1.4 平行线的判定 讲义 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

1.4 平行线的判定 讲义 基础知识梳理 1. 平行线的核心判定方法（五大判定定理） 判定方法 文字语言 符号语言（以直线 、 被截线 所截为例） 图形模型特征 判定1（同位角） 同位角相等，两直线平行 若 ，则 角的边构成“F”形 判定2（内错角） 内错角相等，两直线平行 若 ，则 角的边构成“Z”形 判定3（同旁内角） 同旁内角互补，两直线平行 若 ，则 角的边构成“U”形 判定4（平行传递性） 平行于同一条直线的两条直线互相平行 若 ，，则 三条直线呈“平行链” 判定5（垂直共性） 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 若 ，，则 两条直线都与截线垂直 2. 判定的核心逻辑 本质：由角的数量关系（相等或互补）推导出线的位置关系（平行），即“由数定形”。 关键：先识别“三线八角”（截线+两条被截线），再判断角的类型，最后应用对应判定定理。 3. 常见图形识别步骤 找截线：连接两个角的公共边或相关边，截线是判断角关系的“桥梁”； 定被截线：两个角分别所在的两条直线（非截线）； 判角型：根据“F”“Z”“U”形判断同位角、内错角、同旁内角； 用定理：根据角的关系（相等/互补），得出线平行的结论。 典例精讲 模块一：同位角相等，两直线平行 典例1（基础识别+判定） 题目：如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）∠1＝∠5；（2）∠2+∠7＝180°；（3）∠4＝∠7；（4）∠3＝∠6；其中能判定a∥b的条件的序号是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（3）（4） 【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论． 【解析】（1）∵∠1＝∠5， ∴a∥b； （2）∵∠2+∠7＝180°，∠2+∠3＝180°， ∴∠3＝∠7， ∴a∥b； （3）由∠4＝∠7得不到a∥b； （4）由∠3＝∠6得不到a∥b， 故选：A． 变式1如图，已知，交于点D，平分，，求证：．    【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由平角的定义得到，则可由同位角相等，两直线平行证明． 【详解】证明：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 模块二：内错角相等，两直线平行 典例2（内错角识别+判定） 题目：如图，下列条件：①∠1＝∠5；②∠2＝∠6；⑧∠3＝∠7；④∠4＝∠8．其中能判定AB∥CD的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【分析】根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可． 【解析】①∵∠1＝∠5， ∴AB∥CD，能判定AB∥CD； ②∵∠2＝∠6， ∴AD∥BC，不能判定AB∥CD； ③∵∠3＝∠7； ∴AD∥BC，不能判定AB∥CD； ④∵∠4＝∠8， ∴AB∥CD，能判定AB∥CD． 故选：C． 变式2如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连结． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定： （1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 模块三：同旁内角互补，两直线平行 典例3（同旁内角识别+判定） 题目：如图，下列条件：①；②；③；④中，能判断直线的有　3　个． 【答案】3． 【解答】解：， ，故①符合题意； 当时，无法判断，故②不符合题意； ， ，故③符合题意； ， ，故④符合题意； 故答案为：3． 变式3如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【解答】证明：， ， ， ， 平分， ， ， ． 模块四：平行传递性与垂直共性 典例4（平行传递性） 题目：已知直线 、、、 在同一平面内，且 ，，，求证：。 【解析】由平行公理的推论（判定4）：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行； 已知 ，，故 （判定4）； 又 ，故 （判定4）； 结论：多条直线依次平行，首尾两条直线也平行（平行传递性的推广）。 变式4（垂直共性） 题目：下列说法中，正确的是（　　） （1）在同一平面内，不相交的两条直线是平行线； （2）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； （3）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （4）若直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c平行． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（3）（4） 【分析】利用两直线的位置关系、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解析】（1）同一平面内不相交的两条直线是平行线，故正确，符合题意； （2）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，符合题意； （3）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，不符合题意； （4）在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c不相交，错误，不符合题意， 故选：A． 模块五：平行判定方法的综合应用 典例5（2025•太原校级开学）如图所示，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，则a与c平行吗？为什么？ 【分析】根据“同位角相等，两直线平行”得a∥b，根据“同旁内角互补，两直线平行”得b∥c，最后根据平行公理的推论即可得出结论． 【解答】解：a∥c． 理由：∵∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）， ∵∠3+∠4＝180°， ∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行）， ∴a∥c（平行于同一直线的两直线相互平行）． 变式5（2025春•黔西市校级月考）如图，若∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，则直线AB与CD平行吗？直线BC与DE平行吗？请说明理由． 【分析】由对顶角相等得到∠ABC＝∠1＝60°，因此∠ABC+∠2＝180°，即可证明AB∥CD；由邻补角的性质求出∠BCD＝60°，得到∠BCD＝∠D，即可证明BC∥DE． 【解答】解：直线AB∥CD，直线BC∥DE，理由如下： ∵∠ABC＝∠1＝60°， ∴∠ABC+∠2＝60°+120°＝180°， ∴AB∥CD； ∵∠2＝120°， ∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°， ∴∠BCD＝∠D＝60°， ∴BC∥DE． 【核心解题技巧】 “三线八角”快速定位法： a. 截线特征：与两个角都有公共边，或在两个角之间“穿插”； b. 角型速记：同位角“F”、内错角“Z”、同旁内角“U”，看到图形特征直接对应角类型。 多角转化技巧： a. 利用对顶角相等、邻补角互补，将未知角转化为已知角； b. 多个判定定理结合时，逐步推导（如典例3中先由同旁内角互补推平行，再由平行推角相等，最后再推平行）。 辅助线技巧： 遇到“折线”图形（如“M”形、“N”形），过拐点作截线的平行线，构造“三线八角”模型。 【易错提醒】 混淆角的类型： · 误将非“三线八角”中的角当作同位角/内错角/同旁内角（如四条直线形成的角）； · 漏看截线，导致角关系判断错误（如将被截线当作截线）。 忽略“同一平面内”条件： · 应用判定5（垂直共性）时，忽略“同一平面内”，不同平面内垂直于同一直线的直线不一定平行。 颠倒判定逻辑： · 误将“两直线平行，同位角相等”（性质）用于判定平行，正确逻辑是“同位角相等，两直线平行”（判定）。 遗漏角的转化： · 直接用未知角的关系判定平行，未通过对顶角、邻补角等转化为已知角关系。 题型一．平行线的判定方法-同位角相等 1．（2025春•杭州期中）如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（　　） A．AD∥BC B．AB∥CD C．AD∥EF D．EF∥BC 【答案】C 【分析】∠1与∠2是直线AD、EF被直线DC所截形成的同位角，又∠1＝∠2，所以AD∥EF． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）． 故选：C． 2．（2025春•咸丰县校级月考）下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴BC∥AD，不符合题意； B、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合题意； C、如图，∵∠1＝∠2，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥CD，符合题意； D、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合题意， 故选：C． 3．（2025春•义乌市期末）已知直线l1，l2，l3，l4，l5及它们的夹角如图所示，则图中互相平行的直线是（　　） A．l1∥l2 B．l2∥l3 C．l1∥l3 D．l4∥l5 【答案】D 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 【解答】解：由题目的条件和图形不能判定l1∥l2，l2∥l3，l1∥l3，故A、B、C不符合题意； ∵101°角的邻补角是79°， ∴l4和l5被l1截成的同位角相等， ∴l4∥l5． 故D符合题意． 故选：D． 4．（2025春•嵊州市期末）以下四种沿AB折叠的方法中，若∠1＝∠2＝α，一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理，逐一进行分析，即可解答． 【解答】解：A、∠1＝∠2，不能判定两直线平行，不符合题意； B、∠1＝∠2，不能判定两直线平行，不符合题意； C、∠1＝∠2，不能判定两直线平行，不符合题意； D、如图，∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， 根据同位角相等，两直线平行进行判定，故正确，符合题意； 故选：D． 5．（2024春•城关区校级期中）如图，木棒AB，CD分别与EF在G，H处用可旋转的螺丝拧紧，已知∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，若将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转的度数是（　　） A．10° B．20° C．80° D．100° 【答案】B 【分析】根据平行线的判定方法，进行求解即可． 【解答】解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD， ∴至少要旋转的度数是：100°﹣80°＝20°； 故选：B． 6．（2025春•集美区期末）如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理：　 　 ． 【答案】同位角相等，两直线平行． 【分析】同位角相等，两直线平行，由此即可得到答案． 【解答】解：∵应用直角曲尺画的直线与已知直线形成的同位角是直角， ∴用这个工具画平行线的道理是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 7．（2025春•金凤区校级期中）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据是　 　 ． 【答案】同位角相等，两直线平行． 【分析】根据同位角相等，两直线平行进行推理论证即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 8．（2025春•黔西市校级月考）如图，直线a，b，c被直线l所截，已知∠1＝105°，∠2＝75°，∠3＝105°，直线a与b平行吗？请说明理由． 【分析】由邻补角的性质求出∠4＝75°，得到∠2＝∠4，即可证明a∥b． 【解答】解：直线a∥b，理由如下： ∵∠1＝105°， ∴∠4＝180°﹣∠1＝75°， ∴∠2＝∠4＝75°， ∴a∥b． 9．（2024秋•雁塔区校级期末）已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，∠DCB＝40°，∠AED＝80°， 求证：DE∥BC． 【分析】根据角平分线的定义得到∠ACB＝2∠BCD，根据平行线的性质即可得到答案． 【解答】证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠BCD＝80°， ∵∠AED＝80°， ∴∠AED＝∠ACB＝80°， ∴DE∥BC． 10．（2025春•祁阳市期末）如图所示，直线AF，BD相交于点C，过点C作射线CE，使得CD平分∠ECF，连接AB，若∠B＝∠ACB，试说明AB∥CE． 【分析】根据角平分线定义得出∠ECD＝∠DCF，根据对顶角相等得出∠ACB＝∠DCF，结合已知条件∠B＝∠ACB，等量代换得出∠B＝∠ECD，然后根据同位角相等，两直线平行即可证明AB∥CE． 【解答】证明：∵CD平分∠ECF， ∴∠ECD＝∠DCF， ∵∠ACB＝∠DCF，∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠ECD， ∴AB∥CE． 11．（2025秋•宜阳县期末）如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝∠2，AE∥BF吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵AC⊥AE（　 　 ）， ∴∠EAC＝90°（　 　 ）， 同理可得∠FBD＝90°（　 　 ）， ∴∠EAC＝∠FBD（　 　 ）， 又∵∠1＝∠2（　 　 ）， ∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（　 　 ）， 即∠（ ）＝∠（ ）， ∴（ ）∥（ ）（　 　 ）． 【分析】根据题干信息逐一完善推理过程与推理依据即可． 【解答】解：∵AC⊥AE（ 已知）， ∴∠EAC＝90°（垂直的定义）， 同理可得∠FBD＝90°（垂直的定义）， ∴∠EAC＝∠FBD（等量代换）， 又∵∠1＝∠2（ 已知）， ∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（等式的性质）， 即∠EAB＝∠FBG， ∴（AE）∥（ BF）（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：已知，垂直的定义，垂直的定义，等量代换，已知，等式的性质，EAB，FBG，AE，BF，同位角相等，两直线平行． 题型二．平行线的判定方法-内错角相等 1．（2025春•诸暨市期中）如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，其依据是　 　 ． 【答案】内错角相等，两直线平行． 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 2．（2025春•鹿城区校级期中）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝45°，转动木条a，当∠2＝ 　 　 时，木条a与b平行． 【答案】45°． 【分析】由内错角相等，两直线平行，即可得到答案． 【解答】解：由内错角相等，两直线平行得到：当∠2＝∠1＝45°时，a∥b． 故答案为：45°． 3．（2025春•杭州校级月考）如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是 　 　 ． 【答案】内错角相等，两直线平行． 【分析】根据同位角相等，两直线平行进行解答即可． 【解答】解：由作图可知，∠NCE＝∠DOM， ∴CN∥OA（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 4．（2025春•市北区校级期中）如图，要使AC∥BD，可以添加的条件是　 　 （填写一个你认为正确的即可）． 【答案】∠C＝∠CBD（答案不唯一）． 【分析】根据平行线的判定方法即可解答． 【解答】解：∵∠C＝∠CBD， ∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：∠C＝∠CBD（答案不唯一）． 5．（2025春•绍兴期中）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠1+∠2＝90°；③∠2＝2∠1；④∠ACB＝∠1+∠3；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 　 　 ．（填序号） 【答案】①④⑤． 【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题． 【解答】解：∵∠1＝25.5°，∠2＝55°30′，∠ABC＝30°， ∴∠ABC+∠1＝55.5°＝55°30′＝∠2， ∴m∥n，故①符合题意； ∵∠1+∠2＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故②不符合题意； ∵∠2＝2∠1，∠ABC＝30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故③不符合题意； 过点C作CE∥m， ∴∠3＝∠4， ∵∠ACB＝∠1+∠3，∠ACB＝∠4+∠5， ∴∠1＝∠5， ∴EC∥n， ∴m∥n，故④符合题意； ∵∠ABC＝∠2﹣∠1， ∴∠2＝∠ABC+∠1， ∴m∥n，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 6．（2025春•天台县期末）如图，已知BE平分∠ABC，且∠1＝∠2．试判断DE与BC是否平行，并说明理由． 【分析】先根据角平分线的定义得出∠1＝∠CBE，再由∠1＝∠2得出∠2＝∠CBE，进而可得出结论． 【解答】解：DE∥BC，理由如下： ∵BE平分∠ABC， ∴∠1＝∠CBE， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠CBE， ∴DE∥BC． 7．（2025春•上城区月考）如图，已知CD⊥DA，AB⊥DA，∠1＝∠2，试判断直线DF与AE关系，并说明理由． 【分析】根据垂直定义可得∠CDA＝∠DAB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠3＝∠4，再根据内错角相等，两直线平行可直接证出结论． 【解答】DF∥AE， 证明：∵CD⊥DA于点D，AB⊥DA于点A， ∴∠CDA＝∠DAB＝90°， ∵∠1＝∠2． ∴∠3＝∠4， ∴DF∥AE． 8．（2025春•恩施市期中）如图，∠BAF＝46°，∠ACE＝136°，CE⊥CD．问CD∥AB吗？为什么？ 【分析】根据已知条件求出关于直线CD，AB的内错角的度数，看它们是否相等，以此来判定两直线是否平行． 【解答】解：CD∥AB． 证明：∵CE⊥CD， ∴∠DCE＝90°， ∵∠ACE＝136°， ∴∠ACD＝360°﹣136°﹣90°＝134°， ∵∠BAF＝46°， ∴∠BAC＝180°﹣∠BAF＝180°﹣46°＝134°， ∴∠ACD＝∠BAC， ∴CD∥AB． 9．（2025春•菏泽期末）如图，已知直线EF与直线AB，CD分别相交于点E，F，GF⊥EF于点F，若∠1＝38°，∠2＝52°，直线AB与CD平行吗？请说明理由． 【分析】由垂直的定义得到∠EFG＝90°，由平角定义求出∠EFD＝38°，由对顶角的性质得到∠AEF＝∠1＝38°，因此∠AEF＝∠EFD，推出AB∥CD． 【解答】解：直线AB与CD平行，理由如下： ∵GF⊥EF于点F， ∴∠EFG＝90°， ∵∠2＝52°， ∴∠EFD＝180°﹣90°﹣52°＝38°， ∵∠AEF＝∠1＝38°， ∴∠AEF＝∠EFD， ∴AB∥CD． 10．（2025春•武昌区月考）请填空，完成下面的证明． 如图，∠AHF+∠FMD＝180°，GH平分∠AHF，MN平分∠DME．求证：GH∥MN． 证明：∵∠AHF+∠FMD＝180°，（已知） 　 +∠FMD＝180°，（邻补角互补） ∴　 ．（　 　 ） ∵GH平分∠AHF，MN平分∠DME， ∴　 　 ∠AHF，∠2＝ ．（　 　 ） ∴∠1＝∠2（　 　 ）． ∴GH∥MN（　 　 ）． 【分析】通过先证明∠AHF＝∠DME，再利用角平分线的定义，通过等量代换得到∠1＝∠2，最后通过内错角相等，两直线平行证明结论，根据证明思路补全过程即可． 【解答】证明：∵∠AHF+∠FMD＝180°（已知）， ∠DME+∠FMD＝180°（邻补角互补）， ∴∠AHF＝∠DME（同角的补角相等）． ∵GH平分∠AHF，MN平分∠DME， ∴，（角平分线的定义）． ∴∠1＝∠2（等量代换）． ∴GH∥MN（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：∠DME；∠AHF＝∠DME；同角的补角相等；∠1；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行． 题型三．平行线的判定方法-同旁内角互补 1．（2025春•鄞州区校级月考）如图，下列说法正确的是（　　） A．若∠1＝∠2，则BC∥DE B．若∠2＝∠4，则BC∥DE C．若∠1+∠2＝180°，则BC∥DE D．若∠1+∠3＝180°，则BC∥DE 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：由∠1＝∠2，不能判定BC∥DE， 故A不符合题意； 由∠2＝∠4，不能判定BC∥DE， 故B不符合题意； 如图， ∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠5＝180°， ∴∠2＝∠5， ∴BC∥DE， 故C符合题意； 由∠1+∠3＝180°，不能判定BC∥DE， 故D不符合题意； 故选：C． 2．（2025春•西湖区期末）如图，直线a，b被直线c所截，若要使a∥b，则需具备条件（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3+∠4＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180° 【答案】D 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、两个角是对顶角，不能判定a∥b，故A不符合题意； B、邻补角互补不能判定a∥b，故B不符合题意； C、两个角是同旁内角，∠1+∠4＝180°才能判定a∥b，∠1＝∠4不能判定a∥b，故C不符合题意； D、由同旁内角互补，两直线平行判定a∥b，故D符合题意． 故选：D． 3．（2025春•义乌市月考）如图，直线AB、CD被直线DE所截，AB与CD相交于点F，若∠D＝103°，当∠EFB＝　 　 °时，AB∥DC． 【答案】77 【分析】根据对顶角相等∠EFB＝∠AFD，同旁内角互补两直线平行，可得∠AFD+∠D＝180°，结合题意即可求解． 【解答】解：∵∠EFB＝∠AFD， 当∠AFD+∠D＝180°时，AB∥DC； ∵∠D＝103°， ∴∠AFD＝77°， ∴∠EFB＝77°． 故答案为：77． 4．（2025春•银川校级期中）如图，已知∠AOD+∠C＝180°，直线AB与CE有什么位置关系？说明理由． 【分析】根据对顶角的性质并结合已知可得出∠BOC+∠C＝180°，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得出结论． 【解答】解：AB∥CE， 理由：∵∠AOD+∠C＝180°，∠AOD＝∠BOC， ∴∠BOC+∠C＝180°， ∴AB∥CE（同旁内角互补，两直线平行）． 5．（2025春•思明区校级期中）如图，∠1＝32°，∠B＝58°，AB⊥AC．试说明AD∥BC． 【分析】先求解∠BAD＝122°，证明∠DAB+∠B＝180°即可． 【解答】解：∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°． 又∵∠1＝32°， ∴∠BAD＝∠1+∠BAC＝32°+90°＝122°， ∵∠B＝58°， ∴∠DAB+∠B＝122°+58°＝180°， ∴AD∥BC． 6．（2025春•临平区月考）如图，AC垂直BC于点C，∠A＝30°，∠BCD＝60°． （1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）若BD垂直CD于点D，求∠CBD的度数． 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行解答即可； （2）根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【解答】解：（1）AB∥CD． 理由如下：∵AC⊥BC，∠A＝30°，∠BCD＝60°， ∴∠ACB＝90°，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°， ∴∠A+∠ACD＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）； （2）∵BD⊥CD， ∴∠D＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠BCD＝30°． 7．（2025春•松山区期末）在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据． 已知：如图，AB⊥BC，AE⊥ED，若∠1+∠2＝90°． 求证：AB∥CD． 证明：∵AB⊥BC， ∴∠1+　 ＝90°（垂直的定义）， 又∵AE⊥DE， ∴∠ +∠ ＝90°， ∴∠1＝∠ （ 　 　 ）， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2+∠ ＝90°， ∴∠ ＝90°， ∴∠ +∠ ＝180°， ∴AB∥CD（ 　 　 ）． 【分析】先由垂直的定义得∠1+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，整理得∠1＝∠DEC，因为∠1+∠2＝90°，所以∠2+∠DEC＝90°，故∠B+∠C＝180°，运用同旁内角互补，两条直线平行得AB∥CD，即可作答． 【解答】证明：∵AB⊥BC， ∴∠1+∠AEB＝90°（垂直的定义）， 又∵AE⊥DE， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠1＝∠DEC（同角的余角相等）， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2+∠DEC＝90°， ∴∠C＝90°， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两条直线平行）． 故答案为：∠AEB；AEB；DEC；DEC；同角的余角相等；DEC；C；B；C；同旁内角互补，两条直线平行． 题型四．平行线的判定方法的综合应用 1．（2025春•新昌县期中）如图，下列条件中，不能判定直线l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠2＝∠3 D．∠4＝∠5 【答案】C 【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案． 【解答】解：A、∵∠1＝∠3， ∴直线l1∥l2，故此选项不合题意； B、∵∠2+∠4＝180°， ∴直线l1∥l2，故此选项不合题意； C、∠2＝∠3，不能得出直线l1∥l2，故此选项符合题意； D、∵∠4＝∠5， ∴直线l1∥l2，故此选项不合题意； 故选：C． 2．（2025春•枣阳市期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A 【答案】D 【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论． 【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意． B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意． C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意． D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（2025春•绍兴期中）如图，在下列四组条件中，能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠ABD＝∠BDC C．∠3＝∠4 D．∠BAD+∠ABC＝180° 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， 故A不符合题意； ∵∠ABD＝∠BDC， ∴AB∥CD， 故B符合题意； ∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC， 故C不符合题意； ∵∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， 故D不符合题意； 故选：B． 4．（2025春•临平区月考）如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件，使得a∥b，该条件可以是 　 　 ． 【答案】∠1＝∠3（答案不唯一） 【分析】在图中发现直线a，b被直线c所截，故可按内错角相等，两直线平行补充条件． 【解答】解：∵∠1＝∠3， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：∠1＝∠3（答案不唯一）． 5．（2025春•东阳市月考）如图，下列条件中：①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的条件有 　 　 （填写序号）． 【答案】③④ 【分析】根据平行线的判定方法，进行判断即可． 【解答】解：∵∠B+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC，故①不符合题意； ∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC，故②不符合题意； ∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD，故③符合题意； ∵∠B＝∠5， ∴AB∥CD，故④符合题意； 故答案为：③④． 6．（2025春•西城区校级期中）如图，当∠1＝∠　 　 时，AB∥DC；当∠DCB+∠ ＝180°时，AD∥BC． 【答案】4，D． 【分析】由平行线的判定方法，即可得到答案． 【解答】解：∵内错角相等，两直线平行， ∴当∠1＝∠4时，AB∥DC； ∵同旁内角互补，两直线平行， ∴当∠DCB+∠D＝180°时，AD∥BC． 故答案为：4，D． 7．（2025春•金凤区校级期中）如图，直线a和b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠1+∠4＝180°；④∠2+∠5＝180°　 　 （填序号）． 【答案】③． 【分析】平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．分组讨论，判定出a∥b即可． 【解答】解：①∠1和∠2是邻补角，∠1＝∠2不能判定a∥b； ②∠2和∠3是同旁内角，∠2＝∠3不能判定a∥b； ③∵∠1+∠4＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝∠4． ∴a∥b； ④∠2和∠5是内错角，∠2+∠5＝180°， 不能判定a∥b． 故答案为：③． 8．（2025春•禅城区校级月考）如图，下列条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．其中一定能判定AB∥CD的条件有　 　 （填写所有正确的序号）． 【答案】①③④． 【分析】根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行”，逐项分析判断，即可求解． 【解答】①∠B+∠BCD＝180°，所以AB∥CD，符合题意； ②因为∠1＝∠2，所以AD∥BC，不符合题意； ③因为∠3＝∠4，所以AB∥CD，符合题意； ④因为∠B＝∠5，所以AB∥CD，符合题意． 故答案为：①③④． 9．（2025春•武陟县期中）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°，其中能说明纸条上下两边平行的有　 　 ．（填序号） 【答案】②③④． 【分析】根据平行线的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：∠1＝∠3（对顶角相等），不能判断纸条两边平行，所以结论①错误，不符合题意； ∵∠2＝∠3， ∴纸条两边平行（内错角相等，两直线平行），所以结论②正确，符合题意； ∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠4＝180°﹣90°＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴纸条两边平行（同位角相等，两直线平行），所以结论③正确，符合题意； ∵∠4+∠5＝180°， ∴纸条两边平行（同旁内角互补，两直线平行），所以结论④正确，符合题意． 故答案为：②③④． 10．（2025春•绍兴期末）学习了平行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是 　 　 ．（把所有正确的序号填上） ①同位角相等，两直线平行； ②两直线平行，内错角相等； ③同旁内角互补，两直线平行； ④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 【答案】①③． 【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件判定求解即可． 【解答】解：如图， 第一次折叠后，得到的折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直； 将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直； ∵AB⊥a，CD⊥a， ∴∠BMN＝∠AMN＝∠CPB＝∠DPB＝90°， ∵∠CPB＝∠BMN， ∴MN∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠DPB＝∠AMN， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， ∵∠CPB+∠AMN＝180°， ∴a∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：①③． 11．（2025春•涉县期末）一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　 　 °时，DE∥AB． 【答案】30或150 【分析】分两种情况进行讨论：①当∠BAD＝∠ADE时；②当BAD+∠BAD＝180°时，利用平行线的判定条件即可求解． 【解答】解：由题意得∠ADE＝30°，∠ACB＝∠DAE＝90°， ①如图， 当∠BAD＝∠ADE＝30°时，可得AB∥DE； ②如图， 当∠BAD+∠D＝180°时，可得AB∥DE， 则∠BAD＝180°﹣∠D＝150°． 故答案为：30或150． 12．（2025春•婺源县期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 　 　 时，CD与AB平行． 【答案】2秒或38秒． 【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【解答】解：分三种情况： 如图①，AB与CD在EF的两侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF， 即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°， 解得t＝2； 此时（180°﹣60°）÷6＝20， ∴0＜t＜20； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°， 解得t＝38， 此时（360°﹣60°）÷6＝50， ∴20＜t＜50； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°， 解得t＝38， 此时t＞50， ∵38＜50， ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为2秒或38秒时，CD与AB平行． 故答案为：2秒或38秒． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 平行线的判定 讲义 基础知识梳理 1. 平行线的核心判定方法（五大判定定理） 判定方法 文字语言 符号语言（以直线 、 被截线 所截为例） 图形模型特征 判定1（同位角） 同位角相等，两直线平行 若 ，则 角的边构成“F”形 判定2（内错角） 内错角相等，两直线平行 若 ，则 角的边构成“Z”形 判定3（同旁内角） 同旁内角互补，两直线平行 若 ，则 角的边构成“U”形 判定4（平行传递性） 平行于同一条直线的两条直线互相平行 若 ，，则 三条直线呈“平行链” 判定5（垂直共性） 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 若 ，，则 两条直线都与截线垂直 2. 判定的核心逻辑 本质：由角的数量关系（相等或互补）推导出线的位置关系（平行），即“由数定形”。 关键：先识别“三线八角”（截线+两条被截线），再判断角的类型，最后应用对应判定定理。 3. 常见图形识别步骤 找截线：连接两个角的公共边或相关边，截线是判断角关系的“桥梁”； 定被截线：两个角分别所在的两条直线（非截线）； 判角型：根据“F”“Z”“U”形判断同位角、内错角、同旁内角； 用定理：根据角的关系（相等/互补），得出线平行的结论。 典例精讲 模块一：同位角相等，两直线平行 典例1（基础识别+判定） 题目：如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）∠1＝∠5；（2）∠2+∠7＝180°；（3）∠4＝∠7；（4）∠3＝∠6；其中能判定a∥b的条件的序号是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（3）（4） 变式1如图，已知，交于点D，平分，，求证：．    模块二：内错角相等，两直线平行 典例2（内错角识别+判定） 题目：如图，下列条件：①∠1＝∠5；②∠2＝∠6；⑧∠3＝∠7；④∠4＝∠8．其中能判定AB∥CD的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 变式2如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连结． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 模块三：同旁内角互补，两直线平行 典例3（同旁内角识别+判定） 题目：如图，下列条件：①；②；③；④中，能判断直线的有　3　个． 变式3如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 模块四：平行传递性与垂直共性 典例4（平行传递性） 题目：已知直线 、、、 在同一平面内，且 ，，，求证：。 变式4（垂直共性） 题目：下列说法中，正确的是（　　） （1）在同一平面内，不相交的两条直线是平行线； （2）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； （3）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （4）若直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c平行． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（3）（4） 模块五：平行判定方法的综合应用 典例5（2025•太原校级开学）如图所示，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，则a与c平行吗？为什么？ 变式5（2025春•黔西市校级月考）如图，若∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，则直线AB与CD平行吗？直线BC与DE平行吗？请说明理由． 【核心解题技巧】 “三线八角”快速定位法： a. 截线特征：与两个角都有公共边，或在两个角之间“穿插”； b. 角型速记：同位角“F”、内错角“Z”、同旁内角“U”，看到图形特征直接对应角类型。 多角转化技巧： a. 利用对顶角相等、邻补角互补，将未知角转化为已知角； b. 多个判定定理结合时，逐步推导（如典例3中先由同旁内角互补推平行，再由平行推角相等，最后再推平行）。 辅助线技巧： 遇到“折线”图形（如“M”形、“N”形），过拐点作截线的平行线，构造“三线八角”模型。 【易错提醒】 混淆角的类型： · 误将非“三线八角”中的角当作同位角/内错角/同旁内角（如四条直线形成的角）； · 漏看截线，导致角关系判断错误（如将被截线当作截线）。 忽略“同一平面内”条件： · 应用判定5（垂直共性）时，忽略“同一平面内”，不同平面内垂直于同一直线的直线不一定平行。 颠倒判定逻辑： · 误将“两直线平行，同位角相等”（性质）用于判定平行，正确逻辑是“同位角相等，两直线平行”（判定）。 遗漏角的转化： · 直接用未知角的关系判定平行，未通过对顶角、邻补角等转化为已知角关系。 题型一．平行线的判定方法-同位角相等 1．（2025春•杭州期中）如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（　　） A．AD∥BC B．AB∥CD C．AD∥EF D．EF∥BC 2．（2025春•咸丰县校级月考）下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•义乌市期末）已知直线l1，l2，l3，l4，l5及它们的夹角如图所示，则图中互相平行的直线是（　　） A．l1∥l2 B．l2∥l3 C．l1∥l3 D．l4∥l5 4．（2025春•嵊州市期末）以下四种沿AB折叠的方法中，若∠1＝∠2＝α，一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•城关区校级期中）如图，木棒AB，CD分别与EF在G，H处用可旋转的螺丝拧紧，已知∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，若将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转的度数是（　　） A．10° B．20° C．80° D．100° 6．（2025春•集美区期末）如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理：　 　 ． 7．（2025春•金凤区校级期中）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据是　 　 ． 8．（2025春•黔西市校级月考）如图，直线a，b，c被直线l所截，已知∠1＝105°，∠2＝75°，∠3＝105°，直线a与b平行吗？请说明理由． 9．（2024秋•雁塔区校级期末）已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，∠DCB＝40°，∠AED＝80°， 求证：DE∥BC． 10．（2025春•祁阳市期末）如图所示，直线AF，BD相交于点C，过点C作射线CE，使得CD平分∠ECF，连接AB，若∠B＝∠ACB，试说明AB∥CE． 11．（2025秋•宜阳县期末）如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝∠2，AE∥BF吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵AC⊥AE（　 　 ）， ∴∠EAC＝90°（　 　 ）， 同理可得∠FBD＝90°（　 　 ）， ∴∠EAC＝∠FBD（　 　 ）， 又∵∠1＝∠2（　 　 ）， ∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（　 　 ）， 即∠（ ）＝∠（ ）， ∴（ ）∥（ ）（　 　 ）． 题型二．平行线的判定方法-内错角相等 1．（2025春•诸暨市期中）如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，其依据是　 　 ． 2．（2025春•鹿城区校级期中）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝45°，转动木条a，当∠2＝ 　 　 时，木条a与b平行． 3．（2025春•杭州校级月考）如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是 　 　 ． 4．（2025春•市北区校级期中）如图，要使AC∥BD，可以添加的条件是　 　 （填写一个你认为正确的即可）． 5．（2025春•绍兴期中）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠1+∠2＝90°；③∠2＝2∠1；④∠ACB＝∠1+∠3；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 　 　 ．（填序号） 6．（2025春•天台县期末）如图，已知BE平分∠ABC，且∠1＝∠2．试判断DE与BC是否平行，并说明理由． 7．（2025春•上城区月考）如图，已知CD⊥DA，AB⊥DA，∠1＝∠2，试判断直线DF与AE关系，并说明理由． 8．（2025春•恩施市期中）如图，∠BAF＝46°，∠ACE＝136°，CE⊥CD．问CD∥AB吗？为什么？ 9．（2025春•菏泽期末）如图，已知直线EF与直线AB，CD分别相交于点E，F，GF⊥EF于点F，若∠1＝38°，∠2＝52°，直线AB与CD平行吗？请说明理由． 10．（2025春•武昌区月考）请填空，完成下面的证明． 如图，∠AHF+∠FMD＝180°，GH平分∠AHF，MN平分∠DME．求证：GH∥MN． 证明：∵∠AHF+∠FMD＝180°，（已知） 　 +∠FMD＝180°，（邻补角互补） ∴　 ．（　 　 ） ∵GH平分∠AHF，MN平分∠DME， ∴　 　 ∠AHF，∠2＝ ．（　 　 ） ∴∠1＝∠2（　 　 ）． ∴GH∥MN（　 　 ）． 题型三．平行线的判定方法-同旁内角互补 1．（2025春•鄞州区校级月考）如图，下列说法正确的是（　　） A．若∠1＝∠2，则BC∥DE B．若∠2＝∠4，则BC∥DE C．若∠1+∠2＝180°，则BC∥DE D．若∠1+∠3＝180°，则BC∥DE 2．（2025春•西湖区期末）如图，直线a，b被直线c所截，若要使a∥b，则需具备条件（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3+∠4＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180° 3．（2025春•义乌市月考）如图，直线AB、CD被直线DE所截，AB与CD相交于点F，若∠D＝103°，当∠EFB＝　 　 °时，AB∥DC． 4．（2025春•银川校级期中）如图，已知∠AOD+∠C＝180°，直线AB与CE有什么位置关系？说明理由． 5．（2025春•思明区校级期中）如图，∠1＝32°，∠B＝58°，AB⊥AC．试说明AD∥BC． 6．（2025春•临平区月考）如图，AC垂直BC于点C，∠A＝30°，∠BCD＝60°． （1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）若BD垂直CD于点D，求∠CBD的度数． 7．（2025春•松山区期末）在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据． 已知：如图，AB⊥BC，AE⊥ED，若∠1+∠2＝90°． 求证：AB∥CD． 证明：∵AB⊥BC， ∴∠1+　 ＝90°（垂直的定义）， 又∵AE⊥DE， ∴∠ +∠ ＝90°， ∴∠1＝∠ （ 　 　 ）， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2+∠ ＝90°， ∴∠ ＝90°， ∴∠ +∠ ＝180°， ∴AB∥CD（ 　 　 ）． 题型四．平行线的判定方法的综合应用 1．（2025春•新昌县期中）如图，下列条件中，不能判定直线l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠2＝∠3 D．∠4＝∠5 2．（2025春•枣阳市期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A 3．（2025春•绍兴期中）如图，在下列四组条件中，能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠ABD＝∠BDC C．∠3＝∠4 D．∠BAD+∠ABC＝180° 4．（2025春•临平区月考）如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件，使得a∥b，该条件可以是 　 　 ． 5．（2025春•东阳市月考）如图，下列条件中：①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的条件有 　 　 （填写序号）． 6．（2025春•西城区校级期中）如图，当∠1＝∠　 　 时，AB∥DC；当∠DCB+∠ ＝180°时，AD∥BC． 7．（2025春•金凤区校级期中）如图，直线a和b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠1+∠4＝180°；④∠2+∠5＝180°　 　 （填序号）． 8．（2025春•禅城区校级月考）如图，下列条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．其中一定能判定AB∥CD的条件有　 　 （填写所有正确的序号）． 9．（2025春•武陟县期中）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°，其中能说明纸条上下两边平行的有　 　 ．（填序号） 10．（2025春•绍兴期末）学习了平行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是 　 　 ．（把所有正确的序号填上） ①同位角相等，两直线平行； ②两直线平行，内错角相等； ③同旁内角互补，两直线平行； ④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 11．（2025春•涉县期末）一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　 　 °时，DE∥AB． 12．（2025春•婺源县期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 　 　 时，CD与AB平行． 学科网（北京）股份有限公司 $