处的切线方程，与两渐近线联立求出两点坐标，由此证明点P是线段AB的中点，可得，计算求得，得解. 【详解】如图，设双曲线在点处的切线为，切线与轴交于点， 根据题意设点在双曲线第一象限，由，得， 所以， 则在点处的切线斜率为， 所以在点的切线方程为， 令，得，所以点. 设点，，渐近线方程为，联立， 解得，所以点， 同理可得， 又，，所以点是线段的中点， 所以，即得， 即，解得. 又，所以，即，所以双曲线的离心率 故答案为： 13. 在四面体中，为正三角形，平面且，若A，B，C，D均在半径为4的球O的球面上，则四面体的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题作出图象，结合外接球半径求出，从而可求解. 【详解】由题作出图象，如图，由为正三角形，则为的外接圆圆心， 且外接圆半径， 因，，，都在同一外接球上，则设外接球半径为， 因为平面取中点为，过作，且使， 连接，则可得四边形是矩形，则点即为外接球球心， 则，即， 所以，则. 故答案为：. 14. 现定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与互为“零度函数”.已知函数与在区间上互为“零度函数”，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】令，结合“零度函数”的定义，将原问题转化为在上存在零点，利用导数知识即可求得m的取值范围. 【详解】令，则， 因为与在上为“零度函数”，所以在上存在零点， 即在上存在零点．又因为， 当且时，因为，所以，所以在上单调递增，则， 此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，当时，，所以， 当时，令，则， 所以在上单调递增，且，故在上存在唯一零点，设为，使得， 所以当时，；当时，； 又当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上存在唯一极小值点， 因为，所以，又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上为“零度函数”． 综上，的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．其中15题13分，16~17题各15分，18~19题各17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，，. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据求角B即可； （2）根据两角和差公式求，再由正弦定理求出边，进而可得面积 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 且，即， 又因为，则，可得， 且，所以； 则，可得， 又因，所以. 【小问2详解】 因为，， 则， 又因为，则， 所以 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间及极值； （3）若集合恰有一个元素，直接写出的取值范围. 【答案】（1） （2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 极小值为，极大值为. （3）或 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后求出切点的导数值和函数值，进而即可求出切线方程. （2）根据导数的符号求出函数的单调区间以及极值点和极值. （3）根据（2）的单调性和极值画出函数图象，进而可确定的范围. 【小问1详解】 因为函数，对函数求导得. 所以，因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，则或. 当时，因为，所以，此时在上单调递增； 当时，因为，所以或，此时在，上单调递减； 所以在处取得极小值为， 在处取得极大值为. 【小问3详解】 因为集合恰有一个元素，即只有一个根. 也就是说函数与只有一个交点. 由（2）可画出函数的图象如下所示， 因为，时，， 所以根据图象可以得出当或时，集合恰有一个元素. 17. 已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； （3）记，，证明：． 【答案】（1） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可； （2）对已知等式进行递推，结合等差数列的性质，利用前项和与第项之间的关系进行求解即可； （3）利用放缩法进行运算证明即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，或， 当时，：，，，显然，，成等比数列， 当时，，，，显然，，不能成等比数列， 所以，于是； 【小问2详解】 令， ， 两式相减，得， 因为等差数列的公差为，且， 所以， 即，即， ，所以数列的前项和， 当时，， 显然不适合，所以； 【小问3详解】 ，即， 由， 于是 . 18. 如图，在平面四边形ABCD中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿AC翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，求三棱锥的体积； （3）求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明、，推导出平面，进而得到； （2）在中根据几何关系求出、的值，再得到三棱锥的高，进一步得到三棱锥的体积； （3）方法一：以B为原点建立空间直角坐标系，设，通过向量法求解出二面角余弦值与的关系，再通过均值不等式即可求解；方法二：以E点为原点建立空间直角坐标系，设，通过向量法求解出二面角余弦值与的关系，再通过均值不等式即可求解． 【小问1详解】 取的中点，连接，， 因为，，且的中点为，所以，， 又，，平面，故平面， 由于平面，故． 【小问2详解】 当时，由，则， 因为，，故，，， 所以，由于，故， 设三棱锥的高为， 所以，三棱锥体积为． 【小问3详解】 以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 过点S作平面的垂线，垂足为，连接， 设为翻折过程中所旋转的角度，则， ，，， 故，，，， ，则， 设平面的法向量为，则， ， 取，则，所以， 设平面的法向量，，，则， ， 取，则，， 设平面与平面的夹角为， 故， ， 令，，故， 由于，故，当且仅当，即时取等号，故平面与平面夹角余弦值的最小值为． 方法二：以E点为原点建立如图所示的空间坐标系， 设，，，，，则，，， 设面法向量，则， ， 令，， 同理可得面法向量， ， 令， 因为，其中取“=”，即此时，所以． 19. 已知椭圆上有一点为的左、右焦点，连，若焦距为2，其三角形面积的最大值为，试回答下列问题 （1）求的标准方程以及离心率 （2）作直线交点，已知有动直线交椭圆于C、D两点（在点的右边），设点，点的纵坐标分别为，且.设为左顶点，连RC，RD交于G、T两点（在的右边），若，则试证明过定点． 【答案】（1），离心率为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）易知，，求出b，结合公式计算即可求解； （2）易知直线的斜率存在，易证当直线的斜率为0时不符合题意；当直线的斜率不为0时，设，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出.根据直线的点斜式方程表示直线RC、RD，求出，代入，化简计算即可证明. 【小问1详解】 由题意知，得. 当A为椭圆E的上下顶点时，的面积取到最大值， 即，解得，所以， 所以椭圆E的标准方程为，离心率为. 【小问2详解】 由题意知，设，得， 则直线的斜率存在，当直线的斜率为0时，， 直线方程为，直线方程为， 令，得， 所以， 则， 解得，此时的方程为，不符合题意. 当直线的斜率不为0时，设， ，消去x，得， 则， 得， . 直线方程为，直线方程为， 令，得， 所以， 则 ， 解得，所以，即， 所以直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $