9.2.3 向量的数量积课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.2 向量运算 9.2.3 向量的数量积 第9章 平面向量 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 向量的数量积 1 向量数量积的物理背景 图9.2.3-1 我们知道，如果力与物体位移的夹角为 （图9.2.3-1）， 那么所做的功应为 . 如果把功看成两个向量与 的某种 运算结果，那么这个结果是一个数量,它不仅与两个向量的长 度有关，而且还与这两个向量的夹角有关.这是一种新的运算. 6 2 向量数量积的定义 已知两个非零向量和，它们的夹角是 ，我们把数量 叫作向量 和的数量积，记作，即 . 我们规定:零向量与任一向量的数量积为0. 说明POINT 数量积亦称为“内积”或“点积”.#1.2.1 7 注意 ,不是零向量，而 ,是零向量. 特别提醒 （1）两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值为两向量的 模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定,而向量的加减运算和 向量的数乘的结果仍是向量． （2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是 有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，决不可混淆．注意不能写成 或 的形式. （3）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 .#1.2.3.2 8 3 向量数量积的性质 设,是非零向量，它们的夹角是 ,则 序号 性质 作用 1 （也常用,表示, 之间的夹角） 实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量 的夹角，也称为夹角公式 2 可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题 3 或 表明一个向量和它本身的数量积等于该向量的模 的平方，因此可用于求向量的模 4 ，当且 仅当向量， 共线,即 时，等号成立 解决有关“向量不等式”的问题 . . 9 4 投影与投影向量 设,是两个非零向量，如图9.2.3-2,表示向量,表示向量,过点作 所 在直线的垂线，垂足为点.我们将上述由向量得到向量的变换称为向量 向向 量投影，向量称为向量在向量 上的投影向量. 图9.2.3-2 10 5 投影向量与向量的数量积之间的关系 设向量,的夹角为 ，由图9.2.3-2可知： 当 为锐角时， ； 当 为钝角时， . 可以验证，当，， 时， 均成立. 综上，对于向量，，向量在向量上的投影向量为 . 11 知识剖析 为向量方向上的单位向量，一般情况下，在上的投影向量与 在 上的投影向量是不一样的. 在上的投影向量可能与同向，与反向，也可能为，它的方向取决于 角的范围.具体情况，我们可以借助下面的图形进行分析： 的范围 图形 在 上的投影向量 与 同向 与 同向 与 反向 与 反向 12 （3）因为 ，所以 .因此，向量和的数量积就是向量在向量上的投影向量与向量 的 数量积. 13 典例详解 例1-1 [教材改编P22例1]已知，，根据以下条件，分别求 . （1） ； 【解析】当 时，分两种情况讨论：（【易错点】这里易误认为两个向量平行就 是同向的，从而忽略另一种情形） 若与同向，则, ， ； 若与反向，则, ， . （2） ； 【解析】当时，, ， . 14 （3）, ； 【解析】 . （4）, . 【解析】 . 15 【归纳总结】 向量夹角与数量积的符号间的关系 两个非零向量与的夹角为锐角的充要条件是，且 （确保夹角不是 ）； 两个非零向量与的夹角为钝角的充要条件是，且 （确保夹角不是 ）. . . . . 16 例1-2 [教材改编P24 T3]已知向量，满足,，,则向量, 的夹角为( ) A A. B. C. D. 【解析】设向量，的夹角为 ，则 ， 因为,, ， 所以 , 所以向量，的夹角 . 17 例1-3 (2025·江苏省无锡市天一中学月考)已知平面向量和 满足 ，在上的投影向量为，则在 上的投影向量为( ) A A. B. C. D. 【解析】 （公式法） 在上的投影向量为，则 , ， 故 ， 所以在上的投影向量为, . 18 图9.2.3-3 （定义法） 因为,且在 上的投影向量 为，所以与的夹角为 ，作图9.2.3-3.在 上的投影 向量为，在上的投影向量为，则 ,所以 ,所以,故 . 19 例1-4 (2025·安徽省淮南市期中)如图9.2.3-4所示，在中， ， ，则 的值是____. 图9.2.3-4 【解析】 . 在的投影向量为,所以 . 20 知识点2 向量数量积的运算律和常用结论 1 向量数量积的运算律 设向量，，和实数 ，向量的数量积满足下列运算律: （1） ；（交换律） （2） ；（数乘结合律） （3） .（分配律） 21 辨析比较 向量的数量积、向量的数乘、实数的乘法运算律之间的区别 向量的数量积 向量的数乘 实数的乘法 , 至少有一个为0或 , . 或 . , 至少有 一个为0. 或 或 , . 或 . 或 . 与 不一定相等. , . . 22 2 向量数量积的常用结论 （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） . 23 典例详解 例2-5 下列说法正确的是( ) A A.若，则 B.若，则或 C.若，且，则 D. 24 【解析】对于A，若，则 ，所 以 ，故A正确；（也可利用向量加减法的几何意义，菱形的对角线 相互垂直） 对于B，若，则，不能得到或 ，故B错误； 对于C，，因为，所以或 ，说明 向量数量积不满足消去律，故C错误；【另解】举反例：当，反向且都与 垂直 时满足题设，但 对于D,是与共线的向量，是与 共线的向量,所以 不一定成立，说明向量数量积不满足结合律，故D错误. 25 例2-6 设向量,满足,,,则 ____. 【解析】 , , . , ,解得 . 26 题型解析 03 题型1 向量数量积的运算 1 向量数量积的简单计算 例7 ［教材改编P25 T2］已知,,与的夹角为 ,求: （1） ; 【解析】 . （2） ; 【解析】 . 28 （3） ; 【解析】 . （4） . 【解析】（利用 实现向量与数量的转化） . . . 29 求向量的数量积的两个关键点 求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两 个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进 行化简. 30 2 平面几何图形中的向量数量积的计算 例8 (2025·江西省南昌市质检)在边长为1的正三角形中，设, , 则 ( ) A A. B. C. D. 图9.2.3-5 【解析】第一步：将,用, 表示出来 如图9.2.3-5,, , . 第二步：将转化为， 间的运算 . 31 平面几何图形中向量数量积计算的基本思路 （1）若直接给出了模和夹角，直接代入公式计算即可. （2）若模和夹角不明确，则利用线性运算将相关向量转化为已知模和相应夹角的向 量，再进行计算. 32 【变式题】 图9.2.3-6 1.(2025·山西大学附属中学开学考试)如图9.2.3-6所示，在平行四 边形中，已知，，， ， 则 ( ) B A.44 B.22 C.24 D.72 【解析】由，得， ， . 因为，所以 ， 即 . 又，，所以 . 33 3 利用投影向量解决向量数量积问题 例9 (2025·河南省焦作市联考)已知非零向量在向量上的投影向量为， ， 则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】非零向量在向量上的投影向量为，又，解得 ， 故 ． 34 例10 (2025·北京四中模拟)已知正方形的边长为1,是 边上的动点，则 的值为___, 的最大值为___. 1 1 图9.2.3-7 【解析】如图9.2.3-7所示，由图可知，,因此在 上 的投影向量为,故 . 由图可知，在上的投影向量与同向，设为 ,且 ,故 . 故的最大值为1，此时点与点 重合． 35 【变式题】 图9.2.3-8 2.(2025·河北省邢台市期末)如图9.2.3-8,已知圆为 的外接 圆，，， ，则 ______. 【解析】过点作的垂线，垂足为,可知为的中点，则 在上的投影向量为,所以 ， 同理，， , . 36 4 由向量数量积求参数 例11 (2025·江苏省宿迁市期中)已知单位向量与的夹角为，若与 垂直， 则实数 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得 ,若与 垂直,则 ，解得 . 37 【变式题】 3.(全国Ⅱ卷)已知单位向量,的夹角为 ，与垂直，则 _ __. 【解析】由题意得， ． 因为向量与垂直，所以，解得． 38 5 利用向量数量积判断平面图形形状 例12 (2025·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学期中)已知为平面内的定点，， ， 是平面内不共线的三点，若，则 是( ) B A.以为底边的等腰三角形 B.以 为底边的等腰三角形 C.以为斜边的直角三角形 D.以 为斜边的直角三角形 39 【解析】 （通解） 设的中点为，连接 ,由 ，得 ，即， ， 是的边上的中线，也是高，故是以 为底边的等腰三角形. （利用三角形的性质） （优解） 取特殊位置，不妨设点与点 重合，则有 ，化简得，即，故是以 为底边的等腰三角形.（取特殊值是选填常用技巧） 40 利用向量数量积判断平面几何图形形状的方法 由已知条件建立向量的数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系是关键，利 用移项、平方等手段，可以得出向量的数量积及向量的模等信息，为得到边相等、 边垂直指明方向. 41 【变式题】 4.(2025·河南省许昌市期中)若为 所在平面内一点，且满足 ，且，则 为( ) A A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 【解析】 , ，可得 , 由此可得中， 是等腰三角形. ， ， 结合，得， . 42 图D 9.2.3-1 如图D 9.2.3-1,取的中点为，连接，则 ， 与等腰的底边中线 在一条直线上， 是的垂直平分线，则， 是等腰三角形. 43 6 向量数量积中的最值（取值范围）问题 例13 (2025·江苏省扬州市第一中学月考)在中， ， ，，，，则 的最大值为( ) C A. B. C.1 D.2 44 【解析】由题可知,, . 则 （之所以选择用，表示和 ,是因为 可以利用已知条件 ，即 ） （转化为熟悉的函数知 识求解,当时，取得最大值） . 则 的最大值为1. . . . . . . 例14 (2025·湖南省张家界市民族中学月考)半径为4的圆上有三点,, ，满足 ，点是圆内一点，则 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 【解析】如图9.2.3-9，设与交于点，由，得 ,所以 四边形是平行四边形，又,所以四边形是菱形，且 ， 则, , 由图可知, , 而 , 46 图9.2.3-9 所以 , （事实上，根据后面要讲到的极化恒等式，我们可快速得到 此步） 同理， , 而 , 所以 , 所以 , 因为点是圆内一点,则 , 所以 . 即的取值范围是 . 47 解决向量数量积的最值（取值范围）问题的基本思路 解决此类问题时，先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表 示，建立关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解.在求最值时我们也 可以利用图形直观求解（如例14）. 48 【变式题】 5.(2025·天津中学月考)已知,,,若点是 所在平面内一 点,且,则 的最大值等于( ) D A.16 B.4 C.82 D.76 【解析】设,,由于,于是与 是互相垂直的单位向量, , ,当且仅当 时等号成立， 的最大值为76. 49 图9.2.3-10 6.(2025·江苏省南京市金陵中学月考)如图9.2.3-10所示，边长为2 的正，以的中点为圆心，为直径在点 的另一侧作 半圆弧，点在圆弧上运动，则 的取值范围为( ) C A.，2 B. C. D.，3 【解析】 设在上的投影向量为 ， 则 . 50 图D 9.2.3-2 如图D 9.2.3-2,过点作,交于点 , 当点在点处时， 最小， 即的最小值为 . 过圆心作交圆弧于点，连接，过点作 垂直于 于点，过点作垂直于的延长线于点 ， 此时， 最大， 即的最大值为 . 故的取值范围为 . 51 图D 9.2.3-3 连接, ，如图D 9.2.3-3. 因为为中点，所以 ， 在上的投影向量为，与的夹角 的范围为 , . , 由，可得 . 52 题型2 向量的夹角问题 1 求两个非零向量的夹角或夹角的余弦值 例15 (2025·安徽省合肥市第六中学期中)设向量，满足 及 ，则， 的夹角为( ) A A. B. C. D. 【解析】设与的夹角为 ，由题意得 ， ，又，， ,即 ． 又，，的夹角为 . 53 求两向量夹角的基本思路 一般利用夹角公式求两非零向量的夹角 或夹角的余弦值. 根据题中条件分别求出,和 . 确定 时要注意 , 当时, ; 当时, ; 当时, . 54 【变式题】 7.(2025·江苏省苏州市期末)已知向量，满足，，且 ， 则与 的夹角的余弦值为( ) A A. B. C. D. 【解析】，， ， ①， ②， 得，， ， ， 设与的夹角为 ， . 55 2 利用向量夹角求参数值 例16 ［教材改编P25 T13］已知与是两个互相垂直的单位向量，则 为何值时， 向量与 的夹角为锐角？ 【解析】由与 是两个互相垂直的单位向量， 则， ， 又向量与 的夹角为锐角， ， ． 当与 同向时（本题易忽略向量共线这种特殊情形），即 ,,解得 ． 即且时，向量与的夹角为锐角.故 的取值范围为 且 ． . . 56 易错警示 混淆两向量的夹角为锐角（钝角）与两向量的数量积为正（负）之间的 关系而出错 若两向量的夹角为锐角（钝角），则这两向量的数量积为正（负），反之不成立.因 为两向量同向（反向）共线时，夹角为 ，其数量积也为正（负）. 57 3 求向量夹角的最值 例17 非零向量，满足，,则与 的夹角的最小值是_ _. 【解析】设与的夹角为 ,由知, .由基本不等式 知， （利用基本不等式将夹角的最值问题转化为模的范 围问题）,即 , 又,,故, . 故与的夹角的最小值是 . 名师点评 实际上，由,可得,因此 的取值范围为 . . . 58 题型3 向量的模 1 模的计算 例18 (2025·四川省成都市期末)若平面向量,满足, ,且 ，则 等于( ) B A. B. C.2 D.8 【解析】,,且,, ,故 . 59 求向量的模的基本思路 或 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这 种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据 平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化. 60 【变式题】 8.(2025·河南省平顶山市期末)已知向量和满足，，向量 在向量 上的投影向量为，则 ( ) B A.3 B.2 C.4 D.12 【解析】因为向量在向量上的投影向量为，所以 ，所以 ，所以，所以 ，得 ， 所以 . 61 2 与模有关的最值问题 例19 (2025·河南省平顶山市期末)已知向量，的夹角为，且 ，则 的最小值是( ) C A. B.3 C. D. 思路一 思路二 62 【解析】 （目标函数法） 因为向量，的夹角为，且 ， 则 ， 可得 ，当且 仅当时，等号成立，所以的最小值是 . 63 图9.2.3-11 （数形结合法） 如图9.2.3-11， ， ， 表示 的终 点与的终点连线的长度（起点均为 ）， 因为，所以的终点在线段 所在直线 上， 就是点到直线的距离，作于点，在 中， ， ， 则，所以 . 64 【变式题】 9.在中， ，，点是的重心，则 的最小值 是( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意，在中， , ,则有 ,可得,由点是 的重心，得 ,则 （当且仅当 时取“ ”），则的最小值是 . 65 题型4 向量极化恒等式的应用 母题 致经典·母题探究 命题探源 极化恒等式 ①， ②， 这两个式子具有非常重要的价值，其几何意义如下. 对于①：以, 对应的线段为邻边的平行四边形中，两条对角线的平方和等于两邻边 平方和的两倍； 对于②：向量, 的数量积等于以这组向量对应的线段为邻边的平行四边形的“和对 角线”与“差对角线”的平方差的 . 66 注：②式被称为“极化恒等式”. 图9.2.3-12 用图形直观来说，如图9.2.3-12，对应的则有 ③, ④, 注意到平行四边形的对称性，平分线段， ,则有 ⑤， ⑥， 这样我们便建立起了平行四边形的对角线长度与相应邻边，三角形中的边、中线与 相应边的数量积之间的联系. 67 例20 (2025·福建省厦门市第六中学期中)已知是边长为2的等边三角形, 为平 面内一点,则 的最小值是( ) B A. B. C. D. 【解析】 如图9.2.3-13,为的中点 , 图9.2.3-13 则 , 68 要使最小,则,的方向相反,即点在线段 上, 则 , 即求 的最大值, 又 , 所以,当且仅当,即是 的中点时， 取等号. 故 . 69 图9.2.3-14 （利用极化恒等式求解） 如图9.2.3-14,取的中点 ， 则,则 , 在中，由⑥式，取的中点 ，则 . 由于点在平面内是任意的，因此当且仅当点，重合时， 取得最小值，即取得最小值 . 70 子题 子题1 (2025·河南省安阳市调研)已知是等边三角形 所在平面内一点，且 ，，则 的最小值是( ) A A.1 B. C. D.2 图9.2.3-15 【解析】如图9.2.3-15，设中点为，连接 ,则 ， ， 由图可知，当，，三点共线时， 取得最小值，为 2， ． 71 子题2 (2025·天津市南开大学附属中学开学考试)在边长为1的等边三角形中, 为 线段上的动点,且交于点,且交于点,则 的值为 ___; 的最小值为___. 1 图9.2.3-16 【解析】如图9.2.3-16,过作,交于点 ,易证得 ,四边形是矩形,所以, , 则 , 所以 . 连接,由题意知,,则 .设,则 ， 72 ,取的中点，连接（将, 化归入三角形，为极化恒等式的 应用作准备）， 则 , 所以当时，取得最小值,为 ， 即的最小值为 . . . . . 新考法 情境应用 图9.2.3-17 例21 新情境 古典装饰 小华在学习绘画时，对古典装 饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对 象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接 的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地描绘 以下古典装饰图案.经过研究，小华发现该图案可以看成 D A.9 B.16 C.12 D.11 是一个边长为4的等边三角形 ，如图9.2.3-17，上边中间莲花形的两端恰好都是 边的四等分点，点，则 ( ) 74 【解析】设边的中点为 , 则 , 同理 , 所以 . 75 核心素养聚焦 考情揭秘 对向量数量积的考查，高考几乎每年都有，重在对基础知识的考查，一般利用公式 进行代数计算即可轻松解题，有时也可画出图形，借助三角形法则或平行四边形法 则解题.多以选择题或填空题的形式呈现，难度中等或中等偏下. 核心素养:直观想象（借助图形，数形结合解题）,数学运算（数量积、向量模、向量 夹角的求解）. 76 考向1 数量积的计算 例22 (2025·天津)中，为中点，,,,则 ______ ___（用,表示）;若，,则 _____. 【解析】 . 77 ,，即 ①， 又, , ，即，得 ②， 由①②得, , .（由②可得） ,从而 ,则 ,故 .（【关键】因为 ，所以将和 作为基向量） . . . . 78 例23（1）(2022·全国乙卷)已知向量，满足,， ,则 ( ) C A. B. C.1 D.2 【解析】由，可得，又 , ，所以 . （2）(2022·全国甲卷)设向量,的夹角的余弦值为，且, ,则 ____. 11 【解析】 , . 79 （3）(新高考全国Ⅱ卷)已知向量，， ， ____. 【解析】由题意，得 ，因为 ,,所以 . 80 命题探 源 本题组考查的知识点虽然简单，但却是高考中平面向量基础性要求的重点 考向，同样也可视为取材于教材第25页【习题 】第3题，都是基于 向量数量积的计算展开的. 素养探 源 素养 考查途径 数学运算 向量的线性运算与数量积运算. 81 (全国Ⅱ卷)已知单位向量,的夹角为 ，则在下列向量中，与 垂直的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 （通解） 由题意，得 . 对于A， ，故A不符合题意； 对于B， ，故B不符合题意； 对于C， ，故C不符合题意； 对于D，，所以 ，故D符合题意. 变式探源 82 图9.2.3-18 （优解） 根据条件,分别作出向量 与A， B，C，D四个选项对应的向量，如图9.2.3-18所示： 由图易知，只有选项D满足题意. 83 考向2 夹角的计算 例24（1）(2023·全国甲卷)已知向量,,满足,,且 ， 则, ( ) D A. B. C. D. 【解析】, ， 等式两边同时平方得， . 又, , ，且 , ， , . 84 （2）(全国Ⅰ卷)已知非零向量,满足，且，则与 的夹角为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 （向量的代数运算） 由，得 , , ， ,, ， 即,,又,, , , . 85 图9.2.3-19 （数形结合，聚焦图形特征） 如图9.2.3-19，设 ,,则,又, ，又 ,，即, . 86 考向3 模的计算 例25（1）(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量，满足， ，且 ，则 ( ) B A. B. C. D.1 【解析】由，得，所以 . 将的两边同时平方，得 ，即 ，解得，所以 .（【方法技巧】已知向 量的和（差）的模，往往两边同时平方，由此将向量的模的问题转化为向量的数量 积问题，从而与条件中的已知向量建立联系） 87 （2）(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量，满足,,则 ____. 【解析】由，得，即 ①.由 ，得 ，整理得， ，结合①，得，整理得， ，所以 . （3）(全国甲卷)若向量，满足,,,则 _____. 【解析】由得，即，结合 ， ，得，所以 . 88 高考新题型专练 1.［多选题］(2025·四川省绵阳中学测试)若向量，满足 ， ，则( ) BC A. B.与的夹角为 C. D.在上的投影向量为 89 【解析】， ， ，所以 ，A错误； 设，的夹角为 ，则，由于，与的夹角为 ， 故B正确； ， 故C正确； 在上的投影向量为 ，故D错误．故选 ． 90 图9.2.3-20 2.新情境 折纸风车［多选题］(2025·山西省实验中 学开学考试)我国传统的一种手工折纸风车 （如图9.2.3-20（1））是从正方形纸片的一个直角 顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一 个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其 余三个直角制作而成的，其平面图如图9.2.3-20 （2），则下列说法正确的是( ) BCD A. B. C. D. 91 【解析】选项A，由对称性知，，而与 不重合，即A错误； 选项B，设风车的中心为 ， ，即B正确； 选项C， ，即C正确； 选项D， ， ，即D正确． 故选 . 92 3.［多选题］(2025·四川省眉山市期中)已知点为 所在平面内一点，满足 ，下列说法正确的有( ) BCD A.若，则 为锐角三角形 B.若，且，则 C.若，，与的面积之比为 D.若，且，则 ， 满足 【解析】对于A，由，则，故B为钝角， 为钝角三角 形，A错误； 93 对于B，由于,且时，，故 为 的外心和重心，故为等边三角形，则 ，由 ,可得 ，故 ，故B正确； 对于C，，则，记，则在 上，且 ， 由知，到的距离与到的距离之比为，所以与 的 面积之比为 ，故C正确； 对于D，由得，，因为 ，且 ， 所以，即，故D正确．故选 . 知识测评 04 建议时间:25 分钟 1.(2025·山西省大同市期中)若向量,,，满足且，则 ( ) D A.4 B.3 C.2 D.0 【解析】 向量,,满足且，， ， . 96 2.［教材改编P49 T10］ (2025·黑龙江省大庆中学期末)平面向量与的夹角为 ， 且，为单位向量，则 ( ) B A. B. C.19 D. 【解析】 ，故 . 3.已知平面向量,满足,,,则向量, 的夹角为( ) C A. B. C. D. 【解析】,,即,, , ,,,, . 97 4.(2025·山东省济南市济北中学学情检测)在中， ，则 的形状一定是( ) B A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 【解析】由，得 ，所以 ，即，所以 ，所以 是直角 三角形. 98 图9.2.3-1 5.[多选题] 如图9.2.3-1，点，在 上，则下列所给条件可以 求出数量积 的是( ) ABD A.，， B.， C. D. 99 【解析】对于A，由向量数量积的定义式，得 ， ，故A正确； 图D 9.2.3-1 对于B，如图D 9.2.3-1，过点作于点 ，因为 ， ，则 ，由A项分析易得 ，故B正确； 对于C，因为， ，所以仅知道 不能求出 ，故C错误； 对于D，在上的投影向量为，且 ，故 ，即D正确.故选 . 100 6.(2025·陕西省西安市西光中学月考)已知与为互相垂直的单位向量， ， ，且与的夹角为锐角，则实数 的取值范围是_ _________________． ， 【解析】与为互相垂直的单位向量，，，与 的夹角为 锐角， .（注意排除夹角为 的情况） ， ， ， . 当,同向共线时，设,即 , 整理得 , 所以解得 故与的夹角为锐角时， 的取值范围是， . . . 101 7.已知向量,的夹角为 ，且，，则 ____， 向量在向量 上的投影向量为__. 【解析】根据条件可知, , , ,解得或 （舍去）. 向量在向量上的投影向量为 . 102 8.如图9.2.3-2所示，在中，已知，, . 图9.2.3-2 （1）求 的模； 【答案】 . 103 （2）若，，求 的值. 【答案】因为， ， 所以 . 104 高考模拟 05 建议时间:30分钟 9.非零向量,满足，则与 的夹角为( ) B A. B. C. D. 【解析】, , ,则 . , , , . , , 与的夹角为 . 106 图9.2.3-3 10.(2025·天津市静海区第一中学月考)如图9.2.3-3，在平面 四边形中，，， ， ，，，若点为边 上的动点， 则 的最小值为( ) B A.1 B. C. D.2 107 【解析】连接,因为,,, , 则 , 则可得,过作交于点 ， 所以四边形为矩形，, , 易知，则, , 设, , 则 . 故当时，取得最小值,为 . 108 11.(2025·北京市第三十五中学测试)已知是边长为2的正六边形 内的一点， 则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 图D 9.2.3-2 【解析】设在上的投影向量为 ,则 . 由图D 9.2.3-2可知， 当点与点重合时, , 当点与点重合时,,又点 在正六边形内部，所以 ,所以 . 故当点在正六边形内部运动时， . 109 12.新情境 欧拉线 ［多选题］ (2025·江苏省南通中学月考)著名数学家欧拉提出了 如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离 是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定 理．已知的外心为，垂心为，重心为，且， ，下列说法正 确的是( ) ACD A. B. C. D. 110 【解析】对于A,由于垂心为,则,于是 ,选项A正确; 对于B,由于,,则 ,选项B 错误; 对于C,结合垂径定理和向量投影可得，, ,于是 ,选项C正确; 对于D,依题意，,则,又为重心，则 ,即 ,则 ,选项D正确. 故选 . 111 图9.2.3-4 13.(2025·山东省济宁市期中)如图9.2.3-4放置的边长为1的正方形 中，,分别在轴、轴的非负半轴上滑动，则 的 最大值是___. 2 112 图D 9.2.3-3 【解析】如图D 9.2.3-3所示，取的中点，的中点 ，连接 易知,当，, 三点共线时等 号成立，因此的最大值为，故 的最大值为 . ,,,则 . 14.(2025·江苏省四市十一校联考)在四边形中，，，是 上的 点，且，是的中点，是与的交点，设， . （1）若四边形为矩形，用向量，表示，，，并求出 ， ， ； 【答案】 ， . 114 图D 9.2.3-4 如图D 9.2.3-4，延长与相交于点，则 ， 所以，则 ， ①， 又由得 ，即 ②， 由①②可得，则 ， 故 ， 综上， . ， 115 ， . （2）若四边形为平行四边形，且 ，求 的余弦值； 【答案】由（1）得， ， 所以 ， ， ， 所以 . 117 （3）在（1）的条件下，求在 上的投影向量. 【答案】由（1）得 ， 故在上的投影向量为 . 118 谢谢观看 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 119 $