第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷（提升版）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（   ） A．当时，取得最小值 B．在上单调递增 C．当时，取得极大值 D．在上不具备单调性 【答案】C 【解题思路】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点和最值，进而确定正确选项. 【解析】由图可知，在区间上,单调递减； 在区间上,单调递增. 所以当时，取不到最小值，当时，取得极大值. 所以ABD选项错误，C选项正确. 故选：C. 2．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【解析】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 3．已知，若函数恰有1个零点，则（    ） A．e B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】由，得或. 令函数，则，所以在上单调递增. ，， 所以必有1个零点. 因为恰有1个零点，且是的零点， 所以，即，解得. 4．点是曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数的几何意义及点到直线的距离计算即可. 【解析】因为， 令，所以， 易得函数在上单调递增，为零点，此时M的坐标为， 由点到直线的距离公式可得此时M到直线的距离为， 故点到直线的距离的最小值为. 故选:C 5．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，求导得出在上单调递增．由奇偶性定义可知为上的奇函数． 解法1：原不等式可化为，因此求解即可. 解法2： 函数的图象关于点（1，-2）对称，原不等式可化为，求解即可； 【解析】设，则， 当且仅当时取等，因此在上单调递增． 可知为上的奇函数． 解法1：因为，所以． 原不等式可化为，即． 由于在上单调递增，因此，解得， 故选：B． 解法2： 又因为，所以函数的图象关于点（1，-2）对称， 且在上单调递增，． 原不等式可化为，解得， 故选：B． 6．若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可 【解析】，，设公切线与的图象切于点，与曲线切于点， ∴，故，所以，∴，∵，故， 设，则， ∴在上递增，在上递减，∴， ∴实数a的最大值为e 故选：B. 7．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．在内有两个零点 B．的图象关于点成中心对称 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】C 【解题思路】先对函数求导，判断单调性，结合余弦函数的性质逐项计算判断即可. 【解析】对函数求导得， 由可得或,或, 当时;当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 即，故C错误，D正确； 对于A，由上分析可知，在上递减，在上递增，在上递减, 且,故在内有两个零点，A正确； 对于B，由 ,故的图象关于点成中心对称，B正确. 故选：C． 8．关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同构思想变形给定等式，结合单调性可得函数，再利用导数求出最小值即可. 【解析】方程，令函数， 而，则函数在R上单调递增，又方程等价于， 因此， 令函数，依题意，方程有两个不同实根， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 又，当时，恒有， 则当且仅当时，方程有两个不同实根， 所以实数a的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）下列求导正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据导数的运算法则，结合选项依次求导即可. 【解析】选项A：，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D正确； 故选：BCD 10．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．若，则函数在上单调递增 B．若，则函数在上有2个极值点 C．，使得函数在上单调递增，在上单调递减 D．若函数在上单调递增，则的最小值为 【答案】ABD 【解题思路】利用导数研究函数单调性，可以依据导函数的正负情况判断；函数的极值，即判断导函数是否有变号的零点. 【解析】对于选项A，当时，， 则， 当时，， 当时，则， 故当时，，故函数在上单调递增.故A正确； 对于选项B，当时，，令=0， 即，考虑两函数的交点情况如图： 可知，则函数在上有2个极值点.故B正确； 对于选项C，，使得函数在上递增，在上递减， 则函数在取最大值， 由为指数型函数在上不存在最大值，为有界函数， 故没有最大值.故C错误； 对于选项D，函数在上单调递增， 则恒成立， 则，在上单调递增， 令，则， 令，则，得，. 因为周期函数，在上单调递减， 故的最大值在中取得， 当时，，恒成立； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 故的最大值为， 从而,即的最小值为.故D正确. 11．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】BD 【解题思路】先对函数进行求导，再根据导数小于零有解来确定的取值范围即可. 【解析】的定义域为，， 函数存在单调递减区间， 在上有解，即在上有解， 令， 故，结合选项可知，B ， D正确；A ， C错误. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若是函数的极值点，则______． 【答案】 【解题思路】求导得解析式，根据条件，可得，即可求出a值，进而可得解析式，代入，即可得答案. 【解析】由题意， 因为是的极值点， 所以，解得， 则，所以. 故答案为： 13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】由在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，从而得到在区间内恒成立，即，计算得解. 【解析】，， 在区间上单调递增， 在区间上恒成立， 在区间上恒成立， ，在区间内恒成立， ，， 的取值范围为. 14．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】求导，通过讨论和0的大小，确定函数的单调性，进而可求解. 【解析】由，求导可得 令，可得：或， 当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极大值，符合题意； 综上实数的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数. (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； (3)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1)2 (2)1 (3)或 【解题思路】（1）根据平均变化率公式，即可求解； （2）利用导数求的几何意义求切线斜率，利用斜率相等，即可求解； （3）首先设切点，利用导数的几何意义求切线方程. 【解析】（1）函数在区间上的平均变化率为； （2），，， ，，， 由题意可知，，得； （3），设切点为，， 则曲线在点处的切线方程为，切线过点， 则，化简为， 即，则， 得或， 当时，切线方程为， 当时，切线方程为， 综上可知，切线方程为或. 16．已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求的极值. 【答案】(1)； (2)的递增区间为和，递减区间为； (3)极大值为，极小值为. 【解题思路】（1）由斜率乘积为，求得参数的取值； （2）求导后根据导函数的正负来确定原函数的增减区间； （3）由第二问的增减性结合极值定义求得极值. 【解析】（1）， 则， 由题意可得，解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为和，的递减区间为. （3）由可知，在处取得极大值； 在处取得极小值. 17．已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用导数，求切点处切线的方程； （2）利用导数，分类讨论函数的单调性. 【解析】（1）当时，，定义域为 ，则， 又， 则切线的斜率， 所求切线方程为，即． （2）函数的定义域为， ． ①当时， ，在上单调递增． ②当时， 令，即，解得：， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． ③当时， 令，解得， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 18．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)试判断曲线与直线在上公共点的个数； 【答案】(1)单调递增区间，；单调递减区间为， (2)2 【解题思路】（1）对函数求导，利用正弦函数的图象性质求解导函数不等式即得函数的单调区间； （2）令，利用导数判断其单调性，结合特殊值与零点存在定理求出函数的零点个数，即曲线与直线在上公共点的个数. 【解析】（1）由题意，， 因为，则由可得， 即当，时， 单调递增； 由可得， 即当，时， 单调递减， 综上，函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，. （2）令，则， 设，则， 所以当时，，则（即）在上单调递增； 当时，，（即）在上单调递减， 因为，，， 所以存在唯一的，使得， 故当时，，则在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 又，， 所以存在唯一的，使得， 综上可得函数在上存在两个零点0和， 所以曲线与直线在上公共点的个数为2. 19．已知函数. (1)讨论的单调性并求极值； (2)设函数是函数的两个零点， （i）求的范围； （ii）求证：. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减； 的极大值为，无极小值. (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）根据的正负性得出单调性以及极值； （2）（i）将问题转化为与的函数图象存在两个交点即可. （ii）设，利用对称构造法设求证，再利用以及求证. 【解析】（1）的定义域为， ， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，无极小值. （2）（i）当时，当时，， 且时，时， 故的函数图象如图： 因为有两个零点，所以与的函数图象存在两个交点， 则，即， 故的范围为； （ii）不妨设，因为与的单调性相同，所以由（1）知， 先证， 要证，即证， 因为，在上单调递减， 所以只需证． 令， 则， 在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以，则， 因为，所以， 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以，则，则. 综上，. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（   ） A．当时，取得最小值 B．在上单调递增 C．当时，取得极大值 D．在上不具备单调性 2．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，若函数恰有1个零点，则（    ） A．e B．1 C． D．2 4．点是曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 5．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．在内有两个零点 B．的图象关于点成中心对称 C．的最小值为 D．的最大值为 8．关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）下列求导正确的有（   ） A． B． C． D． 10．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．若，则函数在上单调递增 B．若，则函数在上有2个极值点 C．，使得函数在上单调递增，在上单调递减 D．若函数在上单调递增，则的最小值为 11．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若是函数的极值点，则______． 13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________. 14．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数. (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； (3)求过点且与曲线相切的直线方程. 16．已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求的极值. 17．已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 18．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)试判断曲线与直线在上公共点的个数； 19．已知函数. (1)讨论的单调性并求极值； (2)设函数是函数的两个零点， （i）求的范围； （ii）求证：. 2 / 3 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $