第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷（基础版）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分离系数，再根据导数定义即可得到答案. 【解析】由题意有：. 故选：D. 2．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导数的运算法则以及复合函数求导法则运算求解即可. 【解析】对于选项A：，，两者不相等，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：D. 3．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合函数的图象，由导数的几何意义求解判断即可． 【解析】设为点、为点． 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大， 且均为正数，所以． 直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小， 但比在处的切线的斜率大，所以． 4．设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对求导后代入即可求得的值. 【解析】由题意得， 令，得，解得. 故选：A. 5．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数的几何意义即可求解． 【解析】， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以切线斜率，解得． 故选：D． 6．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【解析】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 7．已知函数，其中，3为的极大值点．若在内有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导，根据可得函数的单调区间，再根据3为的极大值点可确定的值，然后由极小值点在区间内，可求的取值范围. 【解析】，由于，则， 所以由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 故是的极大值点，故， 是的极小值点. 若在内有最小值， 只需即可，解得，因此选D． 8．已知函数且的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，分析可知函数的值域包含，利用导数分析该函数的单调性与极值，可知，即可解出实数的取值范围. 【解析】令，因为函数的值域为，故函数的值域包含， 求导得，又因为且，由可得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则下列说法正确的是（    ） A．在这段时间里，运动员的平均速度 B．在运动过程中运动员的瞬时速度 C．在起跳到落水的过程中运动员的速度不可能为0 D．第时刻瞬时速度为 【答案】ABD 【解题思路】通过计算函数在某区间的平均变化率判断选项，求出函数的导数，即瞬时速度来判断选项. 【解析】选项：，所以选项正确； 选项：对函数求导得：，所以选项正确； 选项：令，解得：，即在起跳到落水的过程中运动员的速度可以为0，所以选项错误； 选项：把代入，得，所以选项正确. 故答案为：. 10．如图是导函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【答案】ABD 【解题思路】由图像与性质关系可得答案. 【解析】对于A，由图可得时，，则在上单调递增，故A正确； 对于B，由图可得时，，则在上单调递减，故B正确； 对于C，由图可得，则不在时取得极大值，故C错误； 对于D，由图可得时，，则在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值，故D正确． 故选：ABD 11．已知函数，其中．则下列说法正确的是（   ） A．函数必有零点 B．若，则的对称中心为 C．若有两个极值点，则的取值范围是 D．存在实数，使得在上单调递减 【答案】AB 【解题思路】对函数求导，可得导数为二次函数，结合二次函数的性质和零点存在定理可以判断A；根据函数平移的性质，结合和的平移关系可以判断B；将问题转化为导数有两个不等的零点，进而利用判别式求解可以判断C；将问题转化为导数小于等0恒成立，再结合二次函数性质求解可以判断D. 【解析】根据题意得，是开口向上的二次函数， 选项A：当时，时，由零点存在定理可知在上必有零点，故正确； 选项B：当时，得， 的对称中心为， 将向右平移1个单位，向上平移2个单位后得， 所以对称中心为，故正确； 选项C：若有两个极值点，则有两个不相等的实根， 所以判别式，解得，即 当时，恒成立，不存在两个极值点，故错误； 选项D：若在上单调递减，则对任意恒成立， 因为是开口向上的二次函数， 所以时，不能恒小于等于0，故错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点且与曲线相切的直线方程为____________________. 【答案】或 【解题思路】设切点的横坐标为，利用导数构建关于的方程后求出，从而可求切线方程. 【解析】设切点为的横坐标为， 因为，故， 故，整理得到：， 故或，故切线的斜率为或， 故切线方程为或， 即或， 故答案为：或， 13．已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解题思路】分析可知导函数的函数值既有正值又有负值，结合判别式运算求解即可. 【解析】因为， 若函数在定义域上不是单调函数， 可知导函数的函数值既有正值又有负值，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解题思路】求解导数，根据导数有两个变号零点，结合图象可求答案. 【解析】，令可得， 因为有两个极值点，所以有两个变号零点， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当从负半轴趋近于时，趋近于，当从正半轴趋近于时，趋近于， 又，简图如下，    由图可知，，即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. 16．（1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求过点且与图象相切的直线的方程． 【答案】（1）；（2）或 【解题思路】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）设出切点坐标，求得切线方程并代入，求得切点坐标，进而求得切线方程. 【解析】（1）由得， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）设切点为，， 则，切线方程为， 将代入上式得，， 由于，故上式可整理为， ，解得或， 所以切线方程为或， 即或. 17．已知函数，的图象在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值； (2)证明:当时，． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导，利用导数的几何意义求出，进而求出切线方程，从而求出； （2）求导，利用导数讨论函数的单调性，进而证明结论． 【解析】（1）函数求导得， ， 切线方程斜率为， ，解得，则， ，故的图象在点处的切线方程为，即， ． （2）令，则， 令，则， ，， ，单调递增， ，故单调递增， ，即，命题得证． 18．已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）对函数求导并令导数为，找到临界点，通过分析导数在不同区间的符号确定函数单调性，进而求出极小值与极大值； （2）构造函数并求导，将问题转化为分析导函数的最小值，结合已知的范围判断恒正，从而推出单调性，最终证明不等式. 【解析】（1）函数的定义域为， ,令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 极小值为，无极大值. （2）令，则 ， 由（1）可知，即的最小值为， 已知，代入得： ， 因此对任意恒成立，故在上单调递增， 当时，，即： 得证. 【点睛】本题的核心是通过导数分析函数单调性，以极值为桥梁，将不等式证明转化为函数最小值的符号判断. 19．函数，. (1)若在上单调递减，求a的取值范围； (2)若曲线与在处有相同的切线， （i）求a的值； （ⅱ）若，证明：. 【答案】(1)； (2)（i）；（ⅱ）证明见解析. 【解题思路】（1）求出的导数，由给定区间及单调性建立不等式求解. （2）（i）利用与在处的导数值相等求出；（ⅱ）按分段讨论，结合极值点的偏移方法推理得证. 【解析】（1）函数在上单调递减，则，， 即，，而，当且仅当时取等号，因此， 所以a的取值范围是. （2）（i）由，求导得， 由曲线与在处有相同的切线，得，即， 解得，此时曲线与在处的切线都为，符合题意， 所以. （ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且， ，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，而，不符合题意； 当时，，则，，因此，符合题意； 当，的取值集合为，而在的取值集合为， 在的取值集合为，因此能成立， 当时，； 当时，，， 令，求导得， 函数在上单调递增，，即， 因此，而，则，又函数在上单调递增， 于是，即， 所以. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则 （    ） A．1 B． C． D． 2．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．设函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 6．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，其中，3为的极大值点．若在内有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数且的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则下列说法正确的是（    ） A．在这段时间里，运动员的平均速度 B．在运动过程中运动员的瞬时速度 C．在起跳到落水的过程中运动员的速度不可能为0 D．第时刻瞬时速度为 10．如图是导函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 11．已知函数，其中．则下列说法正确的是（   ） A．函数必有零点 B．若，则的对称中心为 C．若有两个极值点，则的取值范围是 D．存在实数，使得在上单调递减 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点且与曲线相切的直线方程为____________________. 13．已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是_________． 14．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 16．（1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求过点且与图象相切的直线的方程． 17．已知函数，的图象在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值； (2)证明:当时，． 18．已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 19．函数，. (1)若在上单调递减，求a的取值范围； (2)若曲线与在处有相同的切线， （i）求a的值； （ⅱ）若，证明：. 2 / 3 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $