第八章 整式乘法与因式分解 单元检测卷 2025-2026学年沪科版七年级数学下册

第八章单元检测卷 一、单选题 1.人体中红细胞的直径约为0.0000077m,将数字0.0000077用科学记数法表示为() A.7.7×10 B.0.77×10 C.7.7×106 D.77×107 2.下列计算正确的是() A.a3.a2=a0B.x8÷x2=x6 C.(2ab)3=6a3b3 D.2a+3a=5 3.若(x-2)(x+3=x2+ax+b,则a,b的值分别为() A.a=-l,b=-6B.a=-l,b=6 C.a=1,b=-6 D.a=1,b=6 4.我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和 的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角， 计算(a+b)°的展开式中，含项的系数是() (a+b)°= 1… (a+b)'= a+b…11 (a+b)2= a2+2ab+b2…121 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.…1331 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4…14641 A.15 B.10 C.9 D.6 5.己知(x-2026)2+(x-2024)2=10,则计算x-2026)(x-2024)的结果是() A.1 B.2 C.3 D.4 6.小明利用完全平方公式进行因式分解”x2+y+81y2=(x气9y)2"时，“(x9y)2"中 的运算符号被墨迹染黑了，则k的取值是() A.9 B.±9 C.18 D.±18 7.定义：任意两个数a,b,按规则c=a+b-ab扩充得到一个新数c,称所得的新数c为“鸿 蒙数”.若a=2,b=x2-2x+2,则b,c的大小关系为() A.b<c B.bxc C.b>c D.b≤c 8.多项式ax+A可因式分解为ax1-y),则A为() A.a B.-axy C.-ay D.ay 9.已知4x2+ky+9y2是完全平方式，则k的值为() A.12 B.-12 C.±12 D.±6 10.若(a+b+c)2=4026,(a-b+c)2=24,则a2+b2+c2+2ac的值是() A.2024 B.2025 C.2026 D.4050 二、填空题 11.计算：a2.a3= 12.若x+y=8,x2y2=4,则x2+y2= 13.因式分解： (1)(m-2)2-(m-2)=; (2)a(a-b)+ab(a-b)= 14.一般地，如果x"=a(n为正整数，且n>1),那么x叫作a的n次方根.例如： :2=16,(-2)4=16,16的四次方根是±2·则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实 数都有唯一的奇次方根；③若S=(3+1)(32+134+13+1…(3*+,则S的三次方根是 三：@当、2023+aF+a-2025可=4050时，整数a的二次方根有4050个.其中i正 确的是 (填序号). 三、解答题 15.计第：(-+-回+5x5-°+g 16.计算： (2)-2a3a2-4ab+5b2）. 17.某学校分为初中部和小学部，初中部的学生人数比小学部多.做广播操时，初中部排成 的是一个规范的长方形方阵，每排3a-b)人，站有(3a+2b)排；小学部站的方阵，排数和 每排人数都是2(a+b). (1)试求该学校初中部比小学部多多少名学生？ (2)当a=10,b=3时，试求该学校一共有多少名学生？ 18.观察下列等式，并回答问题. 4×1=2202; 4×2=32-12; 4×3=42-22: 4×4=52-32; (1)将2024写成两个整数平方差的形式：2024=-一-. (2)用含有字母n(n≥1，且n为整数)的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律. (3)相邻的两个整数的平方差是4的倍数吗？请说说你的理由， 19.阅读理解并解答： 我们把多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分 解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地，把一个多项式进行部分因式 分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题 (1)例如：①x2+2x+3=x2+2x+3=x2+2x+1-1+3=(x+12-1+3=(x+12+2, (x+1是非负数，即(x+1)≥0，(x+1)+2≥2， 则这个代数x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是-1， ②2x2-12x+1=2x2-6x+1=2x2-6x+9-9+1=2(x-3-18+1=2(x-3)2-17, (x-32是非负数，即(x-32≥0，.2(x-32-17≥-17， 则这个代数式2x2-12x+1的最小值是，这时相应的x的值是 (2)知识再现：当x=时，代数式x2-4x+5的最小值是： (3)知识运用：若y=-x2+2x+2,当x=时，y有最值（填“大”或“小”），这个值 是」 ； (4)知识拓展：若-x2+3x+y+4=0,求y+x的最小值。 20.分解因式： (1)a2(a-b)+b2(b-a: (2)x2-y2+2x-2y; (3)x4-16y4. 21.先化简，再求值： 12x-2x+川-(2x-2,其中x= y=-1 叫ae以g-安 22.观察下列各式： 12×18=216=1×2×100+8×2; 23×27=621=2×3×100+3×7; 34×36=1224=3×4×100+4×6… (1)请根据上述规律直接写出计算结果：73×77=_；92×98= (2)设这两个两位数的十位数字都为α，其中一个两位数的个位数字为b,另一个两位数的个 位数字为c,且b+c=10.请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确 性 23.【问题背景】同学们一定都熟悉月历吧，月历中有很多奥秘.下面以2026年1月份的月 历（图1）为例，进行数学探究活动. 日 二 三 四 1 4 5 6 7 8 11 12 13 14 15 18 19 20 21 22 25 26 27 28 29 (图1) b B D d (图2) (图3) 探究一 (1)如图2的“十字型”可以框住月历中的5个数，若将位置A,B,C,D上的数按逆时 针方向依次两两相乘，再把它们的积相加，所得的和叫做这个“十字型”的“美好数”.例如， 图1中阴影部分所示"十字型"的“美好数”=2×8+8x16+16×10+10×2,请直接写出计算结 果； (2)在月历中移动“十字型”，可以发现每个“美好数”都与字母E位置上的数有关.设这个 位置上的数为m,请用m的代数式表示该”十字型”的“美好数”=一： 探究二 (3)“H型"可以框住7个数，其中四个数a,b,c,d的位置如图3所示，求bc-ad的值； 探究三 (4)“十字型”和“H型”在月历上可以上下左右移动，也可以重叠覆盖，但覆盖的区域都要有 数字.设“十字型”框出来的五个数字之和为S,“H型”框出来的七个数字之和为S2.在2026 年1月份的月历中，若S,+S,=175,则S2-S的最大值是 第八章单元检测卷 一、单选题 1．人体中红细胞的直径约为，将数字0.0000077用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：数字0.0000077用科学记数法表示为． 故选：C 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质（同底数幂的乘除、积的乘方）与合并同类项法则，需根据相关法则逐一判断选项计算的正确性． 【详解】解：A、，故A错误． B、，故B正确． C、，故C错误． D、，故D错误． 故选：B． 3．若，则a，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将等式左边展开，根据两个多项式相等即各项均相等即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 故选C． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式及多项式相等的条件，解题的关键是理解两个多项式相等即各项均相等． 4．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：； 的系数行：； 对于含项的系数是从左向右第个数，即． 故选：A． 5．已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题可通过换元法结合完全平方公式的变形进行求解，利用完全平方公式中平方和与乘积的关系转化计算． 【详解】解：设， ∵，且 又∵ ∴ 即 移项得 ∴ 即 故选：C． 6．小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ∴， 故选D． 7．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，利用作差法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∴． 8．多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 【详解】∵ 多项式可因式分解为，. ． 9．已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的结构特征确定中间项系数与首尾两项的关系即可解答． 【详解】解：完全平方公式为， 又，，且是完全平方式， 中间项， ． 10．若，，则的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 通过设，将原式转化为关于和的等式，利用已知平方和求值． 【详解】∵，， 设，则，， 将两式相加得：， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选B． 二、填空题 11．计算：________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加即可求解． 【详解】解：． 12．若，，则______． 【答案】 60或68/68或60 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，通过对完全平方公式变形求值，运用完全平方公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用完全平方公式将表示为，再根据求出的值，代入计算． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∵， ∴， ∴或， 当时， ； 当时，， 故答案为：或． 13．因式分解： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】根据多项式的结构特征，运用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：(1) ； (2) 14．一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫作a的n次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则S的三次方根是；④当时，整数a的二次方根有个．其中正确的是___________ （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了对a的n次方根的定义的阅读理解能力，绝对值，平方差公式，掌握相关知识点是解题的关键． 根据n次方根的定义和性质，结合平方差公式和绝对值，判断各结论的正确性，即可求解． 【详解】解：， 是的四次方根，故结论①正确； 任何实数都有唯一的奇次方根，结论②正确； ， ， 的三次方根是，故结论③正确； ， ， 解得或， 无实数平方根，有两个平方根， 的二次方根有两个，故结论④错误； 综上所述，正确的结论为①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题 15．计算： 【答案】 【分析】先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，化简绝对值，再计算乘法，最后加减即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】注意运算顺序． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2) 【分析】（1）首先计算零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，然后计算加减即可； （2）用单项式乘以多项式的每一项求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．某学校分为初中部和小学部，初中部的学生人数比小学部多．做广播操时，初中部排成的是一个规范的长方形方阵，每排人，站有排；小学部站的方阵，排数和每排人数都是． (1)试求该学校初中部比小学部多多少名学生？ (2)当，时，试求该学校一共有多少名学生？ 【答案】(1)该学校初中部比小学部多名学生； (2)该学校一共有名学生． 【分析】（1）利用“方阵总人数每排人数排数”，分别表示出初中部和小学部的总人数，再求两者的差值； （2）将初中部和小学部的总人数相加，得到表示学校总人数的代数式，再将，代入计算． 【详解】（1）解： ， 答：该学校初中部比小学部多名学生； （2）解： ， 当，时， 原式 （名）， 答：该学校一共有名学生． 18．观察下列等式，并回答问题． ； ； ； ； … (1)将写成两个整数平方差的形式： ． (2)用含有字母（，且为整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个整数的平方差是的倍数吗？请说说你的理由． 【答案】(1)， (2)（且为整数），证明见解析 (3)不是，理由见解析 【分析】本题主要考查完全平方公式： （1）根据题意可知，； （2）根据题意可知（且为整数），将上述等式右边展开，即可证明； （3）设相邻的两个整数为和（为整数），当这两个整数的平方差为时，，当这两个整数的平方差为时，． 【详解】（1）根据题意可知，． 故答案为：， （2）根据题意可知（且为整数）． 将上述等式右边展开： （3）设相邻的两个整数为和（为整数）． 当这两个整数的平方差为时，． 当这两个整数的平方差为时，． 因为和是奇数，而的倍数是偶数， 所以，相邻两个整数的平方差不是的倍数． 19．阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． (1)例如：①， 是非负数，即，， 则这个代数的最小值是2，这时相应的的值是， ②， 是非负数，即，， 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是_______； (2)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (3)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (4)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)，3 (2)2，1 (3)1，大，3 (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据可得当时，取得最小值，由此即可得； （2）利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得； （3）利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得； （4）先根据已知等式可得，再利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴这个代数式的最小值是，此时， ∴这个代数式取得最小值时，相应的的值是， 故答案为：，3． （2）解： ， ∵是非负数，即， ∴， ∴当，即时，代数式取得最小值，最小值为1， 故答案为：2，1． （3）解： ， ∵是非负数，即， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为3， 故答案为：1，大，3． （4）解：， ， 则 ， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 20．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 21．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握方法是解题的关键． （1）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再合并化简后代入计算即可． （2）先将括号里的式子通分进行减法运算，再计算分式的除法化简，最后代入数值计算即可． 【详解】（1）解：原式 当时， 原式； （2）解：原式 ， 当时， 原式． 22．观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】(1)5621；9016 (2)；理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【详解】（1）， ； 故答案是：；． （2）用代数式表示规律：； 理由如下：， ， ． 23．【问题背景】同学们一定都熟悉月历吧，月历中有很多奥秘．下面以年1月份的月历(图1)为例，进行数学探究活动． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (图1) 探究一 （1）如图2的“十字型”可以框住月历中的5个数，若将位置，，，上的数按逆时针方向依次两两相乘，再把它们的积相加，所得的和叫做这个“十字型”的“美好数”．例如，图1中阴影部分所示“十字型”的“美好数”，请直接写出计算结果________； （2）在月历中移动“十字型”，可以发现每个“美好数”都与字母位置上的数有关．设这个位置上的数为，请用的代数式表示该“十字型”的“美好数”=________； 探究二 （3）“型”可以框住7个数，其中四个数，，，的位置如图3所示，求的值； 探究三 （4）“十字型”和“型”在月历上可以上下左右移动，也可以重叠覆盖，但覆盖的区域都要有数字．设“十字型”框出来的五个数字之和为，“型”框出来的七个数字之和为．在年1月份的月历中，若，则的最大值是________． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【分析】（1）直接按照有理数混合运算法则计算“美好数”的结果； （2）设位置的数为，用表示出、、、的数，根据“美好数”的定义列出代数式并化简； （3）设型中间数为，用表示出的数，代入进行整式的乘法与减法运算并化简； （4）分别用字母表示出和，根据建立方程，结合月历中数的取值范围确，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：； （2）解：设位置的数为，根据月历数字规律，得，，，， 则该“十字型”的“美好数”为： ； （3）解：设型中间位置的数为，根据月历数字规律，得，，，， 则 28； （4）解：设十字型中间数为，则十字型五个数之和， 设型中间数为，则型七个数之和， 由，得，变形为， 又∵为正整数，需为正整数， ∴是5的倍数， 当时，型中间数为5，月历中不存在这种情况； 当时，型中间数为，月历中不存在这种情况； 当时，，型中间数为，十字型中间数为， 此时； 当时，，型中间数为，十字型中间数为7，月历中不存在这种情况； 当时，，月历中不存在这种情况； 综上，的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $