9.2.1 向量的加减法课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.2 向量运算 9.2.1 向量的加减法 第9章 平面向量 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 向量的加法运算 1 向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和（两向量的和仍是一个向量）的运算叫作向量的加法. 向量加法 的三角形 法则 前提 已知向量和,在平面内任取一点 . 作法 作,,连接 . 结论 向量叫作与的和，记作 ,即 . . . . . 6 向量加法 的三角形 法则 图形 续表 7 向量加法 的平行四 边形法则 前提 已知两个不共线的非零向量, . 作法 分别作,,以,为邻边作 . 结论 以为起点的对角线表示的向量就是向量与 的和，即 . 图形 特例 （1）任一向量与其相反向量的和是零向量，即 . （2）对于零向量和任一向量,我们规定 . 续表 8 说明 向量加法的三角形法则和平行四边形法则即向量加法的几何意义. 辨析比较 向量加法的三角形法则和平行四边形法则#1.2.1 法则 三角形法则 平行四边形法则 适用条件 两向量共线或不共线均可. 只适用于两向量不共线的情况. 应用特点 首尾相接：第一个向量的终点与第 二个向量的起点重合. 共起点：两个不共线向量从同 一点出发. 9 2 多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量 的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图9.2.1- 1所示. 图9.2.1-1 . . 10 教材深挖 封闭而成的零向量——对教材第11页【思考】的深挖 （1）向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广，是由求两个向量 的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”. 图9.2.1-2 （2）当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时，各向量的和为 ．如图 9.2.1-2，在边形 中，有 .运用该结论也可以判断一个图形是 否为封闭图形. 11 典例详解 【想一想丨情景引入】 图9.2.1-7 从物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量. 当在光滑的水平面上沿两个不同的方向拉动一个静止的物体时， 如图9.2.1-7所示，物体会沿着力或 的方向运动吗?如果不会， 物体的运动方向将是怎样的? 提示 我们知道，物理学中力的合成遵循平行四边形法则，因此， 情境中的物体不会沿着或的方向运动，其会沿着以, 为邻边的平行四边形 （记为四边形的对角线对应的向量 的方向运动.从力的合成得到启发，本节 引入了向量的加法. 12 例1-1 ［教材改编P12 T1&T2］如图9.2.1-8,已知向量,,不共线,作向量 . 图9.2.1-8 13 图9.2.1-9 【解析】 （三角形法则） 如图 9.2.1-9（1）,在平面内作, , 则 ； 再作,则 . （平行四边形法则） 如图9.2.1-9 （2）,在平面内作,,以 与 为邻边作平行四边形 ,则 ； 再作,以与为邻边作平行四边形,则 . 14 图9.2.1-10 例1-2 [教材改编P11 例1](2025·湖南省娄底市期末)如图9.2.1-10 所示的方格纸中有定点，，，，，，，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】以，为邻边作平行四边形，可知 为所作平行四边形的对角线，故 由平行四边形法则可知对应的向量 即为所求向量. 15 知识点2 向量加法的运算律 1 交换律: 在如图9.2.1-3所示的平行四边形中,, ,则在 中,,在中, ,故 ,即向量的加法满足交换律. 图9.2.1-3 16 2 结合律: 图9.2.1-4 如图9.2.1-4所示， , ,所以在 中, ,在 中, ,从而 , 即向量的加法满足结合律. 特别提醒 1.当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律 也成立. 17 2.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：一质点从点 出发,方案① 先走过的位移为向量,再走过的位移为向量,方案②先走过的位移为向量 ，再走过 的位移为向量 ,则方案①②中这一质点一定会到达同一终点. 3.多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如 ; . 18 典例详解 图9.2.1-11 例2-3 (2025·山东省春季高考研究联合体联考)如图9.2.1-11， 在矩形中， ( ) B A. B. C. D. 【解析】 （三角形法则） 在矩形 中， （平行四边形法则） . ，则 . 19 例2-4 [教材改编P13 T4]化简： . 【解析】 . 20 知识点3 向量的减法运算 定义 若,则向量叫作与的差,记为 .求两个向量差的运算， 叫作向量的减法.（两个向量的差仍是一个向量） 向量减法的 三角形法则 作法 已知向量,,在平面内任取一点,作, ,因为 ,即,所以 . 图形 结论 当向量,起点相同时，从的终点指向 的终点的向量就是 . 剖析 向量减法与加法的转化:向量的减法可以转化为向量的加法，减去一个 向量等于加上这个向量的相反向量,如 . . . . . 21 知识剖析 1.向量减法的三角形法则中，表示 ，强调了差向量的“箭头”指向 被减向量.即作非零向量,的差向量 ,可以简记为“共起点,连终点,指向被减”. 2.由上可知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；也可以转化为向量的加 法 作差向量. 3.如图9.2.1-5,以，为邻边作平行四边形 ,则两条对角线所对应的向量 , ，这一结论在以后的学习中应用非常广泛.#1.3 图9.2.1-5 22 典例详解 图9.2.1-12 例3-5 如图9.2.1-12，已知向量，，，求作向量 . 点拨 先作,再作 即可. 【解析】如图9.2.1-13所示，以为起点分别作向量和，使， . 图9.2.1-13 连接，得向量，再以为起点作向量，使 . 连接，得向量．则向量即所求作的向量 . 23 例3-6 (2025·江苏省沭阳县月考) ( ) B A. B. C. D. 【解析】 （三角形法则） . （统一成加法） . 24 重难拓展 知识点4 向量形式的绝对值三角不等式 （1）当向量，不共线时，作，，则 ,如图9.2.1-6 （1），根据三角形的三边关系，有 . （2）当与同向共线或， 中至少有一个为零向量时，作法同上，如图9.2.1- 6（2），此时 ； 教材深挖POINT 该知识点是对教材第16页【习题9.2(1)】第14题的证明与拓展. 当与反向共线或，中至少有一个为零向量时，不妨设 ，作法同上， 如图9.2.1-6（3），此时 . 25 故对于任意向量， ， 总有 ①． 由于 ，所以 图9.2.1-6 ， 即 ②． 将①②两式结合起来，即 ，我们称之为向量形式 的三角不等式. . . 典例详解 例4-7 (2025·山东省日照市实验高级中学诊断)若，，则 的取值 范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】因为 ，所以 当,同向共线时， ； 当,反向共线时， ； 当,不共线时，,即 . 综上可得 . 27 点评 当向量,不共线时,向量,对应的线段分别与向量, 对应的线段构 成三角形,由“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”可以得到 . 28 题型解析 03 题型1 向量的加减法运算 例8 ［教材改编P15 T7］化简: . 【解析】 （统一成加法） . . （辅助点法） 设 是平面内任意一点， 则 . 30 化简向量式的方法和技巧 要先观察向量的表达形式，利用向量加、减法的运算律及相反向量的性质化为首尾 相连且为和的形式或始点相同且为差的形式，从而达到化简的目的.具体来说，有五 点技巧： （1）加法：首尾连，起点到终点 . （2）减法：共起点，连终点，指被减 . （3）化减为加 . （4）凑零法（相反向量的和为 ）. （5）运用辅助点法，将所有向量转化为以一确定点为起点的向量，消项后,运用前 四点技巧求解. 31 【变式题】 1.［多选题］(2025·天津市南开中学监测)下列各式中能化简为 的是( ) ABC A. B. C. D. 【解析】由向量运算的三角形法则可得 ； ； ; .故选 . 32 题型2 向量加减法几何意义的应用 例9 [教材改编P15 习题9.2（1） T6]某人第1次的位移为向量“向北走 ”，第 2次的位移为向量:“向东走”，则 表示的意义是_________________. 向东北走 图9.2.1-14 【解析】如图9.2.1-14，适当选取比例尺，作 ， ，则 . 因为 是等腰直角三角形，所以 . 又 ，所以表示向东北走 . 33 例10 若向量,满足，,则 ____. 34 图9.2.1-15 【解析】如图9.2.1-15,在平面内任取一点,作, ,以 ,为邻边作平行四边形,则, . 因为,所以四边形 为矩形，所以 是直角三角形. 在中，, ，所以 . 在平行四边形 中，由平行四边形的性质对角线长的平方和等于四边 长的平方和，得 ，即 ，解得，即 . 35 名师点评 下列平行四边形中有关向量的结论，在解题中可以直接使用.在 中，记 ， ， ①对角线长的平方和等于四边长的平方和，即 ； ②若，则平行四边形 为矩形. 36 【变式题】 2.(2025·湖南省邵阳市新宁县第一中学月考)设,为单位向量,且 ,则 ____. 【解析】如图D 9.2.1-1所示，设,,利用平行四边形法则得 , , 为正三角形, . 图D 9.2.1-1 37 题型3 向量形式的绝对值三角不等式的应用 例11 ［多选题］下列说法正确的是( ) AD A.若，同向，则有 B.若，不共线，则有 C. 恒成立 D.对任意两个向量，，总有 【解析】由向量形式的绝对值三角不等式可知，当， 同向时，有 ；当，不共线时，有；当， 是任意向量时， 有 ，故A，D正确，B错误. 当时， ，故C错误. 38 例12 若非零向量和满足,则的取值范围是______, 的取 值范围是______. 【解析】因为,且 是非零 向量， 所以的取值范围是 . 因为 ，所以 ， . 又，且是非零向量，所以的取值范围是. 【易错点】 若,则,此时,是以, 为边长的矩形的对 角线,又矩形的对角线长不可能等于其边长,这与相矛盾,故 39 题型4 向量的应用 1 用已知向量表示其他向量 例13 向量,,,, 如图9.2.1-16所示,据图解答下列各题： 图9.2.1-16 （1）用,,表示 ； 【解析】 . 40 （2）用,表示 ； 【解析】（此处容易错写为 .切记,差向量是从减向量的 终点指向被减向量的终点） . （3）用,,表示 ； 【解析】 . （4）用,表示 . 【解析】 . 【解析】由题图知，，，，， . . . 41 利用已知向量表示其他向量的思路 解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线、相等 向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系.当运用三角形法则时，要注意 两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法. 常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和或差,即 或,均是同一平面内的任意点 . 42 【变式题】 图9.2.1-17 3.如图9.2.1-17,已知,,,, ,试用 ,,,, 表示以下向量: （1） ; 【答案】 . （2） ; 【答案】 . （3） ; 【答案】 . 43 （4） ; 【答案】 . （5） . 【答案】连接, . 44 2 在几何问题中的应用 母题 致经典·母题探究 例14 在四边形中，,则四边形 一定是( ) D A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 【解析】在三角形中，,又在四边形中， ,所 以,所以四边形 是平行四边形. 多维探究 （1）如果题设条件中添上，那么四边形 就是菱形； （2）如果题设条件中添上，那么四边形 就是矩形； （3）如果题设条件中同时添上和，那么四边形 就是正 方形. 45 子题 设平面内有四边形和点，,,,,若 ， 则四边形 的形状是____________. 平行四边形 【解析】, , 即，， , 故四边形 为平行四边形. 46 【变式题】 图9.2.1-18 4.［教材改编P15 T10］如图所示，已知点， 在平行四边形的对角线上，且 ，连接 ，，，．求证：四边形 是平行四边形. 【答案】由题意得，， . 因为四边形 为平行四边形， 所以，且，所以 . 又，且,均在线段上，所以 ， 所以，即，且 ， 所以四边形 是平行四边形. 47 3 实际应用题 例15 ［教材改编P16 T11］一条河两岸平行，河的宽度为 ，一个人从岸边 游向对岸，已知他在静水中游泳时速度为，水流速度为 . 48 ①当此人垂直游向河对岸时，他实际的前进速度为____ ； 24 【解析】由题意作图如图9.2.1-19所示， 图9.2.1-19 由图可知，他实际的前进速度为 . 49 ②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸需要____ ． 20 【解析】由题意作图如图9.2.1-20所示， 图9.2.1-20 此时实际的前进速度为 ， 故他游到河对岸需要 . 50 用向量解决实际应用题的步骤 （1）表示：用向量表示实际问题中既有大小又有方向的量. （2）运算：利用三角形法则或平行四边形法则求向量的和或差，再利用相关知识解 决问题. （3）作答：根据题意作答. 51 知识测评 04 建议时间：25分钟 1.化简： ( ) B A. B. C. D. 【解析】 . 53 图9.2.1-1 2.新情境 八卦模型 (2025·四川省遂宁中学校 月考)八卦是中国古老文化的深奥概念，其深 邃的哲理解释了自然、社会现象．如图9.2.1- 1（1）所示的是八卦模型图，其平面图形记 为图9.2.1-1（2）中的正八边形 ， 其中为正八边形的中心，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意可得，,则 . 54 3.［教材改编P15 T8］(2025·北京市期末)在 中， ，则 是( ) A A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】, ， ，，所以 是等边三角形. 故选A. 55 4.对于不等式 ，给出下列四个结论： ①不等式左端的不等号“ ”只能在时取“ ”； ②不等式左端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且不共线时取“ ”； ③不等式右端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且同向共线时取“ ”； ④不等式右端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且不共线时取“ ”． 其中正确的结论有( ) A A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 56 【解析】当时, 也成立，故①不正确； 当,时， 也成立，故②不正确； 当,有一个为时， 也成立，故③不正确； 当与均为非零向量且反向共线时， 也成立，故④不正确. 所以正确的结论有0个. 57 5.(2025·江苏省镇江市检测)下列各式中结果为零向量的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 58 6.如图9.2.1-2,在正八边形中，，，， ， ． 图9.2.1-2 （1）试用已知向量表示 ； 【答案】由题图可知 . （2）试用已知向量表示 ． 【答案】由题图可知 ． 59 7.［教材改编P16 T12］如图9.2.1-3所示，一架飞机从地按北偏东 的方向飞行 到达地，然后又从地按南偏东 的方向飞行到达 地，求这架飞 机飞行的路程及两次位移的和（参考数据： ）.#2 图9.2.1-3 60 【答案】设,分别表示飞机从地按北偏东 的方向飞行，从 地按 南偏东 的方向飞行，则飞机飞行的路程指的是 ；两次位移 的和指的是 . 依题意，有， . 在中， ,所以 ,所以 ，即两次位移的和的方向为北偏东 . 从而飞机飞行的路程是,两次位移的和的大小为 ，方向为北偏东 . 61 高考模拟 05 建议时间：20分钟 8.一艘船以的速度沿着与水流方向成 夹角的方向航行，已知河水流速为 ，则经过 ，该船的实际航程为( ) B A. B. C. D. 图D 9.2.1-1 【解析】如图D 9.2.1-1所示，表示水流速度， 表示船在 静水中的速度，则表示船的实际速度,又, , ,则 , , , 实际速度为,则实际航程为 . 63 图9.2.1-4 9.[多选题](2025·山西省大同市期末)如图9.2.1-4，在等腰 梯形中，，， ， 为 的中点,则下列式子正确的是( ) ABD A. B. C. D. 64 【解析】由题意，，，，所以 ， 且四边形和四边形都是平行四边形，所以， . 对于A，在平行四边形中， ，故A正确； 对于B，，，所以 ,故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，，所以，故D正确.故选 . 65 10.在中心为的正八边形中， , , ,则 ____. 【解析】如图D 9.2.1-2， ， 图D 9.2.1-2 . 66 11.(2025·陕西省西安市期中)已知,是两个单位向量，且，则 的取 值范围是______. 【解析】因为,是两个单位向量，且 ， 所以，则，又，当且仅当, 方 向相同时，等号成立， ，当且仅当,方向相反时，等号成立，所以 . 67 图9.2.1-5 12.(2025·江苏省扬州中学月考)如图9.2.1-5，为 的外心， 为垂心，求证： . 图D 9.2.1-3 【答案】如图D 9.2.1-3，连接,,延长交圆于点 ，连接 ，，则,，．又 ， ，，， 四边形 是平行四边 形,.又 ， . 68 谢谢观看 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 69 $