9.3 向量基本定理及坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.3 向量基本定理及坐标表示 第9章 平面向量 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 平面向量基本定理 1 平面向量基本定理 如果， 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对（唯一性）实数,,使 我们把两个不共线的向量, 叫作这个平面的一组基底. . . 6 知识剖析 对基底的理解 1.只要是同一平面内两个不共线的向量都可以作为一组基底,所以基底的选取不是唯 一的. 2.由于零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底. 对平面向量基本定理的理解 1.平面向量基本定理告诉我们，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解 成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一非零向量在不同的基底下的分解式 是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即 . 2.由平面向量基本定理知，在平面内任取两个不共线的向量作为基底，则平面内的 任一向量都可用这组基底表示. 7 2 向量的正交分解 由平面向量基本定理知，平面内任一向量可以用一组基底, 表示成 的形式.我们称为向量的分解.当, 所在直线互相垂直 时，这种分解也称为向量 的正交分解. 说明 向量正交分解时，两基底为正交基底，正交分解是平面向量基本定理中 的特殊情况. 8 典例详解 例1-1 ［多选题］如果,是同一平面 内的两个不共线的向量，那么下列说法中 正确的是( ) AD A.可以表示平面 内的所有向量 B.对于平面 内的任一向量，使的实数 , 有无穷多对 C.若向量与共线，则有且只有一个实数 ，使得 D.{, 可以作为该平面的一组基底 9 【解析】由平面向量基本定理可知A是正确的. 对于B，由平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，那么平面内任意一个 向量在此基底下的分解式是唯一的,故B不正确. 对于C，当与均为零向量，即 时，符合 题意的 有无数个，故C不正确. 对于D，假设，则,又, 不共线，故假设不成立，即 与不共线，即{, }可以作为该平面的一组基底，D正确. 10 知识点2 向量的坐标表示 图9.3-1 如图9.3-1，在平面直角坐标系中，分别取与轴、 轴正 方向相同的两个单位向量，作为基底，对于平面内的向量 ， 由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数 ，使 得（,分别为向量在向量, 上的投影向量）. 我们把有序实数对称为向量的（直角）坐标，记作 . 图9.3-2 如图9.3-2，作，即有，则 的坐标 就是终点的坐标；反过来，点的坐标 就是向量 的坐标. . . 11 知识剖析 （1）显然，， ，所以 ，， . （2）通过建立平面直角坐标系，可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来 表示；反过来，任一有序实数对都可以表示一个向量.#4.1 12 点的坐标与向量的坐标的区别与联系#5 区别 表示 形式 不同 向量中间用等号连接，而点 中间没有等号. 意义 不同 点的坐标表示点 在平面直角坐标系中的位置，向量 的坐标表示的是向量的长度和方向.另外, 既可 以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量 . 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点 时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 13 典例详解 例2-2 如图9.3-5所示，若,分别是与轴、 轴方向相同的单位向量，请写出向量 , 的坐标（每个小方格的边长为1）. 图9.3-5 【解析】因为的起点在原点，因此由的终点坐标可知 . 又，所以 . 14 点评 求平面上向量的坐标的方法 若两个单位向量, 为正交基底，为了求出平面上向量的坐标，可以选择如下两种 方法中的任何一种: （1）将向量用单位向量， 表示出来; （2）将向量的起点平移到原点，读出终点的坐标. 15 知识点3 向量线性运算的坐标表示 1 两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于， ，所以 ，即 . 同理可得 . 这就是说，两个向量和（差）的坐标等于这两个向量相应坐标的和（差）. 2 向量数乘的坐标表示 由，可得，则 ，从而 . 这就是说，实数与向量的积的坐标等于这个实数与原向量的相应坐标的积. 16 3 任一向量的坐标 图9.3-3 如图9.3-3,若, ,则 . 这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去 起点的坐标. 特别提醒 1.向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而 与它们的具体位置无关. 2.当向量确定以后，向量的坐标就是唯一的，因此向量在平移前后，其坐标不变. 3.在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再用 终点坐标减去起点坐标即可得到该向量的坐标. 4.当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标. 17 典例详解 例3-3 ［教材改编P32 T1］若,,则________, ________, _________. 【解析】 , , . 例3-4 [教材改编P33习题9.3（2） T3]设，，则 _________. 【解析】因为， ， 所以 ． 18 例3-5 [教材改编P33练习 T3]已知，，则点 的坐标为______. 【解析】设,则 , 解得 ． 19 知识点4 向量数量积的坐标表示 1 向量数量积的坐标表示 已知两个向量，，设，分别是与轴、 轴正方向相同 的单位向量，则，， . 因为, ， 所以 . 由此可知,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即 . 20 特别提醒 公式,与 都是用来求两向量的数量 积的，没有本质区别，只是书写形式的差异，可以相互推导.若题目给出的是两向量 的模与夹角，则可直接利用, 求解；若已知两向量的坐标，则可 选用 求解. 21 2 向量的长度（模）的坐标表示 设，则，即 . 两点间的距离可用相应向量的长度来表示：若, ，则 . 22 知识剖析 向量的模的坐标表示与两点间距离公式的联系 向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如 ,则在平面直角坐标系中，一定存在点，使得 ,所以 ,即为点到原点的距离.同样，若,, ，则 ,所以,即为, 两点间的 距离.由此可知向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算. 23 与非零向量 同向的单位向量的坐标表示 因为与非零向量同向的单位向量,若,则 ,所以 ,,此式为与向量 同向的单位向量的 坐标表示. 24 3 向量夹角的坐标表示 设两个非零向量,，它们的夹角为 ,由向量数量积的定 义，可得 . 知识剖析 当时,;当时， ;当 时, . 4 两向量垂直的坐标表示 已知非零向量，，若，则 ；反之， 若，则 . 25 典例详解 例4-6 [教材改编P35例1]已知，，则 ( ) B A. B.0 C.1 D.2 【解析】 , . . 例4-7 （1）[教材改编P36 T4（3）]已知向量,，则 ( ) B A.5 B. C.8 D. 【解析】易知，从而 . 26 （2）已知,,则, 两点间的距离是______. 【解析】 由两点间距离公式可得 . , . 27 例4-8 [教材改编P36 T3](2025·山东省烟台市期末)已知向量, , 则与 夹角的大小为__. 【解析】由题意得, , . 设与的夹角为 ， 则 . , . 28 例4-9 判断下列各对向量是否垂直: （1）, ; 【解析】,与 垂直. （2）, . 【解析】,与 不垂直. 29 知识点5 向量平行的坐标表示 设向量,,则 . 当时，由于与任意向量平行，故 恒成立. 即对任意向量,都有: ①. 知识剖析 当向量不平行于坐标轴，即0,时，①式可化为 ,即两个 不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. 30 典例详解 例5-10 ［教材改编P39 T3］(2025·安徽省六安市独山中学期末)已知平面向量 ,,且,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由,,且,得,解得 ,所以 ,所以 . 31 重难拓展 知识点6 定比分点的坐标表示 1 线段定比分点的定义 如图9.3-4，设，是直线上两点，点是上不同于， 的任意一点，则存 在一个实数,使， 叫作点分线段所成的比，点 叫作线 段以定比为 的定比分点. 图9.3-4 32 2 定比分点的坐标表示 设为坐标原点，若,,, ,则 , （这个公式叫作线段定比分点的坐标公式） 故点的坐标为 . 教材深挖 POINT 该知识点是对教材第32页【例4】的深挖. 特别提醒 在使用定比分点坐标公式时，应明确，, 的意义，它们 分别为分点、起点、终点的坐标.但在具体问题的计算中，往往是自行确定起点、分 点、终点，并且这些点必须与定比分点坐标公式中对应的起点、分点、终点相对应. 33 3 定比分点的两种特殊情况 利用定比分点坐标公式可以得到线段的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式. （1）中点坐标公式：设，的中点为，则 , . （2）重心坐标公式：在中，,,,则 的重心 的坐标为 . 34 典例详解 例6-11 若过点，的直线上一点使，则点 的坐标 为_______________. 或 【解析】设为坐标原点，连接，， . ， ， 或 . 当，即 时， . 当，即 时， . 故点的坐标为或 . 35 总结 若,则点位置与 的取值范围之间的对应关系如下为 的中 点）： 点 位置 的范围 的延长线上 外分点 的延长线上 与 重合 之间 内分点 与 重合 之间 与 重合 不存在 36 知识点7 的应用 已知向量,, 是与 的夹角. 根据平面向量数量积及向量模的坐标表示，我们可以得到 ，即 . 下面讨论向量共线的条件： （1）当向量与同向时， ， ； 当向量与反向时， ， . （2）由可知，若 ,则,若 ，则 ,则有 . 利用上述结论可以判断两向量, 是否共线. 37 典例详解 例7-12 （1）已知实数,满足,求 的最小值. 【解析】令向量, . 由,得 , 即， , 故 的最小值是8. （2）已知实数,满足,求 的最大值. 【解析】令向量,,.由 ,得 ,即 ， 解得 . 故的最大值是 . 38 题型解析 03 题型1 平面向量基本定理的应用 1 用基底表示其他向量 图9.3-6 例13 ［教材改编P27例1］如图9.3-6,在平行四边形 中， 设对角线上的向量，，试用基底， 表示 ， . 40 思路一 思路二 41 【解析】 设,交于点，则有 ， , 所以 , . 42 设,，则，又 所以解得 即, . 43 例14 如图9.3-7所示，在中,是的中点，且,与相交于点 ， 设，，试用基底,表示向量 . 图9.3-7 44 45 【解析】 由题知,由,,三点共线，可设，则 . 由是中点，得 . 由,,三点共线，可设 ， 则 . 由平面向量基本定理中的唯一性得 解得所以 . 46 易得， ， 由，，三点共线可知，存在实数 使 . 由，，三点共线可知，存在实数使 . 所以，由于,为基底，所以 解得 所以 . 47 用基底表示向量的两种基本方法 1.运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化,直到用基底表示为止. 2.通过列向量方程（组）,利用基底表示向量的唯一性求解. 48 【变式题】 1.已知，是同一平面内的两个不共线向量，， ， ，试用向量和表示 ． 【答案】 由题意可知， 不共线， 存在实数 , ,使得 , 则 . ,不共线,解得 . 由解得 . 49 2 平面向量基本定理的逆向求参问题 图9.3-8 例15 (2025·山东省淄博第七中学月考)如图9.3-8，在 中，，是上一点，若 ，则实 数 的值为( ) A A. B. C.1 D.3 50 【解析】, , . 设 , 由定比分点公式（一般不直接用于主观题中）得 , （通过两次表示同一向量 列方程组，充分体现了平面向量基本定理的唯一性）， 解得 . . . . 51 又，， 三点共线，由三点共线的性质定理（一般不直接用于主观题中） 可知, . . . 题型2 平面向量的坐标运算 1 向量坐标运算的直接运用 例16 已知向量，，若满足，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意可得 ． 53 2 利用向量坐标运算求点的坐标 例17 ［教材改编P33 习题9.3（2） T6］已知，， ，且 ，，求点， 的坐标． 【解析】 ，， ， ， ． ， ， ， ． 54 设，， ， ， 解得 ， ． 设为坐标原点，则由， ， 可得， ， ， ． ， ． ， ． 55 3 坐标背景下的向量的线性表示 例18 已知是内一点， ， ，设 ， ，，且，，，试用，表示 ． 56 【解析】如图9.3-9，以为原点，向量所在的直线为 轴建立平面直角坐标系． 图9.3-9 ， ． 设，, , , . 57 同理可得 . 设 , , 解得 . 58 利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路 1.向量线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向 线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解 题过程中要注意方程思想的运用． 2.利用向量线性运算的坐标表示解题时，主要依据“相等向量的坐标相同”这一原则， 通过列方程（组）进行求解． 3.利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再 用待定系数法求出相应系数． 59 4 向量数量积的坐标表示及其直接应用 例19（1）已知向量,,则 _____. 【解析】, , , ， . （2）已知向量,满足,,,,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由已知得, , , . 60 （3）(2025·安徽省阜阳市月考)已知向量，, ，若 ，则与 的夹角为( ) C A. B. C. D. 【解析】由，得, . 设与的夹角为 ，则 ， 又 , . 61 例20 (2025·江苏省海头高级中学月考)已知向量，,且与 的 夹角为钝角，则实数 的取值范围为_ ________________. 【解析】与的夹角为钝角，，即 ， . 又当与反向时，夹角为 （当与的夹角为 时，也满足 ,但不符 合题意，应舍去）， 即 ， . . 62 则，解得 . 由于与 的夹角为钝角， 故应排除与反向共线的情况，即排除，则实数 的取值范围为 . 易错警示 依据两向量夹角 的取值情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为 时,;当夹角为 时, ,这是容易忽略的特殊情况. 63 直接应用向量数量积的坐标表示的相关知识解决问题的关键 直接应用平面向量数量积的坐标表示的相关知识解决问题的关键在于熟记相关公式 （平面向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、平面向量夹角的坐标表示、平 面向量垂直的坐标表示等）.解题时，只需直接运用这些公式进行计算即可. 64 【变式题】 2.［教材改编P35例2］已知三点，，，则 的余弦值为 _ ____. 【解析】， ， . 又， ， . 65 5 坐标运算背景下的最值问题 例21 已知点和,为坐标原点，则 的最小值为( ) D A. B.5 C.3 D. 思路点拨 先求向量的坐标，再求 ,利用二次函数的性质求最 小值. 【解析】由题意可得, , 则.由二次函数的性质可得，当且仅当 时， . 66 题型3 向量共线、垂直的坐标表示的应用 1 向量共线（平行）的判断与证明 例22 已知，，三点的坐标分别为，，， ， ，求证： . 【解析】由题意知，， ， 则, . 67 2 根据向量共线、垂直求参数的值 例23（1）已知平面内的三点，，，若 ，则 ( ) A A.6 B. C.3 D. 【解析】由题意得，，， ， ，解得 ． 68 （2）[教材改编P35例3][多选题]在中，，，且 的 一个内角为直角，则实数 的值为( ) ACD A. B. C.2 D. 【解析】当角为直角时，（题中只给出 为直角三角形，并没有指出 哪个角是直角，故本题应分三种情况进行讨论）， ，即, . 当角为直角时， ， . . . . . 69 由，得, . 当角为直角时， ， ， . 由，得 , 即, . 综上所述，的值为或 或2. . . 70 根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路 借助两向量共线和垂直的条件求解某参数的值是向量坐标运算的重要应用之一，具 体做法就是先借助, 或 （其中, ），列关于某 参数的方程（或方程组），然后解之即可. 71 【变式题】 3.(2025·山东省济南市期中)已知向量,,,若 , 则 ( ) C A. B. C. D.2 【解析】， ， ，解得 . 72 4.(2025·北京二中期中)已知向量，，若 与 共线，则 ____. 【解析】 由已知条件可得 ， ． 与共线，，即， . 注意到向量， 不共线，因此可以将其视为基底，因而 与共线的本质是对应的系数成比例，于是有，即 . 73 3 利用向量共线求点的坐标 图9.3-10 例24 如图9.3-10所示，已知中，， ， ，，，与相交于点 ，求点 的坐标． 74 75 【解析】因为点，， ， 所以， . 又，所以点的坐标为 . 又,所以点的坐标为 . 设点的坐标为，则 . 由题意知,,三点共线，所以 ， 又，所以，即 . 76 由题意知,,三点共线，所以 ， 又，，所以，即 . 由解得所以点的坐标为 . 名师点评 本题还可以通过求的坐标来确定点 的坐标. 77 题型4 坐标法在平面向量中的应用 1 求值 例25 (2025·上海市松江一中月考)如图 9.3-11，在矩形中，,, 为的中点，点在边上，若,则 的值是____. 图9.3-11 78 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴,所在直线为 轴建立平面直角坐标 系，如图9.3-12，则，，,, . 可设,因为，所以，所以 , 所以 . 图9.3-12 79 【变式题】 图9.3-13 5.新情境 中国象棋 [多选题](2025·安徽省六安 市新安中学月考)中国象棋是中国发明的一种 古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中 华文明非物质文化的经典产物．如图9.3-13， 棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅” “炮”“马”“兵”分别位于，，， 四点，“马” 每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达 点，则 的值可能为( ) ACD A. B. C. D. 80 图D 9.3-1 【解析】如图D 9.3-1，建立以 为坐标原点的平面直角坐标 系， 则，，， ，由于“马”每步只能 走“日”字，故“马”走动一步到达点的位置可能为 ， ， ， 则,或或 , 则的值可能为 , 或 , 或 , 即的值可能为，， . 故选 . 81 2 求最值或取值范围 例26 已知在直角三角形中，为直角，，.若，点 在 的边界上运动,则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 思路点拨 以为坐标原点建立平面直角坐标系，求出点的坐标，确定点 的横、 纵坐标的范围,计算 ,利用一次函数的性质得到结论. 82 图9.3-14 【解析】由,, ,可得 . 如图9.3-14，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系,则, . 由得 . , 当点在线段上运动时， , 当点在线段上运动时，随点 位置的变化而变化. 设 , 则 , . 同理可得，点当在线段上时， . 综上，的取值范围是 . 83 利用坐标法解决平面向量问题的基本思路 （1）通过对已知图形或画出的图形的分析，找到图形中的垂直关系或者转化后找到 隐含的垂直关系，建立平面直角坐标系. （2）建系时尽可能地选择更多的点在坐标轴上，以减少变量和运算. （3）表示出点的坐标，利用平面向量的有关知识进行转化，最后利用二次函数或者 三角函数的相关性质进行求解. 84 【变式题】 图9.3-15 6.(2025·江苏省南京市期中)如图9.3-15，在四边形 中， ，，，．若点 为边 上的动点，则 的最小值为( ) B A. B. C. D. 85 图D 9.3-2 【解析】如图D 9.3-2所示,以为原点，以所在的直线为 轴， 以所在的直线为 轴,建立平面直角坐标系． 连接,过点作轴，交轴于点，过点作 轴， 交轴于点 ． ,,，, 平分 ，即，, ， , ,,, . 设,则, ， 故 . 86 题型5 向量坐标运算与三角函数的交汇 例27 已知，，且 ． （1）用表示数量积 ； 【解析】由，得 , , . 又, ， 故 , , . 87 （2）求的最小值，并求出此时与 的夹角． 【解析】由（1）得,当且仅当 ,即 时等号成立. 的最小值为 . 设此时与的夹角为 ,则,又, . 思路点拨 本题是平面向量的数量积与三角函数的综合问题，由 ，易知 ，根据所给模的等式，两边平 方就可以解决问题． 88 解决向量数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路 先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识（平面向量数量积的坐标表示、平面 向量模与夹角的坐标表示、平面向量垂直的坐标表示等），将问题转化为与三角函 数有关的问题（如化简、求值、证明等），再利用三角函数的相关知识求解即可.解 决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决. 89 【变式题】 7.已知为坐标原点，向量， ， ， ，且，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意知 ，即 ，等式两边同时除以 ，得 ，由于，所以，解得 . 90 新考法 数学文化 例28 新情境 费马点 (2025·陕西师范大学附属中学月考)17世纪法国数学家费马曾提 出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？ 现已证明：在中，若三个内角均小于 ，当点 满足 时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点 被人们称为费马点．根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和 是平面内 两个互相垂直的向量，，，则 的最小值是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】设,, , 则 , 91 图9.3-16 即为点到，和点 三个点的距离 之和，则 为等腰三角形，如图 9.3-16， 由费马点的性质可得:要保证 ,则 , 因为,则,所以点的坐标为时，点 到 三个点的距离之和最小，为 . 92 核心素养聚焦 考情揭秘 本节以向量的坐标表示为基础，研究向量的坐标运算，实现了数与形的沟通，为向 量解决几何问题插上了“翅膀”.在高考中，由于基础性考查的需要，向量的坐标运算 往往作为基础题出现，主要考查向量共线、垂直、数量积等，而当向量作为工具形 态解决几何问题的时候，则体现的是综合性的要求.高考中常以选择题、填空题的形 式出现,试题难度为低、中档. 核心素养：数学运算（坐标运算、求参数、求模及夹角等），直观想象（画图建系）. 93 考向1 坐标背景下的向量数量积 例29 (北京高考题)已知，，，则 ___； ___． 0 3 【解析】由题意得， ， . 94 考向2 坐标背景下的模、夹角 例30（1）(2023·全国甲卷)已知向量，，则， ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意知，， ，所以 . 95 （2）(2022·全国乙卷)已知向量，,则 ( ) D A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】 由题意知 ，所以 . 由题意知，， ，所以 ，所以 . 96 （3）(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知向量,,,若,, , 则 ( ) C A. B. C.5 D.6 【解析】由题意，得 ，所以 ，．因为 , ,，所以,,，即，即，解得 ． 97 考向3 用坐标运算刻画位置关系（平行、垂直） 例31（1）(全国乙卷)已知向量,,若,则 _ _. 【解析】因为，所以 ， 解得 . （2）(全国Ⅲ卷)已知向量,,.若,则 _ _. 【解析】，因为，且，所以 ，即 . 98 例32（1）(2024· 新课标Ⅰ卷)已知向量,,若，则 ( ) D A. B. C.1 D.2 【解析】 因为, , 所以 ， 又 ， 所以 ， 解得 . ， 解得 . 99 （2）(2023· 新课标Ⅰ卷)已知向量，.若 ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】因为, ， 所以， ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 整理得 . 100 （3）(2025· 全国二卷)已知平面向量,,若 ，则 ____. 【解析】，由 ，得 ，所以，所以 . 101 考向4 向量坐标运算与平面几何的综合问题 例33 (2023·全国乙卷)正方形的边长是2，是的中点，则 ( ) B A. B.3 C. D.5 【解析】 由题意知， ， ， 所以 ， 由题意知，所以 . 以点为坐标原点，,的方向分别为, 轴的正方向建立平面直角坐标 系，则，，，则， ， . 102 高考新题型专练 1.新定义 向量叉积 [多选题](2025·河南省濮阳市外国语学校期中)已知向量， 的数 量积（又称向量的点积或内积），，其中， 表示向 量，的夹角.定义向量， 的向量积（又称向量的叉积或外积） ，，其中，表示向量， 的夹角.则下列说法正 确的是( ) ABC A.若，为非零向量，且，则 B.若，为非零向量，且，则， C.若，则的最小值为 D.已知点，为坐标原点，则 103 【解析】对于A，因为，为非零向量，且， ，所以 ，或 ，所以 ，故A正确； 对于B，若，为非零向量，且，即 ， ，，则，，,则， ，故B正 确； 对于C，由，得，， ，则 ，，则，，又， ，所以 ，则 ， 当且仅当 时，等号成立，故C正确； 104 对于D， ， ，故D错误. 故选 . 105 2.[多选题](2025·福建省泉州市期末)在边长为4的正方形中， 在正方形（含边） 内，满足 ，则下列结论正确的是( ) AD A.若点在上时，则 B.的取值范围为 C.若点在上时，则 D.当在线段上时，的最小值为 106 图D 9.3-3 【解析】如图D 9.3-3，以为坐标原点，所在直线为轴， 所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则， ， ， . 设，,， ， ， 对于A，由题意可得线段的方程为， ， 点在上， ， ， ，故A正确. 107 对于B，，，, ， ， ，故B错误. 对于C，，， ， ， ，假设 ，则 ， 不成立， 不成立，故C错误. 108 对于D，，当且仅当 时取等号， 当在线段上时，的最小值为，故D正确．故选 ． 109 知识测评 04 建议时间：30分钟 1.(2025·八省联考)已知向量,，则 ( ) B A.2 B.1 C.0 D. 【解析】因为,,则 ,所以 . 111 2.(2025·河南师范大学附属中学开学考试)设平面向量,,若 , 则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】平面向量,,,，解得 , , . 112 3.已知为坐标原点,,若,,则与 共线的单位向量为 ( ) C A. B.或 C.或 D. 【解析】设,则根据条件得, , 解得 , 与共线的单位向量为或 . 113 图9.3-1 4.新情境 传统文化 (2025·辽宁省沈阳市 期中)古代典籍《周易》中的“八卦”思想对 我国的建筑有一定影响．图9.3-1（1）是 受“八卦”启示设计的正八边形的八角 窗．在图9.3-1（2）所示的正八边形 中，若 ，则 ( ) C A. B. C. D.3 114 【解析】正八边形的每一个内角为 （【知识回顾】正 边形内角和 为） ，如图D 9.3-1， 图D 9.3-1 作，，则， 为等腰直角三角形， ， . ， ， ，，则 ． . . . . 115 5.[多选题] (2025·广东省肇庆市碧海湾学校模拟)已知向量， ， 则( ) BD A. B.向量，的夹角为 C. D.向量是与 共线的向量 【解析】 ，故A错误； 向量，夹角的余弦值，，又， ， 所以， ，故B正确； 又 ，故C错误； 向量，所以向量是与 共线的向量，故D正确．故 选 ． 116 6.设向量,，若,则实数 ____. 【解析】由，得 ，即 ，故 . 117 7.［教材改编P40 T5］ (2025·四川省泸州市期中)已知向量， ． （1）求向量， 的夹角的余弦值. 【答案】因为， ， 所以 ， ， ， 所以， . （2）求 . 【答案】因为， ， 所以 ， 所以 . 118 （3）当为何值时，与 平行？平行时它们是同向还是反向？ 【答案】依题意知， ， ， 由，解得 ， 于是当时，与共线，且，即有 与 方向相反， 所以当时，与 共线，并且它们反向共线． 119 图9.3-2 8.(2025·安徽省合肥市第九中学质检)如图 9.3-2所示，在 中，,,与相交于点.设 ， . 120 （1）试用向量,表示 ； 【答案】,,三点共线， 存在实数 使得 ,,,三点共线， 存在实数 使得 , . 又与不共线，解得 . 121 （2）在线段上取点，在线段上取点，使过点，设 , ,求证 . 【答案】,,三点共线， 存在实数 使得 . 又由（1）知 , . 122 高考模拟 05 建议时间：30分钟 9.(2024·江苏省扬州市期中)在平行四边形中，,, ,, 分别是,上的点，,其中 ,，且 ,若线 段的中点为,则当取最小值时， 的值为( ) B A.36 B.37 C.38 D.39 124 图D 9.3-2 【解析】根据题意，建立如图D 9.3-2所示的平面直角坐标系， ,, ,所以,, , 由,得 , 由,得 , 所以 . 因为 ,所以 当时，取到最小值,此时 . 故当取最小值时， 的值为37. , 125 10.(2025·河北省邯郸市期末)在平面直角坐标系中，原点，已知 ， ，是线段上的动点（含端点），且为的中点，则 的取值范围 是( ) A A. B. C. D. 126 【解析】如图D 9.3-3，设 ， 图D 9.3-3 则 ， 又为的中点，所以 ， 127 所以 . 所以 ， 所以当时，取得最小值，最小值为；当时， 取得最大 值，最大值为 . 所以 . 128 11.新定义 斜坐标系 (2025·江西省宜春市宜丰中学月考)如图9.3-3，设 ，且 ，当 时，定义平面坐标系为 的斜坐标系.在 的斜坐标系中， 任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴， 轴正方向相同的单位向量， 若，则 ，则下列结论中正确的是( ) C 图9.3-3 A.设非零向量，,，，若 ，则 B.设非零向量，则 C.设非零向量,,，，若 ，则 D.设，，若与的夹角为，则 129 【解析】对于A，因为，，所以， ， 又，所以 ，即 ，所以，因为，所以 ，故A错误； 对于B，因为，所以 ，所以 ，又，且 ，所以 ，故B错误； 对于C，因为，，所以，，又 ， 则，即，即 所以 ，故C正确； 130 对于D，因为，，所以，，又与 的夹 角为，所以 ，解得 ，又且,所以 ，故D错误. 131 12.新考法 新定义题 [多选题] (2025·重庆市期末)对于非零向量 ，定义变换 ，得到一个新的向量，则关于该变换，下列说法正确的是 ( ) ABC A.若 为任意实数，则 B.若，则 C.若，则 D.存在，使得,， 132 【解析】对于A，因为，所以 ， 所以 ，故A正确. ，设， .对于B，若 ，则，所以 ， 即 ，故B正确. 对于C，若，则 ， ，所以 ，故C正确. 133 对于D， , ， ， ，所以,， ，故D错误.故选 . 134 13.新考法 数学文化 (2025·陕西省渭南中学期末)根据毕达哥拉斯定理，以直角三角 形的三条边为边长作正方形，以斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作 出的正方形面积之和．现在对直角三角形 按上述操作作图后，得如图9.3-4所示 的图形若,则 ____. 135 【解析】如图D 9.3-4，以为原点，分别以,为, 轴建立平面直角坐标系. 图D 9.3-4 设正方形的边长为,则正方形的边长为,正方形边长为 ,可知 ,,, , 136 则 , , 即 . 又, , 则即 , 化简得 . 137 图9.3-4 14.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，， 三点满足 . （1）证明，，三点共线，并求 的值; 【答案】, , ,又，有公共点 ， ，，三点共线, . 138 （2）已知,, ，且函数 的最小值为，求实数 的值. 【答案】,, , . 又 , . 设,, , . 139 ①当,即时， 无最小值，不合题意； ②当，即时，当时， , ; ③当，即时，当时， , ,不合题意. 综上可知， . 140 谢谢观看 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 141 $