1.3 平行线 讲义 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

1.3 平行线 讲义 基础知识梳理 1. 平行线的概念 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 注意：①“同一平面内”是前提（异面直线不相交但也不平行）；②“不相交”是核心特征（直线无限延伸，无交点）。 表示方法：若直线 与直线 平行，记作 ，读作“ 平行于 ”。 图形示意：画平行线时，需用平行符号“∥”标注。 2. 同一平面内直线的位置关系 位置关系 特征 举例 相交 有且只有一个公共点（含垂直，垂直是相交的特殊情况） 两条交叉的公路 平行 无公共点，且永不相交 铁轨的两条轨道 结论：同一平面内，任意两条直线的位置关系只有相交或平行，二者必居其一。 3. 平行公理（基本事实） 公理内容：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 注意：①“直线外一点”（若点在直线上，无法作平行线）；②“有且只有一条”（存在性+唯一性）。 图形示意：已知直线 和直线外一点 ，过 只能作一条直线 ，使得 。 4. 平行公理的推论（平行线的传递性） 推论内容：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号语言：若 ，，则 。 逻辑说明：平行关系具有传递性，可推广到多条直线（如 ，，，则 ）。 典例精讲 模块一：平行线的概念辨析 典例1（概念辨析，中等） 题目：下列说法正确的是（　　） A．不相交的两条线段是平行线 B．不相交的两条射线是平行线 C．不相交的两条直线是平行线 D．同一平面内，不相交的两条直线是平行线 变式1下列说法错误的是（　　） A．同一平面内，两条直线的位置关系只有平行或相交 B．铁轨的两条轨道是平行线的实际应用 C．若直线 ，则 与 没有公共点 D．过直线上一点可以作无数条直线与已知直线平行 变式2下列说法：①用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短；②射线AB与射线BA表示同一条射线；③若AB＝BC，则B为线段AC的中点；④不相交的两条直线叫做平行线；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 模块二：平行公理的应用 典例2（平行公理的唯一性，中等） 题目：下列说法中，符合平行公理的是（　　） A．过直线 上一点 作 的平行线，能作1条 B．过直线 外一点 作 的平行线，能作无数条 C．过直线 外一点 作 的平行线，能作1条 D．过直线 外一点 作 的平行线，不能作 变式3在同一平面内，有三条直线 、、，若 ，，则下列结论正确的是（　　） A． 与 相交 B． 与 平行 C． 与 可能相交也可能平行 D． 与 垂直 【核心解题技巧】 概念辨析技巧： a. 判断是否为平行线，需同时满足“同一平面内”“直线”“不相交”三个条件，缺一不可； b. 线段、射线的“不相交”不代表所在直线平行，需延长后判断是否有交点。 平行公理应用技巧： a. 区分“直线上一点”与“直线外一点”：直线上一点无法作已知直线的平行线，直线外一点有且只有1条； b. 作图时用“直尺+三角板平移法”，确保平行线的准确性。 推论应用技巧： a. 平行传递性仅适用于“同一平面内”的直线，可快速判断多条直线的平行关系； b. 遇到“多条直线都平行于同一直线”的条件，直接用推论得出这些直线互相平行。 【易错提醒】 忽略“同一平面内”前提： · 误将“不相交的两条直线是平行线”当作真命题，忽略“同一平面内”的限制（异面直线不相交也不平行）。 混淆“直线”与“线段/射线”： · 认为“不相交的两条线段是平行线”，忘记线段有端点，延长后可能相交。 违背平行公理： · 误说“过直线上一点可以作1条直线与已知直线平行”，或“过直线外一点可以作无数条直线与已知直线平行”。 推论应用错误： · 未确认“同一平面内”，就用传递性判断多条直线平行（不同平面内的直线不适用）。 题型一．平行线 1．（2025春•迁安市期中）已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•莲都区校级月考）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　） A．平行或相交 B．平行或垂直 C．平行、垂直或相交 D．相交或垂直 3．（2025秋•北林区校级期中）在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（　　） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 4．（2025春•锡林郭勒盟月考）下列生活实例中：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025春•杭州校级月考）下列图形中，AB不平行于CD的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025春•宝坻区校级月考）平行用符号 　 　 表示，垂直符号用 　 　 表示，直线AB与CD平行，可以记作为 　 　 ． 7．（2024春•岷县校级月考）在同一平面内，直线L1与L2满足下列条件： （1）L1与L2没有公共点，则L1与L2　 　 ； （2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2　 　 ； （3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2　 　 ． 题型二．平行公理及推论 1．（2025春•抚宁区期末）如图，在同一平面内，过点A作直线m的平行线，能画（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 2．（2025春•庄浪县期中）同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（　　） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．没有确定关系 3．（2025春•齐齐哈尔期中）下列说法错误的个数是（　　） ①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离； ④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025春•成都校级月考）下列语句正确的有（　　）个． ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a． A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2025秋•衡阳期末）在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将铁路线取直，这样做的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线垂直于已知直线 D．经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 6．（2025春•迁安市期中）如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 7．（2025秋•临汾期末）如图是一个可折叠的衣架，AB是水平地面，点A，B，M，N，P在同一平面内．当∠1＝∠2且∠3＝∠4时，可判定点N，P，M在同一条直线上，判定依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8．若AB∥CD，AB∥EF，则CD ∥EF ，理由是　 　 ． 9．在同一平面内，与已知直线a平行的直线有 条；而经过直线外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有 条． 10．下列四种说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段； ③相等的角是对顶角； ④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交． 其中，错误的是 （填序号）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 平行线 讲义 基础知识梳理 1. 平行线的概念 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 注意：①“同一平面内”是前提（异面直线不相交但也不平行）；②“不相交”是核心特征（直线无限延伸，无交点）。 表示方法：若直线 与直线 平行，记作 ，读作“ 平行于 ”。 图形示意：画平行线时，需用平行符号“∥”标注。 2. 同一平面内直线的位置关系 位置关系 特征 举例 相交 有且只有一个公共点（含垂直，垂直是相交的特殊情况） 两条交叉的公路 平行 无公共点，且永不相交 铁轨的两条轨道 结论：同一平面内，任意两条直线的位置关系只有相交或平行，二者必居其一。 3. 平行公理（基本事实） 公理内容：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 注意：①“直线外一点”（若点在直线上，无法作平行线）；②“有且只有一条”（存在性+唯一性）。 图形示意：已知直线 和直线外一点 ，过 只能作一条直线 ，使得 。 4. 平行公理的推论（平行线的传递性） 推论内容：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号语言：若 ，，则 。 逻辑说明：平行关系具有传递性，可推广到多条直线（如 ，，，则 ）。 典例精讲 模块一：平行线的概念辨析 典例1（概念辨析，中等） 题目：下列说法正确的是（　　） A．不相交的两条线段是平行线 B．不相交的两条射线是平行线 C．不相交的两条直线是平行线 D．同一平面内，不相交的两条直线是平行线 【答案】D。 【解析】选项A：线段有端点，不相交的线段延长后可能相交，故不是平行线； 选项B：射线有一个端点，无限延伸后可能相交，故不是平行线； 选项C：未强调“同一平面内”，异面直线不相交但不平行，故错误； 选项D：符合平行线的定义（同一平面内+不相交+直线），正确。 变式1下列说法错误的是（　　） A．同一平面内，两条直线的位置关系只有平行或相交 B．铁轨的两条轨道是平行线的实际应用 C．若直线 ，则 与 没有公共点 D．过直线上一点可以作无数条直线与已知直线平行 【答案】D。 【解析】选项A：同一平面内直线位置关系为平行或相交，正确； 选项B：铁轨轨道满足“同一平面内+不相交”，是平行线应用，正确； 选项C：平行线的定义就是无公共点，正确； 选项D：平行公理要求“过直线外一点”，过直线上一点无法作已知直线的平行线，错误。 变式2下列说法：①用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短；②射线AB与射线BA表示同一条射线；③若AB＝BC，则B为线段AC的中点；④不相交的两条直线叫做平行线；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A。 【分析】根据平行线、相交线等相关知识解答． 【解析】①用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点确定一条直线，此结论错误； ②射线AB与射线BA的起点不同、方向不同，不是同一射线，此结论错误； ③若AB＝BC，则B不一定是线段AC的中点，此结论错误； ④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，此结论错误； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此结论错误； 故选：A． 模块二：平行公理的应用 典例2（平行公理的唯一性，中等） 题目：下列说法中，符合平行公理的是（　　） A．过直线 上一点 作 的平行线，能作1条 B．过直线 外一点 作 的平行线，能作无数条 C．过直线 外一点 作 的平行线，能作1条 D．过直线 外一点 作 的平行线，不能作 【答案】C。 【解析】平行公理核心：过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行； 选项A：点在直线上，无法作平行线，错误； 选项B：“无数条”违背唯一性，错误； 选项C：符合平行公理（直线外一点+1条），正确； 选项D：“不能作”违背存在性，错误。 变式3在同一平面内，有三条直线 、、，若 ，，则下列结论正确的是（　　） A． 与 相交 B． 与 平行 C． 与 可能相交也可能平行 D． 与 垂直 【答案】B。 【解析】依据平行公理的推论：两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行； 已知 ，，故 ，结论唯一。 【核心解题技巧】 概念辨析技巧： a. 判断是否为平行线，需同时满足“同一平面内”“直线”“不相交”三个条件，缺一不可； b. 线段、射线的“不相交”不代表所在直线平行，需延长后判断是否有交点。 平行公理应用技巧： a. 区分“直线上一点”与“直线外一点”：直线上一点无法作已知直线的平行线，直线外一点有且只有1条； b. 作图时用“直尺+三角板平移法”，确保平行线的准确性。 推论应用技巧： a. 平行传递性仅适用于“同一平面内”的直线，可快速判断多条直线的平行关系； b. 遇到“多条直线都平行于同一直线”的条件，直接用推论得出这些直线互相平行。 【易错提醒】 忽略“同一平面内”前提： · 误将“不相交的两条直线是平行线”当作真命题，忽略“同一平面内”的限制（异面直线不相交也不平行）。 混淆“直线”与“线段/射线”： · 认为“不相交的两条线段是平行线”，忘记线段有端点，延长后可能相交。 违背平行公理： · 误说“过直线上一点可以作1条直线与已知直线平行”，或“过直线外一点可以作无数条直线与已知直线平行”。 推论应用错误： · 未确认“同一平面内”，就用传递性判断多条直线平行（不同平面内的直线不适用）。 题型一．平行线 1．（2025春•迁安市期中）已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形，根据平行线和相交线的定义对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A．观察图形可知：直线m和n相交，故此选项不符合题意； B．观察图形可知直线m，直线n互相平行，故此选项符合题意； C．观察图形可知直线m⊥n，故此选项不符合题意； D．观察图形可知：直线m和n相交，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025春•莲都区校级月考）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　） A．平行或相交 B．平行或垂直 C．平行、垂直或相交 D．相交或垂直 【答案】A 【分析】根据直线的位置关系解答． 【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：平行或相交． 故选：A． 3．（2025秋•北林区校级期中）在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（　　） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【答案】C 【分析】根据平行线的定义即可得出答案． 【解答】解：在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是平行． 故选：C． 4．（2025春•锡林郭勒盟月考）下列生活实例中：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的定义即可确定． 【解答】解：属于平行线的有：①③④，共3个， 故选：C． 5．（2025春•杭州校级月考）下列图形中，AB不平行于CD的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选项A、C是长方形，B是平移图形，D中AB与CD相交． 【解答】解：因为选项A、C是长方形，B是平移图形，D中AB与CD相交， ∴AB不平行于CD的是D， 故选：D． 6．（2025春•宝坻区校级月考）平行用符号 　 　 表示，垂直符号用 　 　 表示，直线AB与CD平行，可以记作为 　 　 ． 【答案】∥，⊥，AB∥CD． 【分析】根据平行和垂直符号以及平行线的表示方法求解即可． 【解答】解：平行用符号∥表示，垂直符号用⊥示，直线AB与CD平行，可以记作为AB∥CD， 故答案为：∥，⊥，AB∥CD． 7．（2024春•岷县校级月考）在同一平面内，直线L1与L2满足下列条件： （1）L1与L2没有公共点，则L1与L2　 　 ； （2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2　 　 ； （3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2　 　 ． 【答案】平行；相交；重合 【分析】根据平行、相交和重合的定义就可以解决． 【解答】解：（1）L1与L2没有公共点，则L1与L2平行． （2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2相交． （3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2重合． 题型二．平行公理及推论 1．（2025春•抚宁区期末）如图，在同一平面内，过点A作直线m的平行线，能画（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”即可得出答案． 【解答】解：根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”得：在同一平面内，过点A作直线m的平行线，只能画一条． 故选：B． 2．（2025春•庄浪县期中）同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（　　） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．没有确定关系 【答案】B 【分析】作出图形，根据平行公理的推论解答． 【解答】解：如图，∵a∥b，a⊥c， ∴c⊥b， 又∵b⊥d， ∴c∥d． 故选：B． 3．（2025春•齐齐哈尔期中）下列说法错误的个数是（　　） ①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离； ④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行公理，点到直线的距离，可得答案． 【解答】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误； ③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③错误； ④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④正确； 故选：C． 4．（2025春•成都校级月考）下列语句正确的有（　　）个． ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据平行线的定义、平行公理、垂线的性质对各小题分析判断后利用排除法求解即可． 【解答】解：①在同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，故错误，不符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，故错误，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误，不符合题意； ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，正确，符合题意． 故选：D． 5．（2025秋•衡阳期末）在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将铁路线取直，这样做的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线垂直于已知直线 D．经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【分析】根据题中描述的实际问题，结合所学数学知识即可确定答案． 【解答】解：由题中描述可知，这样做的数学道理是“两点之间线段最短”， 故选：B． 6．（2025春•迁安市期中）如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】根据已知条件和平行线的性质对各个选项进行判断即可． 【解答】解：∵MC∥AB，NC∥AB， ∴点M，C，N在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）， ∴A，B，C选项的理由错误，D选项的理由正确， 故选：D． 7．（2025秋•临汾期末）如图是一个可折叠的衣架，AB是水平地面，点A，B，M，N，P在同一平面内．当∠1＝∠2且∠3＝∠4时，可判定点N，P，M在同一条直线上，判定依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【解答】解：当∠1＝∠2时，PM∥AB；∠3＝∠4时，PN∥AB， 根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，M在同一直线上． 故选：C． 8．若AB∥CD，AB∥EF，则CD ∥EF ，理由是　 　 ． 【答案】CD；EF；平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行“进行分析，得出正确答案． 【解答】解：∵AB∥CD，AB∥EF， ∴CD∥EF， 理由是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行， 故答案为平行于同一条直线的两条直线互相平行． 9．在同一平面内，与已知直线a平行的直线有 条；而经过直线外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有 条． 【答案】无数；1 【分析】与已知直线平行的直线有无数条，当过直线外固定点与已知直线平行的直线只有一条． 【解答】解：在同一平面内，与已知直线a平行的直线有无数条； 而经过直线外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有1条． 10．下列四种说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段； ③相等的角是对顶角； ④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交． 其中，错误的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据平行公理、对顶角定义、平行线逐个判断即可． 【解答】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误； ∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误； ∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误； ∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确； 故答案为：①②③． 学科网（北京）股份有限公司 $