9.2.2 向量的数乘课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.2 向量运算 9.2.2 向量的数乘 第9章 平面向量 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 向量的数乘运算 1 向量的数乘定义 一般地，实数 与向量的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下： （1） . （2）若,则当时，与方向相同；当时，与 方向相反. 实数 与向量 相乘的运算,叫作向量的数乘. 特别地，当或时，均有；反之，若,则或 （是零向量，而非实数0） . . 6 2 向量数乘 的几何意义 当时，把向量沿着 的相同方向放大或缩小； 当时，把向量沿着 的相反方向放大或缩小. 3 非零向量的单位向量 在非零向量方向上的单位向量是 .它表明一个非零向量除以它的模 （乘它的模的倒数）的结果是一个与原向量同方向的单位向量,这一过程称为向量的 单位化. 注意POINT 不是非零向量的单位向量，而是 的单位向量． 7 4 向量的数乘的运算律 设,为向量， , 为实数，则有： （1） ； （2） ； （3） . 特别地，， . 8 5 向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.若一个向量 是由另一些向量 的线性运算得到的，我们就说这个向量 可以用另一些向量线性表示.例如， ，可称由与 线性表示. 对于任意向量,,以及任意实数 ,,,恒有 . 特别提醒 （1） 是实数，是向量，它们的积 仍然是向量.实数与向量可以相乘， 但是不能相加减，如, 均没有意义. （2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算.主要是“合并同类项”“提取公因 式”，但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数. 9 典例详解 例1-1 ［多选题］ 已知, 为两个非零向量，下列说法中正确的是( ) ABC A.与的方向相同，且的模是 的模的2倍 B.与的方向相反，且的模是的模的 C.与 是一对相反向量 D.与 是一对相反向量 10 【解析】先从实数的正负判断两向量方向的关系，再找两向量模的关系，从而得出 结论. A正确,，与的方向相同，且 . B正确,,与的方向相同，且 , 又，与的方向相反，且 , 与的方向相反，且的模是的模的 . C正确,按照相反向量的定义可以判断. D不正确,与是一对相反向量，而与 是一对相反向量， 与 为相等向量. 11 图9.2.2-1 例1-2 ［教材改编P18 T1］ 如图9.2.2-1，已知非零向量 ,求作 向量,，, . 图9.2.2-2 【解析】将向量 依次同向伸长为原来的2倍， 同向缩短为原来的 ，反向伸长为原来的3倍， 反向缩短为原来的，就分别得到向量, , , ,如图9.2.2-2所示. 12 知识点2 向量共线定理 一般地，对于两个向量,，有如下的向量共线定理：设 为非零向量， 如果有一个实数 ，使，那么与是共线向量； 反之，如果与 是共线向 量，那么有且只有一个实数 ，使 . 知识剖析 1.定理中不能漏掉.若,则实数 可以是任意实数;若 , ,则不存在实数 ,使得 . 2.根据该定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量 ， 都存在唯一的一个实数 ，使 ,也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于 这条直线上的一个非零向量表示. 3.对任意两个向量,,若存在一对不全为0的实数 , ,使,则与 共 线.另外，若向量,不共线,当时,一定有 . . . . . 13 典例详解 例2-3 ［教材改编P20 练习T3］ 判断下列各小题中的向量,是否共线（其中 是两个不共线向量）. （1）, ; 【解析】,与 共线. （2）, ; 【解析】,与 共线. 14 （3）, . 【解析】设,则, . 与是两个不共线向量， 这样的 不存在，因此与 不共线. 15 重难拓展 知识点3 三点共线定理 1 三点共线的判定定理 教材深挖POINT 该知识点是针对教材第19页【例4】及第21页【习题9.2（2）】第11题的拓展. 在实际问题的描述中经常会遇到判断三点共线的问题，那么如何利用向量共线 的判定定理来寻找三点共线的判定定理呢？#1.2 16 我们知道，对于平面内任意三点，，，都可以写成,, 的形式，若存 在一个实数 使得或或 ，则根据向量共线的判定定 理可知向量,共线（或,共线或,共线）.由它们具有公共点或或 可知三点,, 共线. 所以我们有：对于平面内任意三点，，，为不同于，， 的任意一点， 设,若实数 , 满足，则三点，， 共线. 证明:由，可得 ，代入 可得 ,即，也即.从而，， 三 点共线.#1.2.3 17 2 三点共线的性质定理 根据向量共线定理及三点共线的判定定理不难得到三点共线的性质定理:若平面 内三点，，共线，为不同于，，的任意一点，设 ,则存在 实数 , 使得 . 证明：若三点，，共线，则一定存在实数使得 .即 ,从而，令, ，则 . 综上，我们得到如下的三点共线定理: 已知平面内三点,,,为不同于,, 的 任意一点，,，三点共线当且仅当存在实数 , 使得 ,且 .注意是存在 , ，且,并非一定有.如,为线段 的 三等分点时，, , 不唯一，当 在直 线外时，则一定有 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 典例详解 例3-4 ［教材改编P21 T11］ 已知,,三点共线, 为直线外任意一点,若 ,则 ___. 1 【解析】 由于,,三点共线,所以向量, 在同一直线上,由向量共线定理 可知,必定存在实数 使,即 ,所以 ,故, ,即 . 由三点共线的性质定理可知， . 19 【知识延伸】 图9.2.2-3 一个重要结论——中点向量公式 如图9.2.2-3所示，为线段 中点的充要条件是 . 提示 充分性：由,可知 . 因此 , 从而有,即为线段 的中点. 必要性：由为线段的中点,可知，因此 , 从而有,即.（事实上，由 ，不 难发现，则,, 三点共线） 20 题型解析 03 题型1 向量的线性运算 例5（1）计算： . 【解析】原式 . （2）设向量,,求 . 【解析】原式 . 22 （3）已知与，且,，求, . 【解析】把已知中的两个等式看成关于,的方程,联立得 解得 故, . 名师点评 解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法相同. 23 解决向量的线性运算问题的基本方法 向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看 作“同类项”进行合并.要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意 义的基础上，熟练运用运算律.向量的线性运算也可以通过方程形式来考查，把所求 向量当作未知量，利用解代数方程（组）的方法求解. 24 【变式题】 1.（1）化简 ； 【答案】原式 . （2）把满足,的向量,用, 表示出来. 【答案】由已知得解得 因此，， . 25 题型2 用已知向量表示相关向量 图9.2.2-4 例6 [教材改编P20 T6] (2025·广东省华师附中南海实 验高级中学期中)如图9.2.2-4，在中， , ,是的中点，是的中点，则 ( ) D A. B. C. D. 26 【解析】 （利用中点向量公式）,,是的中点，是 的 中点, . （利用向量的加减法法则） . 27 用已知向量表示相关向量的基本思路 用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数 乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似 三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解. 28 【变式题】 图9.2.2-5 2.[教材改编P14 例6]如图9.2.2-5，四边形 是以向量 , 对应的线段为邻边的平行四边形，对角线交 于点，且，，试用向量,表示 ， ， . 【答案】 , , . , . . 29 题型3 向量共线定理的应用 1 向量共线的判定 例7 已知，为两个不共线的向量，且四边形满足 , , . （1）将用， 表示; 【解析】 . 30 （2）证明:四边形 为梯形. 【解析】因为,（写成 的形式是关键） 所以与同向，且的模为 的模的2倍, 所以在四边形中,,且 , 所以四边形 是梯形. 31 解决向量共线的判定问题的基本方法 向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数 ， 使得,则向量与非零向量 共线.解题过程中，需要把两向量用共同的已知向 量表示，进而互相表示，由此判断共线. 32 2 解决三点共线问题 例8 ［教材改编P21 T6］ 设不共线的两个向量，，若 ， ，.求证：,, 三点共线. 【解析】因为， ，所以 ， 又，所以 . 所以和共线，又和有公共点 ，（此步不能少） 所以,, 三点共线. . . 33 图9.2.2-6 例9 如图9.，在平行四边形中， ， ，为中点，为上靠近点 的三等分点，求 证：，， 三点共线. 34 【解析】，， . 为上靠近点 的三等分点， . 在平行四边形中， ， ①. 为中点， ②. 由①②可得 . 由向量共线定理知， . 又与有公共点，，， 三点共线. 35 三点共线问题的求解思路 1.证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是 解决向量共线问题的依据. 2.若,,三点共线,则向量,, 在同一直线上,因此必定存在实数,使得其中两个 向量之间存在线性关系,而向量共线定理是实现线性关系的依据. 36 【变式题】 3.(2025·安徽省宿州市第二中学月考)已知向量与向量不共线， , , ，则一定共线的三点是( ) A A.，， B.，， C.，， D.，， 37 【解析】对于A,, , , 点,, 三点共线，故A正确. 对于B，设存在实数 ，使得，即 ,即 ,可知不存在 使得等式成立,与不共线，即, , 三点不共线，故B错误. 对于C， 不存在实数 ，使得,与不共线，即,, 三点不共线， 故C错误.（同选项B的计算方法） 对于D，, 不存在实数 ，使得，即 , , 三点不共线，故D错误. . . . . . . . . 38 3 求参数的值 例10 (2025·江苏省灌南高级中学月考)设与是不共线的向量，若 与 共线且方向相反，则 的值是____. 【解析】若与 共线， 则存在实数,使得 , 与 是不共线的向量， ， 又与方向相反， . 39 利用向量共线定理确定参数的一般方法 解决向量,共线问题，可用两个不共线向量如,表示向量, ,设 ,化成关于,的方程,由于, 不共线，则 解方程组,求, 若 存在，则与共线，若 不存在,则与 不共线. 40 【变式题】 4.(2025·江苏省镇江市期末)设,是两个不共线的向量， ， ，，若,,三点共线，求 的值. 【答案】，，三点共线，与 共线， 设, ,则 , 由与不共线，可得故故的值为 . 41 题型4 向量线性运算在三角形中的运用 1 判断三角形形状 例11 已知，，是平面上不共线的三个点，若 ， ，则 一定是( ) B A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 【解析】设，则根据平行四边形法则知点在 边的中线所在的直线上. 设,，易知,都是单位向量，（为与非零向量 同向的单位向 量）故 . 由平行四边形法则，知点也在的平分线上，所以 一定是等腰三角形. . . 42 2 求三角形面积比 例12 (2025·广东省广州市月考)已知在所在的平面内有一点 ，满足 ，则与 的面积之比是( ) C A. B. C. D. 【解析】因为 ，所以 ，所以点在边上，且是靠近点 一 侧的三等分点，所以和 的面积之比为2:3. 43 【变式题】 5.(2025·河北省承德市双滦区实验中学月考)已知点是 内部一点，并且满足 ，的面积为，的面积为，则 ( ) D A. B. C. D. 图D 9.2.2-1 【解析】因为 ，所以 ,所以 .如图D 9.2.2-1， 取的中点 , 连接,则 , 所以，即为中线 的中点, 则,所以 . 44 3 三角形的四心问题 三角形的“四心” （1）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三 角形三边的距离相等． （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到 三角形三个顶点的距离相等．若是 所在平面内一点，满足 ，则点为 的外心． （3）三角形的垂心：三角形三条高线的交点． （4）三角形的重心：三角形三条中线的交点．若是 内一点，且满足 ，则是 的重心． 45 图9.2.2-7 例13 如图9.2.2-7，已知点是所在平面内一点，点 为边 的中点，且.求证:是 的重心. 【解析】 因为点为边的中点，所以 . 又,所以,即 , ，所以 . 所以向量与共线，且方向相同，长度是向量长度的倍，所以是 的 重心. 46 图9.2.2-8 如图9.2.2-8,作，,连接,则与 相 交于，且 . 由,可得,所以 , 又与有公共点 , 所以,,在同一条直线上，是边上的中线，同理, 的 延长线也为的中线，所以为 的重心. 47 母题 致经典·母题探究 例14 (2025·上海市华东师范大学第二附属中学调研)是平面上一定点，，， 是 平面上不共线的三个点，动点满足，，则点 的轨迹一定通过 的( ) B A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 48 【解析】， . 令,则是以 为起点， 向量与对应线段为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在 的平分线上． ，， 共线． 故点的轨迹一定通过 的内心． 49 子题 若将母题中的条件“, ”改为“ ,”，则点的轨迹一定通过 的( ) B A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心 【解析】由,，得，则 与 的边上的中线共线，又由，知点的轨迹通过 的重心. 50 考情揭秘 高考以向量的数乘为载体，从代数和几何两个方面考查向量的线性运算，既有单独 命题，又作为一种运算工具融入整个向量的运算体系中，和其他知识点综合在一起 命题，以选择题和填空题为主，难度较小. 核心素养：数学运算（向量的线性运算等），直观想象（画出草图，以形助数等）. 51 考向1 向量的线性运算 例15 (2022·新高考全国Ⅰ卷)在中，点在边上，.记 , ,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】如图9.2.2-9,因为，所以 ,所以 ． 图9.2.2-9 52 命题探源 本题取材于教材第20页【练习】第6题，考查利用已知向量表示相关 向量，试题较为简单，重视对基础知识的考查. 素养探源 素养 考查途径 数学运算 向量的线性运算. 失分探源 利用减法运算时，容易搞错向量的起点. 提分探源 做题过程中，可以通过画出草图，数形结合辅助思考，帮助理解. 53 考向2 共线向量定理的应用 例16 (新课标全国卷Ⅱ)设向量，不平行，向量与平行，则实数 _ _. 【解析】因为与平行，且 , 所以存在，使得 ， 即 ， 因为向量，不平行，所以， ， 解得 . 54 考向3 中点向量公式的应用 例17 (2025·北京)已知平面直角坐标系中，, ，设 ，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 55 给什么 得什么 ,，且,是动点，注意到点 是一个定点. 求什么 想什么 ，其中为 的中点 . 差什么 找什么 【确定点的轨迹】是以 为斜边的直角三角形，且 点的轨迹是以点 为圆心，1为半径的圆. 【数形结合思想】 的取值范围. 56 【解析】 因为,,所以 ,所以 , 图9.2.2-10 如图9.2.2-10，设为线段的中点，连接 ，则 ,所以点的轨迹是以点 为圆心，1为半径 的圆. 连接, ，则 . 因为点,，所以 ,又 ,所以 ,所以 ，故选D. 57 因为,,所以 ，则 ， 设为线段的中点，连接，,则, ,由 可知， , 则 ， 即，所以 . 58 高考新题型专练 1.[多选题] (2025·吉林省长春市东北师范大学附属中学月考)在中，，， 分别是边，，的中点，点为 的重心，则下述结论中正确的是 ( ) CD A. B. C. D. 59 【解析】如图D 9.2.2-2，对于选项A, ,即选项A错误； 图D 9.2.2-2 对于选项B，点为的重心，则 , 即选项B错误； 对于选项C, ,即选项C正确； 对于选项D，,即 ，即选项D正确. 60 2.[多选题] (2025·江苏省如东高级中学段考)设点是 所在平面内一点，则下 列说法中 正确的是( ) ACD A.若，则点是边 的中点 B.若，则点在边 的延长线上 C.若，则点是 的重心 D.若，且，则的面积是的面积的 61 【解析】若，则点是边 的中点，故A正确； 若，则有，即，则点在边 的延长 线上，故B错误； 若，即，则点是 的重心，故C正确； 若，且，则可得，设 ， 易得为的中点，则的面积是面积的，故D正确．故选 ． 62 知识测评 04 建议时间：25分钟 1.(2025·湖北省孝感市期末)已知向量,不共线，，,如果 ， 那么( ) D A.且与同向 B.且与 反向 C.且与同向 D.且与 反向 【解析】,,,即,, 不共 线，解得 ,故选D. 64 2.(2025·广东省茂名市期中)设向量，不共线，向量与 共线，则实数 ( ) B A. B. C. D. 【解析】因为与共线，且 ， 所以存在，使得 ， 即 ， 因为向量，不共线，所以， ， 解得， . 65 3.已知，，是平面上不共线的三个点，直线上有一点，满足 ， 则 ( ) D A. B. C. D. 图D 9.2.2-1 【解析】根据题意,,是平面上的三个点,且上一点 满足 ,则位置关系可用图D 9.2.2-1表示,易知为线段 上靠近 的三等分点，则由平面向量的线性运算可得 , 故选D.（【巧解】本题可由知，,, 三点共线，再由三点共线定理快 速排除A,C选项） 66 4.(2025·山西省运城市期末)若是 所在平面内的一点，且满足 ，则 的形状为( ) D A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 【解析】 ， , ， 以， 为邻边所作的平 行四边形为矩形.． 为直角三角形． （【失分点】因为不一定等于,所以 不一定为等腰直角三角形） . . . . 67 5.(2025·江西省上饶市期末)已知平面上不共线的四点,,, ,满足 ，则 等于( ) A A. B. C. D. 【解析】由，得，即 ，所以 ，所以 ， 因为，所以 ， 所以 .故选A. 68 6.[多选题](2025·甘肃省陇南市月考)已知实数,和向量， ，则下列说法中正确的 是( ) AB A. B. C.若，则 D.若，则 【解析】根据向量数乘运算的运算律可知A，B正确； 对于C，当时，，但向量， 不一定相等，故C错误； 对于D，因为，所以,当, 时也成立，故D错误．故 选 ． 69 7.若点在线段上（不包括，两点），且，则 的取值范围为______ ___;若点在线段的延长线上，且，则 的取值范围为__________. 【解析】因为点在线段上（不包括，两点），且，所以向量 与 的方向相同，所以,并且随着点越靠近点， 也越来越大，所以此时 . 因为点在线段的延长线上，且，所以向量与 的方向相反，且 ，所以,并且点越靠近点， 就越小，点越远离点， 就越 接近，所以此时 . 70 图9.2.2-1 8.(2025·江西省上饶市弋阳县第一中学月考)如图9.2.2-1， 在中，，．设 ， ． （1）用，表示， ； 【答案】 ， （2）若为内部一点，且．求证：，， 三点共线． ． 【答案】 ， 所以与共线且有公共点，所以，， 三点共线． 71 高考模拟 05 建议时间：30分钟 9.(2025·上海市华东师范大学第二附属中学调研)已知是 所在平面内一定点， 动点满足，则点的轨迹一定通过 的 ( ) D A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 73 【解析】作线段使交于点，由于 ， ， ,因此在的中线上，故 点的轨迹一定过 的重心. 74 10.已知的面积为3，点是内一点且，则 的面 积为( ) C A. B. C. D. 【解析】取的中点，连接,可得 , , , ,即 , , . 75 11.［多选题］若点是线段外一点，点 是平面上任意一点，且 ，则下列说法正确的有( ) BC A.若且，则点在线段 的延长线上 B.若且，则点在线段 的延长线上 C.若，则点在 外 D.若，则点在 内 76 【解析】因为,所以若且 ，则 ，故 ，即 , 又，则点在线段 或其反向延长线上，A错误； 若且，同上可得，而，则点在线段 的延长线上， B正确； 若， ,同上可得 ,当时， ，根据向量加法的平行四 边形法则可得点在 外，C正确； 若，不妨令，，则，显然此时点在线段 的延长 线上，不在内，D错误．故选 ． 77 12.新情境 欧拉线定理 [多选题](2025·山东省潍坊第一中学开学考试)数学家欧拉在 1765年提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心 到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被 称为欧拉线定理．设点，，分别是的外心、重心、垂心，且为 的中 点，则( ) ABD A. B. C. D. 78 图D 9.2.2-2 【解析】 如图D 9.2.2-2所示，点，，分别是 的外心、重心、垂心，且为 的中点，由欧拉线定理得 重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， . 对于A，是的重心，是 的中点， ，， ， ，故A正确； 对于B，设是的外心，则点到三个顶点的距离相等， ， 故B正确; 对于C， ，故C错误； 79 对于D，，， ， ，故D正确.故选 ． 13.在中，，，，为 的内心，且 ，则 __. 图D 9.2.2-3 【解析】由,,,可知 , 为直角三角形,设的内切圆半径为 .如图D 9.2.2-3，过点作于点，于点 ,可得四边 形 为正方形. , ，（等面积法） . ， ， ， . . . 81 14.(2025·陕西省榆林市期中)设为的重心，为的重心，过作直线 分别交线段，（不与端点重合）于，．若， ． （1）求证： 为定值； 82 【答案】如图D 9.2.2-4，连接并延长交于点，则点是 的中点. 图D 9.2.2-4 设，，则 ， ， ， 所以 . 83 又， ， 且，，三点共线，故存在实数 ，使 ， 所以（【详解】,,） ， 即为定值. . . （2）求 的取值范围． 【答案】因为，，且由（1）得 ， 令,即,所以,所以,即,又,所以 . ， 所以当，即时，取得最大值，此时取得最小值 ； 当或时，即或时，取得最小值5，此时取得最大值 . 故的取值范围为 . 85 谢谢观看 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 86 $