10.1 两角和与差的三角函数课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

10.1 两角和与差的三角函数 第10章 三角恒等变换 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 两角和与差的余弦公式 1 两角差的余弦公式 图10.1-1 推导：如图10.1-1,设向量 , ,则 . 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有 . 所以可得 . 6 特别提醒 1.公式中的 ， 都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. 如： . 2.要掌握公式的逆用，如 . 7 2 两角和的余弦公式 推导：在两角差的余弦公式中，用 代替 ，就可以得到 . 8 3 两角和与差的余弦公式的结构特征和记忆技巧 比较公式和 ，可得二者的结构特征： 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. （1）“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； （2）“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反. 9 典例详解 例1-1 [教材改编P56 T6]已知,,则 的值为_ ___. 【解析】,, , , . 10 例1-2 [教材改编P56 练习T4（2）] _ ___. 【解析】 . 11 知识点2 两角和与差的正弦公式 1 两角和的正弦公式 推导：运用两角差的余弦公式 和诱导公式，有 2 两角差的正弦公式 推导：在两角和的正弦公式中,用 代替 ，就可以得到 . . 12 3 两角和与差的正弦公式的结构特征和记忆技巧 公式的结构特征： 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正， 符号相同”. （1）“正余余正”表示展开后的两项分别为两角 的正弦乘余弦、余弦乘正弦； （2）“符号相同”是指展开后两项之间的符号与展开前两角之间的符号相同. 特别提醒 一般情况下,两角和与差的正弦公式不能按分配律展开,即 .比如,当 , 时, , ， . 特殊情形下，二者有可能相等. 13 典例详解 例2-3 ［教材改编P59 T2］计算 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】 ． 14 例2-4 [教材改编P59 T5（1）]求下列各式的值： （1） ; 【解析】 . （2） . 【解析】 . 15 知识点3 化一公式（辅助角公式） 1 辅助角公式 对教材第82页【问题与探究】的深挖 . 16 2 辅助角公式的推导 . 令,,则 , 其中角 的终边所在象限由,的符号确定，角 的值由 确定或由 和 共同确定. 17 3 辅助角公式的应用 通过应用公式 （或 ，此时 ）,将形如 ,不同时为零 的解析式变换为三角函数 （或 ）.这种恒等变换实质上是将 同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函 数式的化简，更是以后研究三角函数性质的常用工具. 18 4 常见辅助角结论 （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） ; （6） . 19 典例详解 例3-5 ［教材改编P56练习T4（3）］计算： ( ) C A.0 B. C. D.2 【解析】原式 . 20 【问题质疑】 你能仿照辅助角公式 的推导过程推 导公式 吗? 提示 . 若令,，则 （其中角 的终边所在象限由,的符号确定，角 的值由 确定）. 上述公式也可以作为辅助角公式进行使用. 21 知识点4 两角和与差的正切公式 1 两角和的正切公式 . 推导：利用公式和 ， 有 . 2 两角差的正切公式 . 推导： . 22 3 两角和与差的正切公式的结构特征 公式的右侧为分式形式，其中分子为 与 的和或差，分母为1 与 的差或和. 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 教材链接 POINT 此内容回答了教材第64页【思考】. 特别提醒 两角和与差的正切公式中， , , , 均不等于 ， 这是由正切函数的定义域决定的. 23 4 和角公式与差角公式 ,,统称为和角公式，,, 统称为差角公式,它们 之间具有紧密的联系（有时可以互相转化），这种联系可用框图形式表示，如图 10.1-2所示. 图10.1-2 24 5 正切公式的变形 ; ; ; ; ; . 25 典例详解 例4-6 ［教材改编P65 T1（1）］已知,则 ____. 【解析】由已知得 . 例4-7 ［教材改编P65 T2（3）］ 的值为_________. 【解析】 . 点评 求某些角的正切值时，可以将这些角拆成特殊角的和或差，再利用两角和与 差的正切公式进行求解，但拆角时注意要拆成可求函数值的角. 26 例4-8 [教材改编P64 例1](2025·甘肃省嘉峪关市第一中学月考)设 , 是方 程的两个根，则 的值为( ) A A. B. C.1 D.3 【解析】由根与系数的关系得, ，所以 . 例4-9 化简下列各式: （1）[教材改编P67习题10.1（3）T1（1）] ; 【解析】原式 . （2）[教材改编P65 T2（4）] . 【解析】原式 . 27 重难拓展 知识点5 和差角公式的应用技巧 1 巧用拆角、拼角等技巧 在解决求值问题时，常常需要用到将非特殊角转化为特殊角以及角的拆拼、变 换等技巧，使已知角与所求角之间具有某种关系，如： （1） ； （2） ； （3） ; 28 （4） ; （5） ; （6） . 掌握此类技巧可以减少运算量，提高解题速度与准确性. 29 2 常值代换 用某些特殊角的三角函数或三角函数式代替某些常数，使代换后能运用相关的 公式，这种代换称为常值代换.其中要特别注意的是“1”的代换，如 ， . 另外,还有其他特殊角的三角函数值：,,,,,如 ， ， 等.尤其要注意常值代换在和（差）角 公式中的应用， 例如 ， . 30 典例详解 例5-10 [教材改编P62 T12](2025·江苏省扬州市瓜洲中学月考)已知 , 为锐角，且 ,,则 的值为___. 31 【解析】, , . 由,得 .又 , . （【抓关键】角的拆分） . . . 32 例5-11 (2025·江苏省盐城市期中)化简： _ __. 【解析】原式 . 33 题型解析 03 题型1 利用和（差）角公式求值 1 给角求值 例12 求下列各式的值： （1） ； 【解析】原式 . 35 （2） ； 【解析】原式 （两角和正切公式的变形式） . . . 36 （3） ; 【解析】原式 . 37 （4） . 【解析】 ,又 ,所以 ,所以 . 同理可得 ， 所以原式 . 38 （1） （2） 39 （3） （4） 40 变式1： 你能求 的值吗？ 【解析】由上面的结论可知， ，故 . 变式2： 你能求 的 值吗？ 【解析】 ，则 ，变形得 ， 即 ，同理， ，故原式 . 41 教材深挖 本例第（4）小题是在教材第68页第9题的基础上改编的，所得结论可以推 广到一般情形：若,则 ； 若,则, . 42 解给角求值问题的基本思路 给角求值问题，所给角往往都不是特殊角，解决这类问题的基本思路有： （1）逆用公式或运用公式变形，化为特殊角的三角函数值； （2）化为正、负相消的项，消去求值； （3）分子、分母出现公约数时进行约分求值． 43 解决三角函数求值的四个切入点 （1）观察角的特点．充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待 求角． （2）观察函数特点．向同名函数转化，弦切互化，通常是切化弦． （3）利用辅助角公式：，其中 ． （4）观察结构特点，从整体出发，利用公式变形，并能正用、逆用、交替使用这些 公式． 44 【变式题】 1.化简下列各式： （1） ; 【答案】 , 原式 . 45 （2） . 【答案】原式 . 46 2 给值求值 例13 (2025·河北省衡水市期末)已知，且 ， ，则 ( ) C A. B. C. D. 给什么得 什么 给出 ， 的范围与两个三角函数值，可以判断三角函数式中角的范 围. 求什么想 什么 观察所求三角函数值的角，思考所求角与所给角的关系，通过拼、凑角 将所求角向所给角转化，不同名的三角函数通过诱导公式转化. 差什么找 什么 利用两角和与差的三角函数公式分解所求式，其中未知的三角函数值可 利用同角三角函数关系求解，给正弦求余弦，给余弦求正弦. 47 【解析】因为，所以 ， 因为，所以 ，（确定角的范围，为确定三角函数值的符号做 准备） 因为，所以 , 因为，所以 .（由同角三角函数的关系求余弦值） 所以 . 48 例14 ［教材改编P57 T5］已知 ①, ②,且 , ，则 的值为_ ______. 【解析】, . 又 ,, , （发掘此条件是关键）. 由 ,得 , 化简得， , . . . 49 易错警示 解本题时，若不仔细观察条件，很容易走入以下误区：由 ， 得 ,化简得 . ,, ， ， . 以上解题过程似乎推理严谨，但只要仔细观察便可从及 , 中挖掘出 这一条件，若不注意此处，则会造成错解. 50 解给值求值问题的思路及常用变换 1.解决给值求值型问题的一般思路：观察公式中的量,确定哪些是已知的,哪些是待求 的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的终边所在 的象限确定符号. 2.解决给值求值型问题的关键是找已知式与待求式之间角、运算及函数名的差异,常 见角的变换有： （1） , ; （2）, ; （3）, . 另外，还要特别注意题干中的隐含条件. 51 【变式题】 2.(2025·江苏省苏州市吴江中学月考)已知 ， 均为锐角， ， ，则 ( ) C A. B. C. D.或 【解析】 ， 为锐角，，， ， ，，．又 ， , ]= ． 52 3.(2025·山东省临沂市期中)已知,, , ,则 的值为___. 【解析】由,易知 , 所以由,得 . 由，易知 , 所以由,得 . 所以 ， 所以（ （【巧转换】虽然 不能直接从 , 得到，但可以利 用进行过渡，再利用诱导公式得解）） . . . 53 3 给值求角 例15（1）已知,,且 和 均为钝角，则 的值为( ) D A. B. C.或 D. 【解析】 和 均为钝角, , . （【巧选“名”】若选，则无法确定 是第三象限角还是第四 象限角） . 由 和 均为钝角,得 , . . . 54 （2）已知,,且 ,,则 的值为_____. 【解析】（第一次变角： ） . 而, . ，, , . 而， ， （第二次变角） ， 又, . . . . . 55 56 给值求角的一般步骤 第一步：确定待求角的范围（当角的范围过大时，还需要利用三角函数值的符号或 值的大小缩小角的范围，如（1）中， 为钝角，,则 等）. 第二步：依据角的范围选择恰当的三角函数并求值（所谓恰当的三角函数即该三角 函数在第一步所确定的角的范围内的取值是一对一的，如题（1）中 . 此时选择正弦函数即求 就不合适）. 第三步：由待求角的三角函数值及角的范围求角. 57 选择三角函数求值的原则 ①当角的范围在某一个象限内时，可选择任一三角函数求值. 当角的范围在两个象限内时，如,则选择求 , ,而不选择求 ; ,则选择求 , ,而不选择求 等. ②当三角函数有多种选择时，以易求三角函数值为原则，如题（2）中， ,即可选择求或 ,而条件都是角的正切值，因 此选择求 较易. 58 【变式题】 4.(2025·江苏省南京市第一中学月考)已知， ，且 ，，则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】，， . ， . ，， . ， . 59 题型2 利用和（差）角公式化简三角函数式 例16 化简： . 【解析】原式 . 60 三角函数式化简的要求、方法、技巧 （1）化简三角函数式的标准和要求： ①能求出值的应求出值； ②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少； ③使三角函数式的次数尽可能低； ④使分母中尽量不含三角函数式和根式. （2）化简三角函数式的常用方法： ①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次． 61 （3）化简三角函数式的常用技巧： ①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化； ②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进 行约分； ③注意利用角与角之间的隐含关系; ④注意利用“1”的恒等变形． 62 题型3 利用和（差）角公式证明三角恒等式 1 三角恒等式的证明 例17 ［教材改编P66例4］已知 为斜三角形，求证： . 63 【解析】左边 ， 64 因为在斜三角形中，有 , 即，且,,都不等于 , 所以 , 即 ， 即 , 从而 . 所以左边 右边, 即 . 65 证明三角恒等式的常用方法 （1）由繁到简，即从较复杂的一边入手，逐步变形，化简并得出另一边； （2）左右归一，当恒等式的两边都较繁时，可分别化简，比较结果完成证明； （3）作差为零，通过作差实现证明. 66 2 条件恒等式的证明 例18 已知 ,, ,求证： . 或 67 【解析】 由条件得 ,即 . 由 得 （为消 作准备）, 所以 . 68 由条件 即 , 整理得 , 由,知，, , 所以 . 69 条件恒等式证明的基本途径 途径1：依一般恒等式的证明方法，在证明的过程中不失时机地将条件式代入完成证 明（如方法1）. 途径2：由条件式直接推证目标式（如方法2）. 70 题型4 和（差）角公式与三角函数图象与性质的综合应用 例19 [多选题](2025·江苏省南通市天星湖中学月考)已知函数 ，则( ) AC A.函数 为偶函数 B.曲线的对称轴为 ， C.在区间， 上单调递增 D.的最小值为 71 【解析】 ， 即 . 对于A， ，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，曲线的对称轴方程为 ， ，即 ， ，故B错误； 对于C，当，，即，时， 单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则 ， 所以，，故D错误．故选 ． 72 例20 [多选题](2025·河北省承德县第一中学月考)设 ，其中 ，，.若对一切 恒成立，则结论正确的是( ) AC A. B. C. 既不是奇函数也不是偶函数 D.的单调递增区间是 73 【解析】由题得 ， 因为对一切， 恒成立, 所以 , 故或 . 故 ， 或 . 对于A，当 时， ， 74 当时， ，所以 ， 故A正确； 对于B， ， ， 所以 ，故B错误； 对于C，由，或知, 既 不是奇函数也不是偶函数，故C正确； 对于D，当时，是 的单调递 减区间，故D错误. 75 【变式题】 5.(2025·湖南省常德市临澧县第一中学月考)已知函数 ，若在区间，上有且仅有3个零点且 的图象在区间，上有2条对称轴，则 的取值范围是( ) D A., B., C., D., 【解析】函数 ， 因为，所以 ， 由于函数在区间，上有且仅有3个零点且的图象在区间， 上有2 条对称轴， 76 图D 10.1-1 结合函数 的图象（如图D 10.1-1），可知 ，整理得， ． 77 新考法 数学文化 例21 新情境 赵爽弦图（如图10.1-3（1））中的大正方形是由4个全等的直角三角形 和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为,,斜边长为 ,由大 正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理 .仿照赵爽弦图构造如图10.1-3（2）所示的菱形，它是由两对全等的直 角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角 形含有锐角 ，另一对直角三角形含有锐角 （位置如图 10.1-3（2）所示）．借 鉴勾股定理的推导思路可以得到结论( ) B 图10.1-3 A. B. C. D. 78 图10.1-4 【解析】如图10.1-4，由题意得， ， ， ， ， ， ， 过点作于点，则 ， ， ． ， 79 核心素养聚焦 考情揭秘 和（差）角公式是高考考查的热点，利用公式化简、求值需要能够灵活正用、逆用 公式，其中辅助角公式更是常结合三角函数性质进行考查.各种题型都会出现，试题 难度中等或中等偏下. 核心素养：逻辑推理（由前后角之间的关系选择合适的公式），数学运算 （求三角函数式的值）. 80 考向1 利用和差角公式化简求值 例22（1）(2024· 新课标Ⅰ卷)已知,,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由得, ①.由 得, ②， 由①②得 所以 . 81 （2）(2024· 新课标Ⅱ卷)已知 为第一象限角， 为第三象限角， , ，则 _ _____. 【解析】 由题知 ,即 ,又 ，可得 .由,,, ,得 ,.又 ，所以 是第四象限角，故 . 82 因为 为第一象限角， 为第三象限角，则， ， ， ， 则 . 83 例23 (2022·新高考全国Ⅱ卷)若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 思路一 思路二 84 【解析】 由题意得 ， 整理得 ， 即 ， 所以 ． 85 ，则 . , 所以,则 （联系选项，转化为正 切间关系）,所以 , . 则 ,,所以 . . . 86 考向2 辅助角公式的应用 例24 (2025·北京)设函数，若 恒成立， 且在上存在零点，则 的最小值为( ) C A.8 B.6 C.4 D.3 【解析】函数 ， 设函数的最小正周期为 ， 由可得 ， 所以，即 . 又函数在上存在零点，且当时， ，所以 ，即 . 综上， 的最小值为4. 87 例25 (2024·全国甲卷)函数在， 上的最大值是___. 2 【解析】由题意知，当 时， ，,，于是,，故在， 上 的最大值为2. 88 变式探源 (全国乙卷)函数 的最小正周期和最大值分别是( ) C A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2 【解析】因为函数 ， （【难点突破】逆用两角和的正弦公式进行化简） 所以函数的最小正周期 ，最大值为 . 89 例26 (2025· 全国一卷)已知函数, . （1）求 ； 【解析】因为,且 ， 所以 . 90 （2）设函数,求 的值域和单调区间. 【解析】 , 91 所以的值域为 令，得，所以 的 单调递增区间为 . 令，得，所以 的 单调递减区间为 . 92 高考新题型专练 1.［多选题］(2025·甘肃省庆阳市华池县第一中学期中)已知 ， ，其中 ， 为锐角，则以下命题正确的是( ) AB A. B. C. D. 93 【解析】由，可得 ，则 ， 故A正确； 由 ， 为锐角，可得 ，则 ， ，故B正确； 由， ，可得 ，， ，故C,D均错误．故选 ． 94 2.［多选题］(2025·福建省龙岩第一中学月考)已知为坐标原点，点 , ,, ,则( ) AC A. B. C. D. 95 【解析】由题可知，, ， 所以 ，故A正确； 取，则，取，则，则 ，故B错误； 因为, ，所以 ，故C正确； 因为 , ，取， （用取特殊值法进行排除），则， ，所以 ，故D错误. . . 96 知识测评 04 建议时间：30分钟 1. ( ) C A. B.1 C. D.2 【解析】原式 . 98 图10.1-1 2.(2025·广东省广州市玉岩中学月考)如图10.1-1，正方形 的 边长为1，延长至，使，连接，，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题图可知， ,所以有 ，再根据同角三角 函数关系式，可求出 . 99 3.中，已知，，则角 ( ) C A. B. C. D. 【解析】， ， 又,是的内角，， ①. 由得 ， ， 联立①②得 , ． 100 4.新情境 大衍历 (2025·辽宁省鞍山市月考)我国唐朝天文学家僧一行应用“九服喜影 算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距 的对应数表，这 是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度 等于表高 与太阳天顶距 正切值的乘积，即 ，对同一“表高”两次测量，第一次 和第二次太阳天顶距分别为 ， ，且 ，若第一次的“晷影长”是“表 高”的3倍，则第二次的“晷影长”是“表高”的( ) A A.1倍 B. C.倍 D. 倍 101 【解析】由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，知，由 ，得 ， ， ，解得 ， 故第二次的“晷影长”是“表高”的1倍． 102 5.［多选题］ 已知锐角 ， 满足 ，则下列选项正确的是 ( ) BC A. B. C. D. 【解析】 ,，又 ， 是锐角，,，即 ，易知 ， .故选 ． 103 6.已知,，则 的值为__. 【解析】 ， ， ，， ． 104 7.(2025·江苏省南通市月考)已知在锐角三角形中，, . （1）求证： ； 【答案】 ①， ②． 并化简得，并化简得 ． ，,即 ． 105 （2）求 的值. 【答案】 ， ，又 是锐角三角形， ， , ,解得或 （舍去）， . 106 8.新考法 结构不良 在①角 的终边经过点，， ， ， 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并 解答． 问题：已知____，且，求 的值． 【答案】选择条件①. 角 的终边经过点， ， 则，解得 . 107 选择条件②.，， , ， 故 ， 解得 . 选择条件③.，，由 ，则可得 ，， , 则，解得 . 108 高考模拟 05 建议时间：30分钟 9.(2025·江苏省常州市调研)在平面直角坐标系中，以坐标原点为角的顶点，以 轴的 非负半轴为始边作角,角的终边经过点，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意知，,,则 . 110 10.(2025·山东省泰安市段考)已知 为钝角，且，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 为钝角，且，， ． 111 11.已知为正整数，，，且 ，则当函数 取得最大值时， ( ) C A. B. C. D. 【解析】由条件知,则 ,即 ,解得或 （舍去）,则 . 因为,所以 , 则当 , 即时，函数 取得最大值. 112 12.［多选题］ 已知函数 ，则下列说法正确的是( ) BC A.的图象关于点中心对称 B.在区间, 上单调递减 C.在上有且仅有1个最小值点 D.的值域为 【解析】对于A选项，因为，，所以，所以 的图象不关于点 中心对称，A选项错误. 对于B选项，当,时， ，因为 ，所以函数在区间, 上单调递减，B选项正确. 113 对于C选项，因为 ，所以 为函数的周期. 当, 时， ，，所以在区间, 上单调 递增，，，由B选项可知，函数 在区 间,上单调递减，当,时，， ， 所以函数在 上有且仅有1个最小值点，C选项正确. 对于D选项，由C选项可知，函数的值域为,，D选项错误.故选 . 114 13.(2025·河南省南阳市第一中学月考)已知， ， ，则 _ __. 【解析】将两个等式两边平方可得 两式相加可得， . ,，即 ， 代入，得 ， . . 115 14.(2025·辽宁省七校协作体期中)在平面直角坐标系 中，设向量 ，，， ． （1）若，求 的值； 【答案】因为，，, ， 所以，且 ． 因为，所以，即 ， 所以，即 ． 116 （2）设， ，且，求 的值． 【答案】因为，所以, ． 依题意，， ． 因为，所以 ． 化简得，，所以 ． 因为 ，所以 ． 所以，即 ． 117 谢谢观看 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 118 $